body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

För att beskriva världen runt omkring sig använder man bl.a. geometriska former. En vigselring kan exempelvis ses som en cirkel och väggarna i ett rum kan ses som rektanglar. När man arbetar med sådana figurer är det bekvämt med formler för att beräkna olika egenskaper. Man kanske vill beräkna omkretsen på ringen för att bestämma hur mycket guld som kommer att behövas eller beräkna väggarnas area för att uppskatta hur mycket tapet man måste köpa.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Omkrets och area för kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb och parallellogram
Omvandling av längdenheter
Omvandling av areaenheter

Förkunskaper

Kvadrat
Rektangel
Triangel
Cirkel
Romb
Parallellogram

Teori

Omkrets och area av en kvadrat

En kvadrat är en fyrhörning där alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean bestäms med längden på sidan, $a .$

Teori

Omkrets och area av en rektangel

I rektanglar är motstående sidor lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean beräknas med dess sidlängder, $b$ och $h .$

Teori

Omkrets och area av en triangel

En triangels omkrets beräknas med längden av dess sidor: $a,$ $b$ och $c .$ För att bestämma arean måste man även känna till höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från en av sidorna till motstående hörn.

Teori

Omkrets och area av en cirkel

En cirkel är en geometrisk figur där alla punkter på randen är lika långt från cirkelns mitt. Detta avstånd kallas radie och används både när man beräknar omkretsen och arean.

Teori

Omkrets och area av en romb

En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa, men vinklarna mellan sidorna måste inte nödvändigtvis vara räta.

Teori

Omkrets och area av en parallellogram

I en parallellogram är motstående sidor alltid parallella och lika långa, men vinklarna mellan sidorna behöver inte vara räta.

Exempel

Beräkna omkretsen och arean

Pål ska bygga ett fönster med utseende och mått som i bilden.

a För att bestämma hur mycket material som behövs till listerna runt fönstret beräknar han omkretsen. Vilket värde får han? Avrunda till två värdesiffror.

b För att veta hur mycket glas han behöver beräknar han arean. Vilket värde får han? Avrunda till två decimaler.

Ledtråd

a Dela fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.

b Lägg till arean av kvadraten och arean av halvcirkeln.

Lösning

a För att enklare kunna utföra beräkningarna delar vi upp fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.

Vi ser att cirkelns diameter är samma som sidan på kvadraten, vilket innebär att radien är hälften så lång, alltså

30 cm .

Omkretsen runt fönstret består av tre sidor från kvadraten och en halvcirkel. Vi beräknar först omkretsen för en hel cirkel, vilket ger

2 π r = 2 π \cdot 30 cm .

Delar vi sedan med

2

får vi omkretsen för vår halvcirkel.

\frac{2 π \cdot 3 0}{2} = 30 π cm

Vi lägger till sist ihop denna längd med tre av kvadratens sidor och avrundar till

2

värdesiffror.

30 π + 60 + 60 + 60

Slå in på räknare

274, 247779 \dots

Avrunda till $2$ gällande

\approx 270

Fönstrets omkrets är alltså ungefär

270 cm .

b Arean för fönstret får man genom att lägga ihop arean för kvadraten med den för halvcirkeln. Kvadraten har sidan

60 cm,

vilket ger arean

6 0^{2} = 3600 cm^{2} .

Arean för halvcirkeln får vi genom att beräkna arean för hela cirkeln, alltså

π r^{2} = π \cdot 3 0^{2} cm^{2}

och dela den med

2 :

\frac{π \cdot 3 0 ^{2}}{2} cm^{2} .

Vi lägger ihop de två areorna för att få fönstrets totala area.

3600 + \frac{π \cdot 3 0 ^{2}}{2}

Slå in på räknare

5013, 716694 \dots

Avrunda till $2$ decimal(er)

\approx 5013, 72

Fönstrets totala yta är cirka

5013, 72 cm^{2} .

Teori

Omvandla längdenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en längd. Exempelvis är det lämpligare att ange avstånd mellan två städer i km eller mil istället för centimeter. Genom att multiplicera eller dividera med $10$ ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste längdenheterna.

I figuren kan man t.ex. se att man ska dividera med

10

för att omvandla från centimeter till decimeter. Det beror på att det går

10

cm på

1

dm. Av samma anledning multiplicerar man med

10

när man går från decimeter till centimeter. Exempelvis kan längden

180

cm alltså skrivas om som

\frac{1 8 0}{1 0} = 18 dm .

