1. Omkrets och area
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Omkrets och area
Denna lektion är en omfattande guide till omkrets och area, som täcker olika geometriska former som cirkel, rektangel och kvadrat. Den förklarar hur man beräknar omkrets och area på ett enkelt och förståeligt sätt. Den tar upp specifika exempel, som att beräkna omkretsen av en cirkel och arean av en rektangel, för att ge en praktisk förståelse för koncepten. Dessutom erbjuder den praktiska övningar och problem för att förbättra förståelsen och tillämpningen av dessa koncept i verkliga situationer.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 13 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Omkrets och area
Sida av 13
För att beskriva världen runt omkring sig använder man bl.a. geometriska former. En vigselring kan exempelvis ses som en cirkel och väggarna i ett rum kan ses som rektanglar. När man arbetar med sådana figurer är det bekvämt med formler för att beräkna olika egenskaper. Man kanske vill beräkna omkretsen på ringen för att bestämma hur mycket guld som kommer att behövas eller beräkna väggarnas area för att uppskatta hur mycket tapet man måste köpa.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Omkrets och area för kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb och parallellogram
- Omvandling av längdenheter
- Omvandling av areaenheter
Teori
Omkrets och area av en kvadrat
Teori
Omkrets och area av en rektangel
I rektanglar är motstående sidor lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean beräknas med dess sidlängder, b och h.
Teori
Omkrets och area av en triangel
En triangels omkrets beräknas med längden av dess sidor: a, b och c. För att bestämma arean måste man även känna till höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från en av sidorna till motstående hörn.
Teori
Omkrets och area av en cirkel
Teori
Omkrets och area av en romb
En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa, men vinklarna mellan sidorna måste inte nödvändigtvis vara räta.
Teori
Omkrets och area av en parallellogram
I en parallellogram är motstående sidor alltid parallella och lika långa, men vinklarna mellan sidorna behöver inte vara räta.
Övning
Hitta omkretsen och arean för tvådimensionella figurer
Exempel
Beräkna omkretsen och arean
Pål ska bygga ett fönster med utseende och mått som i bilden.
a För att bestämma hur mycket material som behövs till listerna runt fönstret beräknar han omkretsen. Vilket värde får han? Avrunda till två värdesiffror.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["2700"]}}
b För att veta hur mycket glas han behöver beräknar han arean. Vilket värde får han? Avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8238736249999999em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">cm<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["5013.72"]}}
Ledtråd
a Dela fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.
b Lägg till arean av kvadraten och arean av halvcirkeln.
Lösning
a För att enklare kunna utföra beräkningarna delar vi upp fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.
22π⋅30=30π cm
Vi lägger till sist ihop denna längd med tre av kvadratens sidor och avrundar till 2 värdesiffror.
Fönstrets omkrets är alltså ungefär 270 cm.
b Arean för fönstret får man genom att lägga ihop arean för kvadraten med den för halvcirkeln. Kvadraten har sidan 60 cm, vilket ger arean
602=3600 cm2.
Arean för halvcirkeln får vi genom att beräkna arean för hela cirkeln, alltså πr2=π⋅302 cm2 och dela den med 2:
2π⋅302 cm2.
Vi lägger ihop de två areorna för att få fönstrets totala area.
Fönstrets totala yta är cirka 5013,72 cm2.
Teori
Omvandla längdenheter
Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en längd. Exempelvis är det lämpligare att ange avstånd mellan två städer i km eller mil istället för centimeter. Genom att multiplicera eller dividera med 10 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste längdenheterna.
10180=18 dm.
Bland längdenheterna används dekametern (dam) och hektometern (hm) mindre ofta.Teori
Omvandla areaenheter
Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en area. Om storleken på en lägenhet exempelvis är angiven i kvadratcentimeter vill man förmodligen omvandla den till kvadratmeter, som är det man oftast använder. Genom att multiplicera eller dividera med 100 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligare areaenheterna.
100350=3,5 dm2.
Av de givna areaenheterna är ar (a) och hektar (ha) mindre vanliga och används främst inom lantmäteri.Övning
Omvandla längd- och arealenheter
Exempel
Vad blir den totala kostnaden?
En stad planerar att planerar att asfaltera om en s.k. flygraka. Det är en bredare väg för biltrafik som i nödfall kan användas som start- och landningsbana för mindre flygtrafik. Vägen är 1,5 km lång och 15 meter bred. Man räknar med en kostnad på 80 kr per m2. Efter asfalteringen ska vägen även målas med mittlinjer. Dessa är 100 cm långa och 15 cm breda och målas med 50 cm mellanrum. Färgen kostar 65kr/m2. Hur stor kostnad bör staden budgetera för? Avrunda svaret till tre värdesiffror. 
Det går 1000 meter på en kilometer så basen på rektangeln blir 1,5⋅1000=1500 meter. Det betyder att arean är
Arean för mittlinjen blir
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["1810000"]}}
Ledtråd
Vägen kan betraktas som en rektangel med en längd på 1,5 km och en bredd på 15 meter.
