Logga in
| 10 sidor teori |
| 31 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen 7 och exponenten 4.
Uttryck | Exempel 1 | Exempel 2 |
---|---|---|
22 | 2 upphöjt till 2 |
2 i kvadrat |
73 | 7 upphöjt till 3 |
7 i kubik |
54 | 5 upphöjt till 4 |
- |
m4 | m upphöjt till 4 |
- |
x9 | x upphöjt till 9 |
- |
i kvadrat, respektive
i kubik.
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (2⋅5)3 samma sak som 23⋅53. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
a3=a⋅a⋅a
Ta bort parentes
Omarrangera faktorer
a⋅a⋅a=a3
När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (56)4 samma sak som 5464. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.
Dela upp i faktorer
Multiplicera bråk
Skriv som potens
När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5−3, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 531. Denna motiveras genom att skriva −3 som t.ex. 4−7 och använda en av potenslagarna.
Skriv −3 som 4−7
ab−c=acab
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
a⋅a⋅a=a3
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.
Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med 1, skriv ut den som 1 istället för att utelämna den.
En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är 74 lika med 7⋅7⋅7⋅7.
Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till
följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat
för exponenten 2 och i kubik
för exponenten 3. Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.
Regelbeskrivning | Matematisk representation |
---|---|
Multiplikation av potenser | ab⋅ac=ab+c |
Division av potenser | acab=ab−c |
Potens av potens | (ab)c=ab⋅c |
Potens av produkt | (a⋅b)c=ac⋅bc |
Potens av kvot | (ba)c=bcac |
Potens med negativ exponent | a(−b)=ab1 |
Noll som bas | 0a=0, a=0 |
Bas ett | 1a=1 |
Noll som exponent | a0=1, a=0 |
Exponent ett | a1=a |
Bestäm värdet på x.
Vi skriver om vänsterledet som en potens med basen 3. Då har vi potenser med samma bas på båda sidor likhetstecknet. För att likheten ska gälla måste därför även exponenterna vara lika.
Vi gör på samma sätt och skriver om vänsterledet som en potens med basen 4. Då kan vi likställa exponenterna.
Först multiplicerar vi båda led med 5^6. Då kan vi bestämma x på samma sätt som ovan genom att addera exponenterna.
Bestäm x i ekvationen
Vi börjar med att skriva om vänsterledet som en potens med basen 4 så att vi får potenser med samma bas på båda sidor om likhetstecknet.
Med inspektionsmetoden kan vi se att exponenterna måste vara lika för att likheten ska gälla. Vi ställer upp det och löser ut x.
Vi gör på samma sätt och skriver om vänsterledet som en potens med basen 4. Därefter kan vi likställa exponenterna och lösa ut x.
Vi kan skriva om vänsterledet som en potens genom att använda potenslagen för bråk. Sedan löser vi ut x.
Exponenten visar antalet (- 1):or som multipliceras ihop, så till exempel är (- 1)^(10) tio (- 1) multiplicerade med varandra. Vi vet att om vi multiplicerar talet 1 eller - 1 med sig själv upprepade gånger, får vi aldrig något annat än 1 eller - 1. Exempelvis är 1 * 1 * 1 * 1=1 och (-1) * (-1) * (-1) =-1. Generellt gäller att om man multiplicerar ett jämnt antal negativa tal med varandra blir resultatet positivt, och om man multiplicerar ett udda antal negativa tal med varandra är resultatet negativt. Sammanfattningsvis gäller alltså för negativa ettor: \begin{gathered} (- 1)^\text{jämnt tal} = 1 \quad \text{och} \quad (- 1)^\text{udda tal} = (- 1). \end{gathered} När vi använder detta på vårt uttryck är det viktigt att komma ihåg att det står ett minustecken framför den sista termen som måste stå kvar.
Summan är 2.
I potenser med positiv exponent anger exponenten antalet gånger basen ska multipliceras. Exempelvis kan 10^3 skrivas som 10^3=10* 10* 10. Är exponenten negativ placeras faktorerna i nämnaren i ett bråk med täljaren 1: 10^(-3)= 110* 10* 10. Vi använder detta för att visa likheten.
Det stämmer alltså.
Förenkla uttrycket så långt det går.
Vi använder potenslagarna för att förenkla uttrycket, först potens av en potens och därefter multiplikation av potenser.
Efter förenkling får vi 16x^(13).
Återigen använder vi samma potenslagar som i förra deluppgiften. Vi kommer ihåg att för de negativa baserna, -4 och -8, gäller att produkten blir positiv om exponenten är jämn och att produkten blir negativ om exponenten är udda.
Efter förenkling får vi -8192a^5.
Förenkla uttrycket utan räknare.
En negativ bas med udda exponent blir alltid negativt. Vi använder det för att förenkla nämnaren.
Uttryckets värde är alltså 8.
I nämnaren har vi en potens med en negativ exponent. Vi skriver om den med positiv exponent genom att placera potensen i nämnaren på ett bråk.
Uttrycket förenklades till -8.
För att jämföra potenserna kan vi:
Vi väljer här att göra baserna lika genom att skriva 16^(150) som en potens med basen 2. Potensen som har högst exponent är det största talet.
Vi ser att 16^(150) även kan skrivas som 2^(600). Nu är potensernas baser lika och eftersom 600 är ett större tal än 450 måste 2^(600), dvs. 16^(150), vara den största potensen.
Vi kan också välja att skriva om potenserna så att de får samma exponent och jämföra basernas storlek. Vi skriver om potensen 2^(450) så att den får exponenten 150.
Vi ser att 2^(450) även kan skrivas som 8^(150) och eftersom 8 är mindre än 16 måste 16^(150) vara den största potensen.
b ska vara större än c , och båda ska vara positiva. Vi väljer b = 7 och c = 5. a kan vara 2. Vi börjar med att sätta in detta i lagens vänsterled, VL=a^b/a^c, och förenkla så långt som möjligt. Sedan ska vi undersöka om vi får samma sak ifall vi ersätter a, b och c med samma tal i vänsterledet. I förenklingen utnyttjar vi att en potens är en upprepad multiplikation och att gemensamma faktorer i täljare och nämnare kan strykas.
Vänsterledet blir 2^2. Vad blir högerledet?
Även HL är 2^2, så regeln stämmer för vårt exempel!
Skriv uttrycket som en potens med basen 4.
Vilket tal ligger exakt mitt emellan 102 och 104?
För att hitta talet som ligger mittemellan de båda potenserna kan vi beräkna deras medelvärde. Därför adderar vi dem och delar summan med 2.
Talet mittemellan 10^2 och 10^4 är alltså 5 050.