Potenser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten 7777 \cdot 7 \cdot 7 skrivas som potensen 73,7^3, där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

Potenser1.svg

737^3 utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten 33 betyder att basen 77 multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

121212=123 12\cdot 12\cdot 12=12^3 1212 upphöjt till 33
2222=24 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4 22 upphöjt till 44
66666=65 6\cdot 6\cdot 6 \cdot 6 \cdot 6=6^5 66 upphöjt till 55
När exponenten är 22 utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel 82,8^2, som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen 838^3 utläsas "åtta i kubik".
Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

abac=ab+ca^b\cdot a^c=a^{b+c}

Regel

abac=abc\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(ab)c=abc\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}

Regel

(ab)c=acbc(ab)^c=a^c b^c

Regel

(ab)c=acbc\left(\dfrac{a}{b}\right)^c=\dfrac{a^c}{b^c}
Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}
Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

0a=00^{a}=0

Regel

1a=11^{a}=1

Regel

a0=1a^{0}=1

Regel

a1=aa^{1}=a

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Uppgift

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare. 6369656-7 6^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tolka vad potensen betyder och beräkna dess värde utan räknare.


a

535^3

b

252^5

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om talen som en potens med basen 55 genom att prova dig fram.


a

2525

b

625625

c

7812578\,125

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

231032^3 \cdot 10^3

b

715713\dfrac{7^{15}}{7^{13}}

c

(32)2\left(3^2\right)^2

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda potens.

a

7777777\cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7

b

4104244^{10}\cdot 4^2 \cdot 4

c

(6462)3\left(\dfrac{6^4}{6^{2}}\right)^3

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt det går.


a

3236333^2 \cdot 3^6\cdot 3^3

b

25/2322\dfrac{2^5/2^3}{2^2}

c

727579\dfrac{7^2\cdot 7^5}{7^9}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck med potenslagarna.


a

(22)322\left(2^2\right)^3\cdot 2^2

b

(743)2\left(\dfrac{7}{4\cdot 3}\right)^2

c

(234)242\dfrac{(2\cdot 3\cdot 4)^2}{4^2}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv talet 3636 som en potens med basen 6.6.

b

Skriv talet 2727 som en potens med basen 3.3.

c

Skriv talet 6464 som en potens med basen 4.4.

d

Skriv talet 6464 som en potens med basen 2.2.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck utan räknare


a

102010\cdot 2^0

b

(102)0(10\cdot 2)^0

c

10-1+0.9110^{\text{-} 1}+0.9^1

d

10-10.9110^{\text{-} 1}\cdot 0.9^1

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför beräkningarna med din räknare.


a

952+15595^2+15^5

b

4(23)0.24\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{0.2}

c

18790.7\dfrac{18^7}{9^{0.7}}

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket värde har xx om likheten ska gälla? 10=10310x 10=\dfrac{10^3}{10^x}

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på xx.


a

3x33=373^x\cdot 3^3=3^7

b

(4x)5=415\left(4^x\right)^5=4^{15}

c

5x56=511\dfrac{5^x}{5^6}=5^{11}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm xx i följande ekvationer.


a

444x=464^4\cdot 4^x=4^6

b

(4x)6=424\left(4^x\right)^6=4^{24}

c

4x48=44\dfrac{4^x}{4^8}=4^{4}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande summa utan att använda räknare. (-1)10+(-1)15+(-1)20(-1)25 (\text{-} 1)^{10}+(\text{-} 1)^{15}+(\text{-} 1)^{20} - (\text{-} 1)^{25}

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 10-310^{\text{-}3} kan skrivas som 0.001.0.001.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt det går.


a

x9(2x)4x^9\cdot (2x)^4

b

(-4a)2(-8a)3(\text{-}4a)^2\cdot(\text{-}8a)^3

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken utan räknare.

a

64-(-2)3\dfrac{64}{\text{-}(\text{-}2)^3}

b

1(-2)-3\dfrac{1}{(\text{-}2)^{\text{-}3}}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av nedanstående potenser är störst, 16150eller2450? 16^{150} \quad \text{eller} \quad 2^{450}? Lös uppgiften utan att använda räknare.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Motivera potenslagen abac=abc \dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c} med ett lämpligt exempel. Du kan välja a,ba, \, b och cc så att de är positiva heltal och att bb är större än cc.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens med basen 4.4.

a

1(-2)2(-12)\dfrac{1}{(\text{-}2)^2-(\text{-}12)}

b

4x642x\dfrac{4^x}{64^{2x}}

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket tal ligger exakt mitt emellan 10210^2 och 104?10^4?

Nationella provet HT16 1a
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket utan räknare. (120)-1+(118)-1(-12)-1 \left(\dfrac{1}{20}\right)^{\text{-}1}+\left(\dfrac{1}{18}\right)^{\text{-}1}-\left(\text{-}\dfrac{1}{2}\right)^{\text{-}1}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ut xx i ekvationen 42-32x2=1612.4\cdot 2^{\text{-}3}\cdot 2^{x^2}=16^{12}.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda potens med minsta möjliga heltalsbas.


a

162+162+162+16216^2+16^2+16^2+16^2

b

9-2+9-2+9-29^{\text{-} 2}+9^{\text{-} 2}+9^{\text{-} 2}

c

11000250+250+2511^{1000}\cdot 2^{50}+ 2^{50}+ 2^{51}

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför likheten a0=1a^0=1 gäller. Finns det begränsningar?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande uttryck som en potens med minsta möjliga heltalsbas.

a

(42816)10(4\cdot 2 \cdot 8\cdot 16)^{10}

b

(93)1027\dfrac{\left(9^3\right)^{10}}{27}

c

9638+38+38\dfrac{9^6}{3^8+3^8+3^8}

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm xx i följande ekvationer:

a

44x26x=16\dfrac{4^{4x}}{2^{6x}}=16

b

82824x2x=18^2\cdot 8^2\cdot 4^x\cdot 2^x=1

c

42x+16x=324^{2x}+16^{x}=32

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv kvoten 1000000000512 \dfrac{1\,000\,000\,000}{512} som en potens med basen 5, utan att använda din räknare, om du vet att 512 kan skrivas som en potens med bas 2.

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att potensen 8a8^a är lika med 27. Bestäm värdet på potensen 42a.4^{2a}. Lös uppgiften utan räknare.

3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken siffra slutar potensen 22022^{202} på?

3.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm nn om 2438=9n64.2^4\cdot 3^8=9^n\cdot 6^4.

Nationella provet HT16 1b/1c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har följande likhet: 2a=3b=6. 2^a=3^b=6. Visa att summan av aa och bb är lika stor som produkten ab.ab.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}