Logga in
| 10 sidor teori |
| 31 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen 7 och exponenten 4.
Uttryck | Exempel 1 | Exempel 2 |
---|---|---|
22 | 2 upphöjt till 2 |
2 i kvadrat |
73 | 7 upphöjt till 3 |
7 i kubik |
54 | 5 upphöjt till 4 |
- |
m4 | m upphöjt till 4 |
- |
x9 | x upphöjt till 9 |
- |
i kvadrat, respektive
i kubik.
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (2⋅5)3 samma sak som 23⋅53. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
a3=a⋅a⋅a
Ta bort parentes
Omarrangera faktorer
a⋅a⋅a=a3
När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (56)4 samma sak som 5464. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.
Dela upp i faktorer
Multiplicera bråk
Skriv som potens
När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5−3, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 531. Denna motiveras genom att skriva −3 som t.ex. 4−7 och använda en av potenslagarna.
Skriv −3 som 4−7
ab−c=acab
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
a⋅a⋅a=a3
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.
Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med 1, skriv ut den som 1 istället för att utelämna den.
En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är 74 lika med 7⋅7⋅7⋅7.
Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till
följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat
för exponenten 2 och i kubik
för exponenten 3. Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.
Regelbeskrivning | Matematisk representation |
---|---|
Multiplikation av potenser | ab⋅ac=ab+c |
Division av potenser | acab=ab−c |
Potens av potens | (ab)c=ab⋅c |
Potens av produkt | (a⋅b)c=ac⋅bc |
Potens av kvot | (ba)c=bcac |
Potens med negativ exponent | a(−b)=ab1 |
Noll som bas | 0a=0, a=0 |
Bas ett | 1a=1 |
Noll som exponent | a0=1, a=0 |
Exponent ett | a1=a |
När en potens har en negativ exponent kan den skrivas om som ett bråk med täljaren 1.
Uttryckets värde är 40.
Om vi kan skriva om ekvationen så att den enbart består av potenser med basen 2 kan vi likställa exponenterna och lösa ut x. Som tur är kan både 4 och 16 skrivas som potenser med basen 2.
Lösningen är alltså x=±7.
Skriv uttrycket som en enda potens med minsta möjliga heltalsbas.
Eftersom vi adderar 4 likadana uttryck kan vi skriva om uttrycket som en produkt där ena faktorn är 4. Vi använder även att 16=4^2 för att båda faktorer ska få samma bas.
Då gör vi samma sak igen. Eftersom tre likadana termer adderas kan vi skriva detta som en produkt där ena faktorn är 3. Vi använder även att 9=3^2 för att båda faktorer ska få samma bas.
Om basen i en potens är 1 påverkar det inte potensens värde. Det kunde alltså lika gärna stått en 1:a istället för 1^(1000). När vi vet detta kan vi börja förenkla uttrycket.
Om nämnare och täljare i ett bråk är lika förenklas det till 1, t.ex. kan ett bråk med a^b i nämnare och täljare förkortas till 1. a^b/a^b=1. Divideras två potenser med samma bas subtraheras exponenterna.
Då har vi visat att a^0=1. Detta gäller dock inte när a=0. Detta skulle leda till att man delar med 0, vilket är otillåtet.
Skriv om uttrycket som en potens med minsta möjliga heltalsbas.
Faktorerna innanför parentesen kan skrivas om som potenser med basen 2. Vi gör detta och förenklar med potenslagarna.
Svaret är alltså 2^(100).
Både 9 och 27 kan skrivas om som en potens med basen 3. Därefter förenklar vi med potenslagarna.
Svaret är alltså 3^(57).
I nämnaren har vi adderat tre likadana potenser. Eftersom potenserna är identiska kan de skrivas om enligt
a+a+a=3a,
varpå nämnaren kan förenklas ytterligare om vi skriver om 3 som potensen 3^1 och lägger ihop exponenterna.
I täljaren står det 9^6. Genom att skriva om 9 som en potens med basen 3 kan vi förenkla bråket ytterligare.
Svaret är alltså 3^3.
Bestäm x i ekvationen.
