Omkrets och area

För att bestämma den andelen av kvadraten som är färgad måste vi först bestämma kvadratens och cirkelns area.

Areor

Vi bestämmer först kvadratens area. Sidan är x så arean blir A_(Kvadrat)=x^2. Vi beräknar även cirkelns area. Cirkelns diameter är lika lång som kvadratens sida, dvs. x, vilket betyder att radien är x2.

Färgat område

Nu har vi bestämt uttryck för kvadratens och cirkelns areor. Det färgade området blir kvadratens area minus cirkelns area.

Till sist beräknar vi andelen som det färgade området utgör av kvadratens genom att dela uttrycket för det färgade området med kvadratens area.

Det färgade området utgör alltså ca 21 % av kvadratens area.

Vi bestämmer först kvadratens och cirkelns area.

Areor

Cirkeln har radien a så dess area blir A_(Cirkel)=π a^2. Kvadratens area kan vi räkna ut genom att dela den längs med diagonalen. Då bildas två likadana trianglar där höjden är radien, a, och basen är diametern dvs. 2a.

Vi beräknar nu en av dessa trianglars area.

Den blå triangeln har arean a^2 och eftersom kvadraten är lika stor som två sådana trianglar har den arean 2a^2.

Färgat område

Det färgade området är cirkelns area subtraherat med kvadratens, dvs. π a^2-2a^2. Nu delar vi det färgade områdets area med cirkelns för att bestämma hur stor andel den utgör.

Det färgade området utgör alltså ca 36 % av kvadratens area.

För att få en bättre idé om vingarnas dimensioner tittar vi på hur pappret ser ut om vi viker ut det igen så att det ser ut som i steg två. Vingarnas yta är fortfarande gråmarkerad.

Eftersom vi viker papperet två gånger på längden delas kortsidan in i fyra lika stora delar. De grå områdena har alltså höjden 21,04 = 5,25 cm.

De invikta hörnen delar kortsidan på mitten och trianglarna som de skapar har då kateter med längden 21,02 = 10,5 cm.

Drar man bort detta från längden på papprets långsida får man de grå rektanglarnas långsidor: 29,7 - 10,5 = 19,2 cm. Vi ser också att de grå trianglarnas kateter har samma längd som kortsidorna på rektanglarna.

Nu har vi allt som behövs för att beräkna arean av det grå områdena. Det finns två rektanglar med kortsida 5,25 cm och långsida 19,2 cm, vilka tillsammans ger arean 2 * 5,25 * 19,2 = 201,6 cm^2. Vi beräknar sedan arean för de två trianglarna, som har 5,25 cm både som bas och höjd. 2 * 5,25 * 5,25/2 = 27,5625 cm^2 Lägger vi ihop dessa får vi vingarnas area, 201,6 + 27,5625 = 229,1625 cm^2, vilket avrundat till hela kvadratcentimeter är 229 cm^2.

Vill man ha "så mycket pizza som möjligt för pengarna" är det rimligen så stor area som möjligt per krona.

Eftersom vi inte vet någon av pizzornas radier inför vi beteckningar för dessa. Låt r och a stå för den mindre pizzans radie och area. Enligt formeln för en cirkels area är a=π r^2. På samma sätt, låt R och A beteckna radie och area för den större pizzan, då är A=π R^2. Att R är 20 % större än r motsvarar förändringsfaktorn 1.20 och innebär att R=1.20r. Detta använder vi i formeln för A.

Här kan vi använda att π r^2=a och får sambandet A=1.44a mellan den lilla och den stora pizzans areor. Förändringsfaktorn är alltså 1.44 så detta samband innebär att A är 44 % större än a.

Slutsats

Vi har just kommit fram till att den stora pizzans area alltså är 44 % större än den lilla, men priset är endast 25 % högre, så den större pizzan är mer prisvärd och ger mest pizza för pengarna!

Betrakta det givna diagrammet över trappan och dess paneler.

Vi vill hitta värdet på x. Vi får veta att var och en av de tre panelerna har formen av en parallellogram och har en area på 287 kvadratcentimeter. Kom ihåg att arean av en parallellogram är produkten av dess bas b och dess höjd h. A= b h Observera att var och en av panelerna har en bas med längden x. Vi skulle kunna använda arean av en panel för att hitta värdet på x, men vi skulle först behöva hitta höjden, h. Låt oss göra det! Vi får veta att det horisontella avståndet mellan panelerna är 4,25 centimeter. Låt oss inkludera detta i diagrammet.

Observera att avståndet från den vänstra basen av den vänstra parallellogrammen och den högra basen av den högra parallellogrammen är detsamma som 3 höjder h och 2 segment på 4,25 centimeter. Vi kan använda denna information för att skriva en ekvation. 50,5 = h+ h+ h+4,25+4,25 Låt oss lösa denna ekvation för h!

Vi fann att höjden på varje panel är 14 centimeter. Med detta i åtanke kan vi använda formeln för arean av en parallellogram för att hitta basen x. Kom ihåg att arean av varje parallellogram är 287 kvadratcentimeter.

Basen på varje parallellogram x är 20,5 centimeter.

Vi får följande figur.

Vi vill skriva uttryck som representerar figurens omkrets och area. Låt oss göra detta steg för steg.

Figurens omkrets

Låt oss börja med att analysera diagrammet.

Observera att figuren består av kvadraten och halvcirkeln. Detta innebär att den saknade längden är hälften av omkretsen av en cirkel med en diameter på x. Låt oss använda denna information för att skriva ett uttryck som representerar den saknade längden. Kom ihåg att omkretsen av en cirkel är π gånger dess diameter.

Nu kan vi skriva ett uttryck för figurens omkrets.

Låt oss förenkla detta uttryck lite.

Figurens omkrets är lika med (3+ 12π)x enheter.

Figurens area

Låt oss återigen börja med att titta närmare på diagrammet.

Observera att figurens area är lika med arean av kvadraten plus arean av halvcirkeln. Låt oss hitta dessa areor. För att göra det måste vi komma ihåg formlerna för arean av en kvadrat och en halvcirkel.

Låt oss nu använda diagrammet för att hitta alla mått vi behöver.

Därefter kan vi skriva uttrycket för arean av kvadraten och halvcirkeln. Sedan beräknar vi summan av areorna, vilket är arean av hela figuren.

Slutligen, låt oss förenkla uttrycket för arean av hela figuren.

Figurens area är lika med (1+ 18π)x^2 areaenheter.