Lösning
Vi börjar med att beräkna arean för vägen. Eftersom det är en raksträcka kan den ses som en rektangel med basen 1,5 km och höjden 15 meter.
1500⋅15=22500 m2.
Vi multiplicerar detta med 80 kr för att beräkna den totala kostnaden för asfalteringen:
22500⋅80=1800000 kr.
Nu beräknar vi hur stor en av mittlinjerna är. 100⋅15=1500 cm2.
Men priset är ju angivet per kvadratmeter. För att omvandla från enheten cm2 till m2 dividerar vi med 10000:
100001500=0,15 m2.
Men hur många streck får det plats på vägen? Det är 50 cm mellan varje streck och varje streck är 100 cm. Det betyder att varje streck har 50 cm omålad väg till höger eller vänster. Ett streck samt en omålad sektion upptar alltså totalt 100+50=150 cm, dvs. 1,5 m. Vi beräknar hur många sådana sträckor det får plats på den 1,5 km långa vägen genom att dividera 1500 meter med 1.5 m.
1,51500=1000.
Det blir alltså totalt 1000 streck som ska målas så deras totala area blir 1000⋅0,15=150 m2. Detta multiplicerar vi med priset per kvadratmeter: 150⋅65=9750 kr. Till sist lägger vi ihop de två priserna för att få den totala kostnaden:
1800000+9750=1809750 kr.
Staden bör alltså budgetera ca 1810000 kr för omasfalteringen.
Omkrets och area
Övningar
Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["21"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["36"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma den andelen av kvadraten som är färgad måste vi först bestämma kvadratens och cirkelns area.
Areor
Vi bestämmer först kvadratens area. Sidan är x så arean blir A_(Kvadrat)=x^2. Vi beräknar även cirkelns area. Cirkelns diameter är lika lång som kvadratens sida, dvs. x, vilket betyder att radien är x2.
Färgat område
Nu har vi bestämt uttryck för kvadratens och cirkelns areor. Det färgade området blir kvadratens area minus cirkelns area.
Till sist beräknar vi andelen som det färgade området utgör av kvadratens genom att dela uttrycket för det färgade området med kvadratens area.
Det färgade området utgör alltså ca 21 % av kvadratens area.
Vi bestämmer först kvadratens och cirkelns area.
Areor
Cirkeln har radien a så dess area blir A_(Cirkel)=π a^2. Kvadratens area kan vi räkna ut genom att dela den längs med diagonalen. Då bildas två likadana trianglar där höjden är radien, a, och basen är diametern dvs. 2a.
Vi beräknar nu en av dessa trianglars area.
Den blå triangeln har arean a^2 och eftersom kvadraten är lika stor som två sådana trianglar har den arean 2a^2.
Färgat område
Det färgade området är cirkelns area subtraherat med kvadratens, dvs. π a^2-2a^2. Nu delar vi det färgade områdets area med cirkelns för att bestämma hur stor andel den utgör.
Det färgade området utgör alltså ca 36 % av kvadratens area.
security
report
code
Ett sätt att vika ett pappersflygplan är att börja med att vika in hörnen på ena kortsidan mot mittlinjen.
Sedan viker man pappret på mitten.
Till sist viker man pappret på mitten igen för att skapa vingarna.
När man viker upp vingarna igen är flygplanet färdigt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8238736249999999em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">cm<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["229"]}}
security
report
code
security
report
code
För att få en bättre idé om vingarnas dimensioner tittar vi på hur pappret ser ut om vi viker ut det igen så att det ser ut som i steg två. Vingarnas yta är fortfarande gråmarkerad.
Eftersom vi viker papperet två gånger på längden delas kortsidan in i fyra lika stora delar. De grå områdena har alltså höjden 21,04 = 5,25 cm.
De invikta hörnen delar kortsidan på mitten och trianglarna som de skapar har då kateter med längden 21,02 = 10,5 cm.
Drar man bort detta från längden på papprets långsida får man de grå rektanglarnas långsidor: 29,7 - 10,5 = 19,2 cm. Vi ser också att de grå trianglarnas kateter har samma längd som kortsidorna på rektanglarna.
Nu har vi allt som behövs för att beräkna arean av det grå områdena. Det finns två rektanglar med kortsida 5,25 cm och långsida 19,2 cm, vilka tillsammans ger arean 2 * 5,25 * 19,2 = 201,6 cm^2. Vi beräknar sedan arean för de två trianglarna, som har 5,25 cm både som bas och höjd. 2 * 5,25 * 5,25/2 = 27,5625 cm^2 Lägger vi ihop dessa får vi vingarnas area, 201,6 + 27,5625 = 229,1625 cm^2, vilket avrundat till hela kvadratcentimeter är 229 cm^2.
security
report
code
Omkrets och area
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll