Omkrets och area

En kvadratkilometer kan ses som ett kvadratiskt område med sidan 1 km.

Eftersom prefixet kilo är lika med 1 000 går det 1 000 meter på 1 km. Kvadratens sidor är alltså 1 000 meter.

Området är fortfarande lika stort som 1 km^2 men om vi multiplicerar sidorna uttryckt i meter får vi arean i m^2.

Arean av ett kvadratiskt område på 1 km^2 är alltså lika mycket som 1 000 000 m^2.

För att bestämma en rektangels area multiplicerar man basen med höjden. Vi gör detta för de två olika rektanglarna.

Lilla rektangeln

Den lilla rektangeln har basen 4 cm och höjden 3 cm. Det ger arean 4* 3=12 cm^2.

Stora rektangeln

Den stora rektangeln har basen 6 cm och höjden 4 cm. Dess area är därför 6*4=24 cm^2. Den lilla rektangeln har arean 12 cm^2 och den större har arean 24 cm^2. Detta betyder att arean ökar med 24-12=12 cm^2.

24 är dubbelt så stort som 12 så den stora rektangeln är dubbelt så stor som den lilla. Det betyder att arean ökat med 100 %.

Låt oss först göra om Gotlands arean från km^2 till m^2. Det går 1 000 meter på 1 km så på en km^2 går det 1 000 * 1 000 = 1 000 000 m^2. Detta betyder att Gotlands yta är 3 184 * 1 000 000 = 3 184 000 000 m^2. När vi vet hur många m^2 Gotland utgör kan vi räkna ut hur många m^2 varje person har att stå på genom att dela ytan med antalet människor. En miljard är 10^9 så 7,9 miljarder skrivs som 7,6*10^9.

Varje person får alltså ca 0,4 m^2 att stå på.

Vi börjar med att beräkna hela flaggans area.

Flaggans bas och höjd bestäms genom att summera de markerade avstånden längs med flaggans kort- respektive långsida. Bas:& 6+1+2+1+12=22 cm [0.2em] Höjd:& 6+1+2+1+6=16 cm Nu kan vi beräkna flaggans area.

Subtraherar vi de röda och blå areorna från flaggans area kan vi bestämma hur stort det vita området är.

Rött område

Det finns 4 röda områden på flaggan, två kvadrater med sidan 6 cm och två rektanglar med sidorna 6 cm och 12 cm. Vi beräknar arean för en kvadrat och en rektangel.

Vi beräknar även en av de röda rektanglarnas area.

Det finns två röda rektanglar och två röda kvadrater så det röda området är2* 36+2* 72 = 216 cm^2.

Blått område

Det blå området kan delas upp i tre rektanglar.

Nu bestämmer vi de blå rektanglarnas area. Vi börjar med en av de vertikala. De har höjden 7 cm och basen 2 cm. Det ger arean 2*7=14 cm^2. De är två till antalet så deras totala area blir 2* 14= 28 cm^2. Nu kan vi bestämma den horisontella rektangelns area. Den har basen 22 cm och höjden 2 cm, så dess area blir 2* 22=44 cm^2. Det totala arean av det blå området är summan av de mörk- och ljusblå rektanglarna. 28+44=72 cm^2

Vitt område

Nu kan vi bestämma det vita området genom att subtrahera den röda och blå arean från hela flaggans area. 352 - 216 - 72 = 64 cm^2

När vi räknar på banornas längd delar vi upp dem i raksträckor och kurvor.

Innerbanan

Innerbanan har två raksträckor som är 100 meter vardera, dvs. totalt 200 meter. Eftersom man springer på innersta delen av spåret är kurvorna två identiska halvcirklar med radien 31,8 m. Om vi sätter ihop dem får vi en hel cirkel och vi räknar ut cirkelns omkrets genom att multiplicera π med dubbla radien, dvs. 2r.

Innerbanan är 200+200=400 m.

Ytterbanan

Ytterbanans raksträckor är lika långa som innerbanans, dvs. totalt 200 meter. Det som skiljer banorna åt är kurvorna eftersom ytterbanans kurva har en längre radie än innerbanans. Löpare springer längst in på varje spår och ett spår är 1,2 meter brett så halvcirkelns radie blir 31,8+1,2* 3=35,4 m. Låt oss lägga till detta diagram.

Precis som för innerbanan bildar ytterbanans kurvor en hel cirkel fast med radien 35.4 meter.

Ytterbanan är alltså 200+222=422 m. Vi kan nu räkna ut att ytterbanan är 422-400=22 m längre än innerbanan.

Om vi hade haft en hel rektangel utan urholkningar hade omkretsen varit a+a+b+b=2a+2b. Genom att flytta ut sidorna som rödmarkerats nedan så att de täpper till hålen i den stora rektangelns yttersidor får vi en hel rektangel med omkrets 2a+2b.

