Potenser: Utforska potenslagar och specialfall

Uttryck	Exempel
$2 \cdot 2 = 2^{2}$	$2$ upphöjt till $2$
$7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{3}$	$7$ upphöjt till $3$
$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$	$5$ upphöjt till $4$
$m \cdot m \cdot m \cdot m = m^{4}$	$m$ upphöjt till $4$
$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^{9}$	$x$ upphöjt till $6$

Uttryck

Exempel

2 \cdot 2 = 2^{2}

2

upphöjt till

2

7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{3}

7

upphöjt till

3

5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}

5

upphöjt till

4

m \cdot m \cdot m \cdot m = m^{4}

m

upphöjt till

4

x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^{9}

x

upphöjt till

6

Förenkla uttrycket utan räknare.

(\frac{1}{2 0})^{- 1} + (\frac{1}{1 8})^{- 1} - (- \frac{1}{2})^{- 1}

När en potens har en negativ exponent kan den skrivas om som ett bråk med täljaren 1.

Uttryckets värde är 40.

Lös ut

x

ur ekvationen

4 \cdot 2^{- 3} \cdot 2^{x^{2}} = 1 6^{12} .

Om vi kan skriva om ekvationen så att den enbart består av potenser med basen 2 kan vi likställa exponenterna och lösa ut x. Som tur är kan både 4 och 16 skrivas som potenser med basen 2.

Lösningen är alltså x=±7.

Skriv uttrycket som en enda potens med minsta möjliga heltalsbas.

1 6^{2} + 1 6^{2} + 1 6^{2} + 1 6^{2}

9^{- 2} + 9^{- 2} + 9^{- 2}

1^{1000} \cdot 2^{50} + 2^{50} + 2^{51}

Eftersom vi adderar 4 likadana uttryck kan vi skriva om uttrycket som en produkt där ena faktorn är 4. Vi använder även att 16=4^2 för att båda faktorer ska få samma bas.

Då gör vi samma sak igen. Eftersom tre likadana termer adderas kan vi skriva detta som en produkt där ena faktorn är 3. Vi använder även att 9=3^2 för att båda faktorer ska få samma bas.

Om basen i en potens är 1 påverkar det inte potensens värde. Det kunde alltså lika gärna stått en 1:a istället för 1^(1000). När vi vet detta kan vi börja förenkla uttrycket.

Gäller likheten

a^{0} = 1

alltid?

Om nämnare och täljare i ett bråk är lika förenklas det till 1, t.ex. kan ett bråk med a^b i nämnare och täljare förkortas till 1. a^b/a^b=1. Divideras två potenser med samma bas subtraheras exponenterna.

Då har vi visat att a^0=1. Detta gäller dock inte när a=0. Detta skulle leda till att man delar med 0, vilket är otillåtet.

Skriv kvoten

\frac{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0}{5 1 2}

som en potens med basen

5,

utan att använda din räknare, om du vet att

512

kan skrivas som en potens med bas

2 .

Vi skriver om 512 som en potens med basen 2. Det betyder att vi ska hitta det n som uppfyller 2^n=512. Vi provar med n=5. Sedan ökar eller minskar vi det tills vi hittar rätt exponent. Varje gång exponenten ökar med 1 fördubblas värdet på potensen.

2^n	=
2^5	32
2^6	64
2^7	128
2^8	256
2^9	512

512 kan alltså skrivas som 2^9. Täljaren är en etta med nio nollor. Det betyder att man kan skriva den som tiopotensen 10^9.

Bråket kan alltså skrivas 5^9.

Du har följande likhet:

2^{a} = 3^{b} = 6 .

Är summan av

a

och

b

lika med produkten

a b ?

Motivera ditt svar.

