Potenser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten 7777 \cdot 7 \cdot 7 skrivas som potensen 73,7^3, där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

Potenser1.svg

737^3 utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten 33 betyder att basen 77 multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

121212=123 12\cdot 12\cdot 12=12^3 1212 upphöjt till 33
2222=24 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4 22 upphöjt till 44
66666=65 6\cdot 6\cdot 6 \cdot 6 \cdot 6=6^5 66 upphöjt till 55
När exponenten är 22 utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel 82,8^2, som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen 838^3 utläsas "åtta i kubik".

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: \wedge. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

TI-beräkning som visar potens

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2x^2 för att upphöja det till 2.2.

TI-beräkning som visar kvadrering
Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

abac=ab+ca^b\cdot a^c=a^{b+c}
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. 23222^3\cdot 2^2 lika med 23+2=25.2^{3+2}=2^5. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
23222^3 \cdot 2^2
Dela upp i faktorer
(222)(22)(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)
222222 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
252^5
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel

abac=abc\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 363^6 och 343^4 lika med 364=323^{6-4}=3^2. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

3634\dfrac{3^6}{3^4}
Dela upp i faktorer
3333333333\dfrac{3\cdot 3\cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3}
3333333333\dfrac{3\cdot 3\cdot \cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}{\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}
333\cdot3
323^2
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och cc, men inte om a=0.a=0. Då blir uttrycket odefinierat.
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(ab)c=abc\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. (52)3\left(5^2\right)^3 lika med 523=56.5^{2\cdot3}=5^6. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(52)3\left(5^2\right)^3
5252525^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2
5555555\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5
565^{6}
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel

(ab)c=acbc(ab)^c=a^c b^c

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (25)3\left(2\cdot 5\right)^3 samma sak som 2353.2^3\cdot 5^3. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(25)3\left(2\cdot 5\right)^3
(25)(25)(25)(2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5)
2525252\cdot 5 \cdot 2\cdot 5 \cdot 2\cdot 5
2225552\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 5
23532^3\cdot 5^3
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel

(ab)c=acbc\left(\dfrac{a}{b}\right)^c=\dfrac{a^c}{b^c}

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (65)4\left(\frac{6}{5}\right)^4 samma sak som 6454.\frac{6^4}{5^4}. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

(65)4\left(\dfrac{6}{5}\right)^4
Dela upp i faktorer
65656565\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}
66665555\dfrac{6\cdot 6\cdot6\cdot6}{5\cdot 5\cdot5\cdot5}
6454\dfrac{6^4}{5^4}
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och c,c, men inte om b=0.b=0.
Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5-3,5^{\text{-}3}, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 153.\frac{1}{5^3}. Denna motiveras genom att skriva -3\text{-}3 som t.ex. 474-7 och använda en av potenslagarna.

5-35^{\text{-}3}
5475^{4-7}
abc=abac a^{b-c}= \dfrac{a^b}{a^c}
5457\dfrac{5^{4}}{5^{7}}
Dela upp i faktorer
55555555555\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}
55555555555\dfrac{\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}}{5\cdot5\cdot5\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}}
1555\dfrac{1}{5\cdot5\cdot5}
153\dfrac{1}{5^3}
En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.
Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

0a=00^{a}=0

En potens med basen 0, exempelvis 030^3, blir 0. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 0 med sig själv blir ju produkten alltid 0, t.ex.03=000=0eller05=00000=0. 0^3=0\cdot0\cdot0=0 \quad \text{eller} \quad 0^5=0 \cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0.

Regeln gäller alltid, förutom när exponenten är 0, eftersom 000^0 är odefinierat.

Regel

1a=11^{a}=1

En potens med basen 1 blir alltid 1. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 1 med sig själv blir ju produkten alltid 1, t.ex. 13=111=1och15=11111=1. 1^3=1\cdot1\cdot1=1 \quad \text{och} \quad 1^5=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1.

Regeln gäller för alla reella exponenter.

Regel

a0=1a^{0}=1

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 404^0? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 22.2-2.

404^0
4224^{2-2}
abc=abac a^{b-c}= \dfrac{a^b}{a^c}
4242\dfrac{4^2}{4^2}
11
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 000^0. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202,\frac{0^2}{0^2}, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

a1=aa^{1}=a

En potens med exponenten 11 är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför: 75=7777774=777773=77772=7771=7\begin{aligned} 7^5&=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\\ 7^4&=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\\ 7^3&=7\cdot 7\cdot 7\\ 7^2&=7\cdot 7\\ 7^1&=7 \end{aligned}

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför a1=a.a^1=a.

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Uppgift

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare. 6369656-7 6^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}

Lösning

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

6369656-76^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}
636956-76^3\cdot6^{9-5}\cdot6^{\text{-}7}
Beräkna 959-5
63646-76^3\cdot6^{4}\cdot6^{\text{-}7}
63+476^{3+4-7}
606^0
11

Uttryckets värde är 1.1.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}