Omkretsen är alltså minst 2a+2b. Men vi har ju ytterligare fyra lodräta sidor i urholkningarna som också utgör del av figurens omkrets. Vi flyttar på dessa som i figuren nedan.

Lägger vi ihop de gröna och blå färgade sidorna som ovan ser vi att båda dessa längder är lika långa som rektangelns kortsida a. Den totala figurens omkrets blir alltså 2a+2b+2a=4a+2b. Svaret är E.

Vi kan antingen använda måttet för 2 portioner en gång eller så använder vi måttet för 1 portion två gånger. Om doseringsmåtten är korrekta, ska arean av hål 1 vara hälften så stort som arean av hål 2. Då får det nämligen plats hälften så mycket spaghetti i mått 1 som i mått 2.

Area 1 portion

En cirkels area beräknas med formeln A=π r^2, där r är cirkelns radie. Vi vet att hålets diameter är ca 2.1 cm så radien måste vara 1.05 cm. Vi kan nu beräkna cirkelns area.

Arean av doseringsmåttet för 1 portion är alltså 3.5 cm^2.

Area 2 portioner

Hål 2 har diametern 3 cm vilket ger radien 1.5 cm. Nu kan vi beräkna hålets area.

Arean för hålet som visar 2 portioner är 7 cm^2. Detta är dubbelt så stort som 3.5 cm^2 så måtten för 1 och 2 portioner har rätt storlek.

Hålet för 4 portioner ska ha en area som är 4 gånger större än hålet för 1 portion. Vi vet att arean för 1 portion är 3.5 cm^2 så arean för hålet som ger 4 portioner måste vara 3.5* 4=14 cm^2. Genom att likställa formeln för att beräkna en cirkels omkrets med denna area kan vi lösa ut radien.

Radien ska vara ca 2.1 cm vilket ger en diameter på 4.2 cm. Lägger vi till cirkeln för 4 portioner i doseringsmåttet får vi följande utseende.

För att räkna ut omkretsen på halvcirkeln börjar vi med att räkna ut omkretsen för hela cirkeln. Då måste vi ta reda på radien som är hälften av diametern, alltså 2 cm. Vi beräknar nu cirkelns omkrets.

Eftersom detta är omkretsen av en hel cirkel borde omkretsen av en halv cirkel bli hälften av det: 4π/2 = 2π. Eftersom π är ungefär 3 blir 2π ≈ 2* 3 = 6. Betyder det att vi är klara? Nej, detta är bara sträckan längs halvcirkelns böjda del.

Vi behöver fortfarande räkna in sträckan som binder ihop halvcirkeln, vilket är diametern.

Hela omkretsen blir då ungefär 6 + 4 = 10. Alternativet vi ska ringa in är därför 10 cm.

Om vi sätter ut ungefärliga mått på figurerna kan vi jämföra deras area och omkrets. Vi utgår från ett rutnät för att hjälp oss. Om man har en linjal kan man använda den.

Nu kan vi skriva ut de längder och höjder vi fått, och beräkna rektanglarnas areor och omkretser.

Rektangel C har både störst area och omkrets, och rektangel A har både minst area och omkrets. Figur C måste därför vara uppe till höger, A nere till vänster och B hamnar uppe till vänster.

Medan du i praktiken kan använda linjal för att mäta trianglarna så ritar vi nu istället ett rutnät för varje triangel.

Vi kan nu mäta stora trianglarnas bas och höjd, sedan beräkna arean med formeln A = bh/2. Vi kan även göra samma mätningar och beräkning för de ifyllda trianglarna, för att försöka se ett samband mellan areorna. Vi kallar de ifyllda trianglarna för T1 och T2.

Det är kolumnerna A och T1 A+T2 A i den här tabellen som vi vill jämföra. Vi kan då hitta ett förhållande mellan de stora trianglarnas area och det grå områdets area. För alla trianglar är A dubbelt så stor som T1 A+T2 A. Alltså råder förhållandet 2:1 mellan triangelns area och det grå områdets area för våra trianglar.

Nu när vi ska undersöka om vår slutsats i A gäller allmänt så gör vi oss av med talen. Istället måste variabler användas. Vi kallar triangelns bas och höjd för B respektive H. Vi kallar längden mellan basens vänstra hörn och P för p, som i figuren.

Areauttryck triangeln

Först kan vi ställa upp areauttrycket för triangeln.

Nu behöver vi hitta areauttrycken för de ifyllda trianglarna för att kunna jämföra dem mot areauttrycket för triangeln.

Areauttryck T1

För att finna areauttrycket för T1 behöver vi ha något uttryck för dess bas och höjd. Basen hos T1 kan vi identifiera som p i figuren. Höjden är däremot inte lika uppenbar. Vi vet att linjen från P till vänstra sidan hos triangeln är dragen till vänstra sidans mittpunkt. Därför måste höjden vara halva höjden av vänstra sidan, som är H.

Att mittpunkten på en linje även ligger i mitten höjdmässigt behöver inte vara självklart. Att det är så kan bli tydligare om man ritar linjen som en rektangels diameter.

Vi ser här att punkten som ligger på mitten av linjen även ligger i mitten av rektangeln både höjdmässigt och breddmässigt. Av samma anledning är höjden hos de ifyllda trianglarna alltid hälften av höjden hos den stora triangeln.

Vi har nu ett uttryck för både höjden och bredden hos T1. Vi kan nu stoppa in dessa uttryck i areaformeln för trianglar.

Vi går vidare genom att söka ett uttryck för arean för T2.

Areauttryck T2

T2 har samma höjd som T1, hälften av H. Bredden skiljer sig däremot åt mellan de grå trianglarna. Uttrycket för bredden hos T2 kan vi leta efter i figuren högre upp. Basen har värdet av differensen B-p. Vi kan nu stoppa in bas och höjd hos T2 i areaformeln för trianglar.

Areauttryck T1 + T2

För att kunna jämföra stora triangelns area mot summan av de grå områdenas area så måste vi summera areorna för T1 och T2.

Slutsats

Vi vet nu summan av areorna för de grå områdena och arean hos den stora triangeln. Vid jämförelse av dem kan vi se att stora triangelns area är dubbelt så stor som summan av areorna för de grå områdena. B * H/2 och B * H/4 Det är alltså samma slutsats som i deluppgift A. Eftersom vi inte utgick ifrån några speciella krav i lösningen så gäller det här sambandet för alla former och storlekar på trianglar och alla lägen på P.

För att räkna ut mattans pris måste vi beräkna dess area. Mattan är formad som en rektangel och vi använder formeln för rektangelns area. Mattan har basen 2.5 m och höjden 3.2 m.

Arean på mattan är alltså 8m^2 och priset för 1m^2 är 295 kr. Det betyder att priset för 8m^2 är 8 * 295 = 2360 kr. Sen kostar det även att sätta kant runt mattan. För att veta hur långt det är runt mattan beräknar vi mattans omkrets. Vi lägger ihop alla mattans sidor och får 2.5+2.5+3.2+3.2=11.4m. Mattans omkrets är alltså 11.4 m och 1 meter kant kostar 120 kr/m. Det betyder att 11.4 m kant kommer kosta 11.4*120=1368 kr. Nu har vi räknat ut kostnaden för mattan och kanten, totalt blir priset för mattan 2360+1368=3728 kr.

En formel är ett samband mellan två eller fler okända värden, variabler. Våra okända värden kommer vara mattans bas och höjd, vi kallar dem b och h. För att räkna ut mattans pris behövde vi veta dess area och omkrets. Vi vet formeln för rektangelns area och att varje m^2 kostar 295 kr. Ett uttryck för areans pris blir då 295 * b * h. Nu har vi uttryckt priset för arean och måste ha ett uttryck för kantens pris. Då måste vi först ha ett uttryck för mattans omkrets. Vi ställer upp ett uttryck för omkretsen med sidorna b och h som vi förenklar.

Nu har vi ett uttryck för mattans omkrets och eftersom 1 m kant kostar 120 kr kommer uttrycket för kantens pris att bli 120 * 2(b+h)=240(b+h) Formeln för hela mattans pris får vi genom att lägga ihop de två uttrycken där vi döper mattans pris till P. P = 295bh + 240(b+h)

För att underlätta beräknandet av arean för åttahörningen så delar vi först in den i enklare figurer. Vi kan dela in den i 5 kvadrater med måtten 3cm x3 cm och 4 trianglar med basen 3 cm och höjden 3 cm. När vi summerar arean hos dessa kvadrater och trianglar får vi åttahörningens area.

Kvadraternas och trianglarnas area kan nu beräknas.

Vi kan nu beräkna totalarean hos åttahörningen. A = 5* 9 + 4* 4.5 = 63cm^2

Vi utgår alltså från att cirkeln har arean 63cm^2. Ur figuren kan vi mäta att cirkelns radie är 4.5 cm.

Det är nu dags att titta på formeln för cirkelns area för att se vad vi kan göra av det här. A = π r^2 Vi har redan bestämt oss för att cirkelns area är 63cm^2 och radien är 4.5 cm. Vi kan nu stoppa in dessa värden i formeln och se vad vi får för värde på π.

Med vår approximation har vi alltså kommit fram till närmevärdet 3.11 hos π.