Bland längdenheterna används dekametern (dam) och hektometern (hm) mindre ofta.

Teori

Omvandla areaenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en area. Om storleken på en lägenhet exempelvis är angiven i kvadratcentimeter vill man förmodligen omvandla den till kvadratmeter, som är det man oftast använder. Genom att multiplicera eller dividera med $100$ ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligare areaenheterna.

Exempelvis går det

100 cm^{2}

på

1 dm^{2} .

När man går från kvadratcentimeter till kvadratdecimeter måste man därför dividera med

100 .

På motsvarande sätt multiplicerar man med

100

när man omvandlar från kvadratdecimeter till kvadratcentimeter. Exempelvis kan arean

350 cm^{2}

alltså skrivas om till

\frac{3 5 0}{1 0 0} = 3, 5 dm^{2} .

Av de givna areaenheterna är ar (a) och hektar (ha) mindre vanliga och används främst inom lantmäteri.

Exempel

Vad blir den totala kostnaden?

En stad planerar att planerar att asfaltera om en s.k. flygraka. Det är en bredare väg för biltrafik som i nödfall kan användas som start- och landningsbana för mindre flygtrafik. Vägen är

1, 5

km lång och

15

meter bred. Man räknar med en kostnad på

80

kr per

m^{2} .

Efter asfalteringen ska vägen även målas med mittlinjer. Dessa är

100

cm långa och

15

cm breda och målas med

50

cm mellanrum. Färgen kostar

65 kr / m^{2} .

Hur stor kostnad bör staden budgetera för? Avrunda svaret till tre värdesiffror.

Ledtråd

Vägen kan betraktas som en rektangel med en längd på $1, 5$ km och en bredd på $15$ meter.

Lösning

Vi börjar med att beräkna arean för vägen. Eftersom det är en raksträcka kan den ses som en rektangel med basen $1, 5$ km och höjden $15$ meter.

Det går

1000

meter på en kilometer så basen på rektangeln blir

1, 5 \cdot 1000 = 1500

meter. Det betyder att arean är

1500 \cdot 15 = 22500 m^{2} .

Vi multiplicerar detta med

80

kr för att beräkna den totala kostnaden för asfalteringen:

22500 \cdot 80 = 1800000 kr .

Nu beräknar vi hur stor en av mittlinjerna är.

Arean för mittlinjen blir

100 \cdot 15 = 1500 cm^{2} .

Men priset är ju angivet per kvadratmeter. För att omvandla från enheten

cm^{2}

till

m^{2}

dividerar vi med

10000 :

\frac{1 5 0 0}{1 0 0 0 0} = 0, 15 m^{2} .

Men hur många streck får det plats på vägen? Det är

50

cm mellan varje streck och varje streck är

100

cm. Det betyder att varje streck har

50

cm omålad väg till höger eller vänster. Ett streck samt en omålad sektion upptar alltså totalt

100 + 50 = 150

cm, dvs.

1, 5

m. Vi beräknar hur många sådana sträckor det får plats på den

1, 5

km långa vägen genom att dividera

1500

meter med

1.5

m.

\frac{1 5 0 0}{1 , 5} = 1000 .

Det blir alltså totalt

1000

streck som ska målas så deras totala area blir

1000 \cdot 0, 15 = 150 m^{2} .

Detta multiplicerar vi med priset per kvadratmeter:

150 \cdot 65 = 9750 kr .

Till sist lägger vi ihop de två priserna för att få den totala kostnaden:

1800000 + 9750 = 1809750 kr .

Staden bör alltså budgetera ca

1810000

kr för omasfalteringen.

Övning

Hitta omkretsen och arean för tvådimensionella figurer

Avslut

Sammanfattning

Att kunna räkna ut omkrets och area för olika former är viktigt i både matematik och vardagen. Innan vi avslutar, låt oss gå igenom formlerna för kvadrater, rektanglar, trianglar, cirklar, romber och parallellogram.

Att behärska dessa formler är viktigt för att lösa praktiska problem inom allt från arkitektur till ingenjörskonst. En annan viktig faktor när man arbetar med längder och områden är förmågan att uttrycka enheter korrekt och konvertera mellan olika enheter.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll