1b
Kurs 1b Visa detaljer
10. Potenser
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 1
10. 

Potenser

Få en omfattande guide till potenser och potenslagar. Denna lektion är utformad för att hjälpa studenter att förstå och behärska konceptet med potenser. Genom att använda denna guide kan studenter förbättra sina matematiska färdigheter och få en djupare förståelse av potenser och hur de används i matematiska beräkningar. Lektionenen innehåller också praktiska exempel och övningar för att hjälpa studenter att tillämpa det de har lärt sig.
Inställningar & verktyg för lektion
10 sidor teori
31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Potenser
Sida av 10
Mathleaks Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
Mathleaks
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Potens
  • Multiplikation och division av potenser
  • Potens av potens, produkt och kvot
  • Potens med negativ exponent
Teori

Potens

En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen och exponenten

Ett potensuttryck, där 7 är basen och 4 är exponenten
I detta exempel multipliceras med sig själv gånger.
De flesta potenser läses på samma sätt, oavsett om de är numeriska eller algebraiska.
Uttryck Exempel Exempel
upphöjt till i kvadrat
upphöjt till i kubik
upphöjt till -
upphöjt till -
upphöjt till -
Denna tabell innehåller två specialfall — när ett tal eller en variabel upphöjs till exponenten eller så kan potensen läsas som i kvadrat, respektive i kubik.
Teori

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket som ser ut så här: Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

TI-beräkning som visar potens

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen för att upphöja det till

TI-beräkning som visar kvadrering
Teori

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av och lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella och men inte om Då blir uttrycket odefinierat.
Teori

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

Regeln gäller för alla reella och men inte om
Teori

Potens med negativ exponent

Regel

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med Denna motiveras genom att skriva som t.ex. och använda en av potenslagarna.

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.
Teori

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

En potens med basen exempelvis blir Oavsett hur många gånger man multiplicerar med sig själv blir ju produkten alltid t.ex.
Regeln gäller alltid, förutom när exponenten är , eftersom är odefinierat.

Regel

En potens med basen blir alltid Oavsett hur många gånger man multiplicerar med sig själv blir ju produkten alltid t.ex.
Regeln gäller för alla reella exponenter.

Regel

Hur ska man tolka en potens med exponenten t.ex. Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just I exemplet skrivs noll som

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är dvs. om man har Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med fått vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

En potens med exponenten är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:
Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför
Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.
Exempel

Beräkna med potenslagarna

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.

Ledtråd

Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.

Lösning

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

Beräkna

Uttryckets värde är

Övning

Förenkling av potenser

Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med skriv ut den som istället för att utelämna den.

Slumpmässiga uttryck som involverar potenser
Avslut

Sammanfattning

En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är lika med

Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat för exponenten och i kubik för exponenten Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.

Regelbeskrivning Matematisk representation
Multiplikation av potenser
Division av potenser
Potens av potens
Potens av produkt
Potens av kvot
Potens med negativ exponent
Noll som bas
Bas ett
Noll som exponent
Exponent ett


Potenser
Övningar
Laddar innehåll