Att vi har två likhetstecken kan uttryckas med de tre ekvationerna 2^a=6, 3^b=6 och 2^a=3^b. Vi ska undersöka om a+b=ab, vilket innebär att vi måste bilda en ekvation där exponenterna innehåller både a och b och kan likställas. För att exponenterna ska kunna likställas måste baserna vara lika. Vi behöver alltså en identitet för antingen 2 eller 3 att sätta in i ekvationen 2^a=3^b. I den första ekvationen kan högerledet skrivas som en potens med samma bas som i vänsterledet om vi gör omskrivningen 6=2* 3. Notera att vi lika gärna kan skriva om den andra ekvationen.

Då ersätter vi 3 i tredje ekvationen med identiteten 3=2^(a-1) och kan därefter likställa exponenterna.

Alltså stämmer det att a+b=ab.

Du vet att potensen

8^{a}

är lika med

27 .

Bestäm värdet på potensen

4^{2 a} .

Lös uppgiften utan räknare.

Vi kan inte ta reda på a direkt utan grafritande räknare. Istället får vi försöka skriva om 8^a och 4^(2a) så att de får samma bas eller exponent, för då kan vi använda inspektionsmetoden för att hitta samband. Både 8 och 4 kan skrivas om med basen 2, vi använder att 8=2^3 och att 4=2^2 det för att göra omskrivningarna 8^a=(2^3)^a och 4^(2a)=(2^2)^(2a). Tittar vi på dessa omskrivningar kan vi se att det verkar gå att skriva om båda så att de får basen 2^a. Vi testar det och ser om vi kommer vidare därifrån.

Vi gör samma sak för 4^(2a).

Nu kommer vi ihåg att vi visste att 8^a=27. Med denna information kan vi ta reda på vad 2^a är: 8^a=27 ⇔ ( 2^a)^3= 3^3. Vi har nu två potenser vars exponenter är lika. För att likheten ska gälla, måste då även baserna vara samma. Det betyder att 2^a=3. Detta använder vi får att beräkna 4^(2a).

4^(2a) är alltså lika med 81.

Vilken siffra slutar potensen

2^{202}

på?

Vi beräknar 2^n för några värden på n och noterar slutsiffran. Sedan försöker vi hitta ett mönster.

n	1	2	3	4	5	6	7	8
2^n	2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7	2^8
Produkt	2	4	8	16	32	64	128	256
Slutsiffra	2	4	8	6	2	4	8	6

De fyra första potensernas slutsiffra är 2, 4, 8 och 6, varpå siffermönstret upprepar sig. För att hitta siffran som 2^(202) slutar på, utgår vi från den sista siffran i mönstret, dvs. 6. Denna siffra upprepar sig efter vart fjärde n. Exponenter som kan delas jämnt med 4 har alltså en slutsiffra på 6. Exempelvis kan exponenterna 4, 8 och 12 delas jämnt med 4: 4/4=1, 8/4=2, 12/4=3, och därför slutar 2^4, 2^8 och 2^(12) på siffran 6. Delas 2^(202) är det inte delbart med 4 så 2^(202) slutar inte på en 6:a. Däremot delas 200 jämnt med 4 så 2^(200) slutar på en 6:a. 2^(202) befinner sig två steg längre fram och slutar därför på en 4.

Bestäm

n

2^{4} \cdot 3^{8} = 9^{n} \cdot 6^{4} .

Nationella provet HT16 1b/1c

I högerledet har vi en produkt av potenserna 9^n och 6^4. Om vi primtalsfaktoriserar baserna, dvs. 9 och 6, får vi 9=3* 3 och 6=2* 3. Högerledet kan alltså skrivas som (3* 3)^n * (2* 3)^4 och det är just dessa basernas primtalsfaktorer vi hittar i vänsterledet.

Nu har vi bara treor kvar i baserna. Genom att skriva 3*3 som 3^2 kan vi bestämma n.

Om leden ska vara lika måste n=2.

Potenser

Mathleaks

Förkunskaper

Potens

Potenser på räknare

Potenslagar

Multiplikation och division av potenser

Regel

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Regel

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

Specialfall

Regel

Regel

Regel

Regel

Beräkna med potenslagarna

Ledtråd

Lösning

Förenkling av potenser

Potenser

Rekommenderade uppgifter

	9 sidor teori
	31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.