Omkrets och area

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att beskriva världen runt omkring sig använder man bl.a. geometriska former. En vigselring kan exempelvis ses som en cirkel och väggarna i ett rum kan ses som rektanglar. När man arbetar med sådana figurer är det bekvämt med formler för att beräkna olika egenskaper. Man kanske vill beräkna omkretsen på ringen för att bestämma hur mycket guld som kommer att behövas eller beräkna väggarnas area för att uppskatta hur mycket tapet man måste köpa.
Regel

Kvadrat

En kvadrat är en fyrhörning där alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean bestäms med längden på sidan, a.a.

Regel

Rektangel

I rektanglar är motstående sidor lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean beräknas med dess sidlängder, bb och h.h.

Regel

Triangel

En triangels omkrets beräknas med längden av dess sidor: a,a, bb och c.c. För att bestämma arean måste man även känna till höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från en av sidorna till motstående hörn.

Regel

Cirkel

En cirkel är en geometrisk figur där alla punkter på randen är lika långt från cirkelns mitt. Detta avstånd kallas radie och används både när man beräknar omkretsen och arean.

Regel

Romb

En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa, men vinklarna mellan sidorna måste inte nödvändigtvis vara räta.

Regel

Parallellogram

I en parallellogram är motstående sidor alltid parallella och lika långa, men vinklarna mellan sidorna behöver inte vara räta.

Uppgift

Pål ska bygga ett fönster med utseende och mått som i bilden.

För att bestämma hur mycket material som behövs till listerna runt fönstret beräknar han omkretsen och för att veta hur mycket glas han behöver beräknar han arean. Vilka värden får han? Avrunda till 22 värdesiffror.

Lösning

För att enklare kunna utföra beräkningarna delar vi upp fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.

Vi ser att cirkelns diameter är samma som sidan på kvadraten, vilket innebär att radien är hälften så lång, alltså 3030 cm.

Exempel

Omkrets

Omkretsen runt fönstret består av tre sidor från kvadraten och en halvcirkel. Vi beräknar först omkretsen för en hel cirkel, vilket ger 2πr=2π302\pi r = 2 \pi \cdot 30 cm. Delar vi sedan med 22 får vi omkretsen för vår halvcirkel. 2π302=30π cm \dfrac{2 \pi \cdot 30}{2} = 30\pi \text{ cm} Vi lägger till sist ihop denna längd med tre av kvadratens sidor och avrundar till 22 värdesiffror. 30π+60+60+60270 cm 30\pi + 60 + 60 + 60 \approx 270 \text{ cm} Fönstrets omkrets är alltså ungefär 270270 cm.

Exempel

Area

Arean för fönstret får man genom att lägga ihop arean för kvadraten med den för halvcirkeln. Kvadraten har sidan 6060 cm, vilket ger arean 602=3600 cm2. 60^2 = 3600 \text{ cm}^2. Arean för halvcirkeln får vi genom att beräkna arean för hela cirkeln, alltså πr2=π302\pi r^2 = \pi \cdot 30^2 cm2^2 och dela den med 22: π3022 cm2. \dfrac{\pi \cdot 30^2}{2}\text{ cm}^2. Vi lägger ihop de två areorna för att få fönstrets totala area: 3600+π30225000 cm2. 3600 + \dfrac{\pi \cdot 30^2}{2} \approx 5000\text{ cm}^2.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Omvandla längdenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en längd. Exempelvis är det lämpligare att ange avstånd mellan två städer i km eller mil istället för centimeter. Genom att multiplicera eller dividera med 1010 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste längdenheterna.

Omvandla langdenheter.svg

I figuren kan man t.ex. se att man ska dividera med 1010 för att omvandla från centimeter till decimeter. Det beror på att det går 1010 cm på 11 dm. Av samma anledning multiplicerar man med 1010 när man går från decimeter till centimeter. Exempelvis kan längden 180180 cm alltså skrivas om som 18010=18 dm. \dfrac{180}{10} = 18 \text{ dm.}

De tomma rutorna mellan meter och kilometer beror på att det inte finns några vanliga längdenheter mellan dessa enheter.
Metod

Omvandla areaenheter

Om storleken på en lägenhet är angiven i kvadratcentimeter vill man förmodligen omvandla den till kvadratmeter, som är det man oftast använder. Genom att multiplicera eller dividera med 100100 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligare areaenheterna.

Omvandla areaenheter.svg

Exempelvis går det 100100 cm2^211 dm2.^2. När man går från kvadratcentimeter till kvadratdecimeter måste man därför dividera med 100.100. På motsvarande sätt multiplicerar man med 100100 när man omvandlar från kvadratdecimeter till kvadratcentimeter. Exempelvis kan arean 350350 cm2^2 alltså skrivas om till 350100=3.5 dm2. \dfrac{350}{100} = 3.5 \text{ dm}^2.

Av de givna areaenheterna är ar (a) och hektar (ha) mindre vanliga och används främst inom lantmäteri.
Uppgift

En stad planerar att planerar att asfaltera om en s.k. flygraka. Det är en bredare väg för biltrafik som i nödfall kan användas som start- och landningsbana för mindre flygtrafik. Vägen är 1.51.5 km lång och 1515 meter bred. Man räknar med en kostnad på 8080 kr per m2.\text{m}^2. Efter asfalteringen ska vägen även målas med mittlinjer. Dessa är 100100 cm långa och 1515 cm breda och målas med 5050 cm mellanrum. Färgen kostar 65 kr/m2.65\ \text{kr}/\text{m}^2. Hur stor kostnad bör staden budgetera för?

Lösning

Vi börjar med att beräkna arean för vägen. Eftersom det är en raksträcka kan den ses som en rektangel med basen 1.51.5 km och höjden 1515 meter.

Det går 10001000 meter på en kilometer så basen på rektangeln blir 1.51000=15001.5\cdot 1000=1500 meter. Det betyder att arean är 150015=22500 m2. 1500\cdot 15 = 22\,500\text{ m}^2. Vi multiplicerar detta med 8080 kr för att beräkna den totala kostnaden för asfalteringen: 2250080=1800000 kr. 22\,500\cdot 80 = 1\,800\, 000\text{ kr.} Nu beräknar vi hur stor en av mittlinjerna är.

Arean för mittlinjen blir 10015=1500 cm2. 100\cdot 15 = 1500 \text{ cm}^2. Men priset är ju angivet per kvadratmeter. För att omvandla från enheten cm2\text{cm}^2 till m2\text{m}^2 dividerar vi med 1000010\,000: 150010000=0.15 m2. \dfrac{1500}{10\,000} = 0.15 \text{ m}^2. Men hur många streck får det plats på vägen? Det är 5050 cm mellan varje streck och varje streck är 100100 cm. Det betyder att varje streck har 5050 cm omålad väg till höger eller vänster. Ett streck samt en omålad sektion upptar alltså totalt 100+50=150100+50=150 cm, dvs. 1.51.5 m. Vi beräknar hur många sådana sträckor det får plats på den 1.51.5 km långa vägen genom att dividera 15001500 meter med 1.51.5 m. 15001.5=1000. \dfrac{1500}{1.5} = 1000. Det blir alltså totalt 10001000 streck som ska målas så deras totala area blir 10000.15=150 m2.1000\cdot 0.15=150\text{ m}^2. Detta multiplicerar vi med priset per kvadratmeter: 15065=9750 kr.150\cdot 65=9750 \text{ kr.} Till sist lägger vi ihop de två priserna för att få den totala kostnaden: 1800000+9750=1809750 kr. 1\,800\,000 + 9750 = 1\,809\,750\text{ kr.} Staden bör alltså budgetera ca 18100001\,810\, 000 kr för omasfalteringen.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna omkrets och area för figurerna och avrunda svaren till en decimal. Alla mått är i cm.

a
b
c
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv 1818 km i cm.

b

Skriv 13001300 mm i dm.

c

Skriv 3 m23 \text{ m}^2 i cm2.^2.

d

Skriv 300 dm2300 \text{ dm}^2 i m2.^2.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rektangelns sidor är angivna i meter.

Bestäm arean i kvadratcentimeter genom att


a

omvandla rektangelns sidor från m till cm.

b

omvandla rektangelns area från m2^2 till cm2.^2.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna area och omkrets för följande figurer och avrunda till en decimal. Alla längder är angivna i cm.

a
b


1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Så kallade "festpizzor" från Pizza-palatset har radien 2222 cm och delas i fem lika stora delar innan de serveras. På en fest deltar 1515 personer och varje person äter tre bitar pizza. Hur många kvadratcentimeter pizza äter varje person och hur många pizzor måste beställas?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar en toalettpappersrulle från sidan.

Vad är tvärsnittsarean på pappret, alltså arean sedd från sidan? Avrunda till ett heltal.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Ange ett uttryck för fyrhörningens omkrets i enklast möjliga form.

b

Hur lång är den längsta sidan om omkretsen är 2323 cm?

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför går det 10000001\,000\,000 kvadratmeter på en kvadratkilometer.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangels bredd och längd ökar enligt figuren.

a

Hur många cm2\text{cm}^2 ökar arean med?

b

Hur många procent ökar arean med?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Miljöorganisationen Grön Fredag har bjudit in hela världens befolkning till en tredagarskonferens på Gotland för att diskutera den globala uppvärmningen. Hur många m2\text{m}^2 kan varje människa använda om man leker med tanken att alla människor i världen faktiskt dyker upp. Anta att det finns 7.67.6 miljarder människor på jorden och att Gotland är ca 3184 km2.3184 \text{ km}^2. Avrunda svaret till en decimal.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Hur många cm2\text{cm}^2 av den norska flaggan är vit?
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En löparbana med fyra spår har följande mått enligt ritningen nedan.

Hur mycket längre är ytterbanan jämfört med innerbanan om man vet att varje spår är 1.21.2 meter brett? Räkna med att löpare springer på innersta delen av varje spår. Avrunda svaret till hela meter.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket av följande uttryck motsvarar figurens omkrets? a+b2a+2b3a+2b3a+3b4a+2b a+b \quad 2a+2b \quad 3a+2b \quad 3a+3b \quad 4a+2b Motivera ditt svar.

Nationella provet VT10 MaA (anpassad text)
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Hur stor andel av kvadraten är färgad? Svara i hela procent.

b

Hur stor andel av cirkeln är färgad? Svara i hela procent.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Ett sätt att vika ett pappersflygplan är att börja med att vika in hörnen på ena kortsidan mot mittlinjen.
Papperflygplan-1.svg
Sedan viker man pappret på mitten.
Papperflygplan-2.svg
Till sist viker man pappret på mitten igen för att skapa vingarna.
Papperflygplan-3.svg
När man viker upp vingarna igen är flygplanet färdigt.
Papperflygplan-4.svg

Om man viker ett sådant flygplan av ett A4-papper, med långsidan 29.729.7 cm och kortsidan 21.021.0 cm, hur stor area har då vingarna, alltså det gråmarkerade området i figuren? Avrunda till hela cm2.\text{cm}^2.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}