Om vi skriver om 4:an i täljaren som 2^2 har både nämnare och täljare samma bas och vi kan därefter subtrahera exponenterna. Vi skriver även om 16 som 2^4.
x=2 är ekvationens lösning.
Vi skriver om vänsterledet som en potens med basen 8. Vi skriver även om 1 i högerledet som potensen 8^0 så att båda led får samma bas.
Ekvationens lösning är alltså x=-4.
Vi börjar med att förenkla vänsterledet som är krångligast. 4^2x kan skrivas som en potens med bas 16. Därefter kan potenserna adderas.
x=1 löser ekvationen.
Vi skriver om 512 som en potens med basen 2. Det betyder att vi ska hitta det n som uppfyller 2^n=512. Vi provar med n=5. Sedan ökar eller minskar vi det tills vi hittar rätt exponent. Varje gång exponenten ökar med 1 fördubblas värdet på potensen.
2^n | = |
---|---|
2^5 | 32 |
2^6 | 64 |
2^7 | 128 |
2^8 | 256 |
2^9 | 512 |
512 kan alltså skrivas som 2^9. Täljaren är en etta med nio nollor. Det betyder att man kan skriva den som tiopotensen 10^9.
Bråket kan alltså skrivas 5^9.
Vi kan inte ta reda på a direkt utan grafritande räknare. Istället får vi försöka skriva om 8^a och 4^(2a) så att de får samma bas eller exponent, för då kan vi använda inspektionsmetoden för att hitta samband. Både 8 och 4 kan skrivas om med basen 2, vi använder att 8=2^3 och att 4=2^2 det för att göra omskrivningarna 8^a=(2^3)^a och 4^(2a)=(2^2)^(2a). Tittar vi på dessa omskrivningar kan vi se att det verkar gå att skriva om båda så att de får basen 2^a. Vi testar det och ser om vi kommer vidare därifrån.
Vi gör samma sak för 4^(2a).
Nu kommer vi ihåg att vi visste att 8^a=27. Med denna information kan vi ta reda på vad 2^a är: 8^a=27 ⇔ ( 2^a)^3= 3^3. Vi har nu två potenser vars exponenter är lika. För att likheten ska gälla, måste då även baserna vara samma. Det betyder att 2^a=3. Detta använder vi får att beräkna 4^(2a).
4^(2a) är alltså lika med 81.
Vi beräknar 2^n för några värden på n och noterar slutsiffran. Sedan försöker vi hitta ett mönster.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2^n | 2^1 | 2^2 | 2^3 | 2^4 | 2^5 | 2^6 | 2^7 | 2^8 |
Produkt | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
Slutsiffra | 2 | 4 | 8 | 6 | 2 | 4 | 8 | 6 |
De fyra första potensernas slutsiffra är 2, 4, 8 och 6, varpå siffermönstret upprepar sig. För att hitta siffran som 2^(202) slutar på, utgår vi från den sista siffran i mönstret, dvs. 6. Denna siffra upprepar sig efter vart fjärde n. Exponenter som kan delas jämnt med 4 har alltså en slutsiffra på 6. Exempelvis kan exponenterna 4, 8 och 12 delas jämnt med 4: 4/4=1, 8/4=2, 12/4=3, och därför slutar 2^4, 2^8 och 2^(12) på siffran 6. Delas 2^(202) är det inte delbart med 4 så 2^(202) slutar inte på en 6:a. Däremot delas 200 jämnt med 4 så 2^(200) slutar på en 6:a. 2^(202) befinner sig två steg längre fram och slutar därför på en 4.
I högerledet har vi en produkt av potenserna 9^n och 6^4. Om vi primtalsfaktoriserar baserna, dvs. 9 och 6, får vi 9=3* 3 och 6=2* 3. Högerledet kan alltså skrivas som (3* 3)^n * (2* 3)^4 och det är just dessa basernas primtalsfaktorer vi hittar i vänsterledet.
Nu har vi bara treor kvar i baserna. Genom att skriva 3*3 som 3^2 kan vi bestämma n.
Om leden ska vara lika måste n=2.