Logga in
| 10 sidor teori |
| 31 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen 7 och exponenten 4.
Uttryck | Exempel 1 | Exempel 2 |
---|---|---|
22 | 2 upphöjt till 2 |
2 i kvadrat |
73 | 7 upphöjt till 3 |
7 i kubik |
54 | 5 upphöjt till 4 |
- |
m4 | m upphöjt till 4 |
- |
x9 | x upphöjt till 9 |
- |
i kvadrat, respektive
i kubik.
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (2⋅5)3 samma sak som 23⋅53. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
a3=a⋅a⋅a
Ta bort parentes
Omarrangera faktorer
a⋅a⋅a=a3
När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (56)4 samma sak som 5464. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.
Dela upp i faktorer
Multiplicera bråk
Skriv som potens
När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5−3, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 531. Denna motiveras genom att skriva −3 som t.ex. 4−7 och använda en av potenslagarna.
Skriv −3 som 4−7
ab−c=acab
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
a⋅a⋅a=a3
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.
Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med 1, skriv ut den som 1 istället för att utelämna den.
En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är 74 lika med 7⋅7⋅7⋅7.
Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till
följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat
för exponenten 2 och i kubik
för exponenten 3. Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.
Regelbeskrivning | Matematisk representation |
---|---|
Multiplikation av potenser | ab⋅ac=ab+c |
Division av potenser | acab=ab−c |
Potens av potens | (ab)c=ab⋅c |
Potens av produkt | (a⋅b)c=ac⋅bc |
Potens av kvot | (ba)c=bcac |
Potens med negativ exponent | a(−b)=ab1 |
Noll som bas | 0a=0, a=0 |
Bas ett | 1a=1 |
Noll som exponent | a0=1, a=0 |
Exponent ett | a1=a |
Beräkna potensen utan räknare.
Vi tolkar potensen 5^3 som 5 multiplicerat med sig själv tre gånger, dvs. 5 * 5 * 5. Vi utför beräkningen.
Potensen har värdet 125.
2^5 är detsamma som 2 multiplicerat med sig själv fem gånger, dvs.
2*2*2*2*2.
Nu använder vi detta för att beräkna potensen värde. Om man vill kan man dela upp beräkningen i t.ex. (2*2)*(2*2*2)=4*8.
Potensen har värdet 32.
Skriv om talen som en potens med basen 5 genom att prova dig fram.
Från multiplikationstabellen vet vi att när man multiplicerar 5 med sig själv får man 25. Detta betyder att 25=5^2.
625 är lite svårare att direkt se vilken 5-potens det motsvarar. Vi provar att sätta större och större heltalsexponenter på basen 5, med hjälp av räknaren, tills vi når 625. Låt oss börja med exponenten 3 eftersom vi redan visat att 5^2=25.
x | 5^x | = |
---|---|---|
3 | 5^3 | 125 |
4 | 5^4 | 625 |
Från tabellen ser vi att 625=5^4.
Vi fortsätter tabellen tills vi når 78 125. Använd även här räknaren för att hitta rätt potens.
x | 5^x | = |
---|---|---|
5 | 5^5 | 3 125 |
6 | 5^6 | 15 625 |
7 | 5^7 | 78 125 |
Från tabellen ser vi att 78 125=5^7.
Beräkna utan räknare.
En tiopotens visar exponenten hur många nollor man ska sätta efter en 1:a. I det här fallet är exponenten 3 så när vi utvecklar 10^3 får vi 1000.
Vi kan inte beräkna potenserna 7^(15) och 7^(13) utan räknare men om vi använder potenslagarna kan vi förenkla uttrycket.
Vi förenklar först basen och beräknar sedan.
Skriv uttrycket som en enda potens.
Uttrycket består av en produkt med 6 stycken 7:or. I en potens anger basen talet som multipliceras upprepade gånger, vilket här är 7. Exponenten anger antal gånger som multiplikationen sker, vilket är 6. Vi kan alltså uttrycka detta som potensen 7^6.
Vi använder potenslagen för multiplikation av potenser. Men först skriver vi om 4 som 4^1, så att vi lättare ser vad som ska göras.
Uttrycket kan även skrivas som potensen 4^(13).
När två potenser divideras kan man skriva om dem som en enda potens genom att subtrahera exponenten i nämnaren från exponenten i täljaren.
Nu står uttrycket som en potens i en potens, och sådana kan förenklas genom att multiplicera exponenterna.
Uttrycket kan skrivas som potensen 6^6.
Förenkla uttrycket så långt det går.
När man multiplicerar potenser med samma bas adderas exponenterna.
Här har vi ett bråk i ett bråk: 2^5/2^3 delas på 2^2. Vi börjar med att förenkla täljaren med potenslagarna och kommer ihåg att när man delar två potenser med samma bas subtraheras exponenterna.
Vi använder potenslagarna för att multiplicera potenserna i täljaren och därefter dividerar vi.
Potensen 7^(- 2) är en korrekt förenkling men om man vill kan man skriva om detta som ett bråk istället.
Förenkla uttrycket med potenslagarna.
Vi börjar med att förenkla potensen som har en produkt i basen. Vi kommer ihåg att när basen är en potens, kan potensen förenklas genom att multiplicera exponenterna.
När basen är ett bråk kan uttrycket skrivas om genom att sätta exponenten direkt på talet i täljaren och nämnaren.
När basen är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på samtliga faktorer i basen.
Från multiplikationstabellen kommer vi ihåg att 36 = 6 * 6. Sedan vet vi att 6 * 6 = 6^2, vilket ger oss vårt svar: 36 = 6^2.
27 är inte 3^2, eftersom 3 * 3 = 9, men om vi testar med högre exponenter ser vi att 3^3 = 3* 3 * 3 = 27. Svaret är alltså
27 = 3^3.
Vi testar 4^2 =16, medan 4^3=64. Svaret är alltså att
64=4^3.
Vi kan testa oss fram för att se vilken exponent som vi bör upphöja 2 till för att få 64. Vi anar att det behövs en något högre exponent, så vi prövar
2^4=16,
vilket inte var det vi var ute efter. 2^5 = 32, och dubbleras det ännu en gång genom att vi beräknar 2^6 ser vi att vi hittar det sökta svaret: 2^6 = 64.
Vi hade även kunnat utnyttja resultatet i deluppgift c. Där kom vi fram till att 64=4^3. Vi vill nu byta basen 4 till basen 2. Det kan vi göra genom att skriva om 4 som 2^2 och använda potenslagen för "potens av en potens".
Vi får alltså samma svar som då vi testade oss fram.
Förenkla uttrycket utan räknare.
Ett tal upphöjt till noll är lika med 1. Vi använder detta för att beräkna produkten.
Nu står produkten innanför en parentes och enligt prioriteringsreglerna måste vi beräkna denna först.
En potens med negativ exponent kan skrivas om som ett bråk.
Vi förenklar potensen med samma regler som tidigare.
Utför beräkningen med din räknare och svara med räknarens resultat.
Vi använder knappen x^2 för att skriva in upphöjt till två
och ^ för att skriva in exponenten 5.
Vi skriver in uttrycket så som det ser ut i uppgiften. Tänk på att skriva in parenteser kring bråkuttryket.
Vi gör på samma sätt som i deluppgift a men skriver in ett divisionstecken istället för plustecken.
När två potenser med samma bas divideras kan man skriva om detta som en enda potens där man subtraherar exponenten i nämnaren från exponenten i täljaren. Vi använder alltså potenslagen a^b/a^c=a^(b-c). Vi har alltså en tiopotens i vänsterledet och en kvot av potenser i högerledet.
När x=11 stämmer alltså likheten.