1a
Kurs 1a Visa detaljer
1. Omkrets och area
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 5
1. 

Omkrets och area

Denna lektion är en omfattande guide till omkrets och area, som täcker olika geometriska former som cirkel, rektangel och kvadrat. Den förklarar hur man beräknar omkrets och area på ett enkelt och förståeligt sätt. Den tar upp specifika exempel, som att beräkna omkretsen av en cirkel och arean av en rektangel, för att ge en praktisk förståelse för koncepten. Dessutom erbjuder den praktiska övningar och problem för att förbättra förståelsen och tillämpningen av dessa koncept i verkliga situationer.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
13 sidor teori
30 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Omkrets och area
Sida av 13
För att beskriva världen runt omkring sig använder man bl.a. geometriska former. En vigselring kan exempelvis ses som en cirkel och väggarna i ett rum kan ses som rektanglar. När man arbetar med sådana figurer är det bekvämt med formler för att beräkna olika egenskaper. Man kanske vill beräkna omkretsen på ringen för att bestämma hur mycket guld som kommer att behövas eller beräkna väggarnas area för att uppskatta hur mycket tapet man måste köpa.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Omkrets och area för kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb och parallellogram
  • Omvandling av längdenheter
  • Omvandling av areaenheter
Teori

Omkrets och area av en kvadrat

En kvadrat är en fyrhörning där alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean bestäms med längden på sidan, a.

Teori

Omkrets och area av en rektangel

I rektanglar är motstående sidor lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean beräknas med dess sidlängder, b och h.

Teori

Omkrets och area av en triangel

En triangels omkrets beräknas med längden av dess sidor: a, b och c. För att bestämma arean måste man även känna till höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från en av sidorna till motstående hörn.

Teori

Omkrets och area av en cirkel

En cirkel är en geometrisk figur där alla punkter på randen är lika långt från cirkelns mitt. Detta avstånd kallas radie och används både när man beräknar omkretsen och arean.

Teori

Omkrets och area av en romb

En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa, men vinklarna mellan sidorna måste inte nödvändigtvis vara räta.

Teori

Omkrets och area av en parallellogram

I en parallellogram är motstående sidor alltid parallella och lika långa, men vinklarna mellan sidorna behöver inte vara räta.

Övning

Hitta omkretsen och arean för tvådimensionella figurer

Exempel

Beräkna omkretsen och arean

Pål ska bygga ett fönster med utseende och mått som i bilden.

a För att bestämma hur mycket material som behövs till listerna runt fönstret beräknar han omkretsen. Vilket värde får han? Avrunda till två värdesiffror.
b För att veta hur mycket glas han behöver beräknar han arean. Vilket värde får han? Avrunda till två decimaler.

Ledtråd

a Dela fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.
b Lägg till arean av kvadraten och arean av halvcirkeln.

Lösning

a För att enklare kunna utföra beräkningarna delar vi upp fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.
Vi ser att cirkelns diameter är samma som sidan på kvadraten, vilket innebär att radien är hälften så lång, alltså 30cm. Omkretsen runt fönstret består av tre sidor från kvadraten och en halvcirkel. Vi beräknar först omkretsen för en hel cirkel, vilket ger 2π r = 2 π * 30cm. Delar vi sedan med 2 får vi omkretsen för vår halvcirkel. 2 π * 30/2 = 30π cm Vi lägger till sist ihop denna längd med tre av kvadratens sidor och avrundar till 2 värdesiffror.
30π + 60 + 60 + 60
274,247779 ...
≈ 270
Fönstrets omkrets är alltså ungefär 270cm.
b Arean för fönstret får man genom att lägga ihop arean för kvadraten med den för halvcirkeln. Kvadraten har sidan 60cm, vilket ger arean
60^2 = 3600 cm^2. Arean för halvcirkeln får vi genom att beräkna arean för hela cirkeln, alltså π r^2 = π * 30^2 cm^2 och dela den med 2: π * 30^2/2cm^2. Vi lägger ihop de två areorna för att få fönstrets totala area.
3600 + π * 30^2/2
5 013,716694 ...
≈ 5 013,72
Fönstrets totala yta är cirka 5 013,72cm^2.
Teori

Omvandla längdenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en längd. Exempelvis är det lämpligare att ange avstånd mellan två städer i km eller mil istället för centimeter. Genom att multiplicera eller dividera med 10 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste längdenheterna.

I figuren kan man t.ex. se att man ska dividera med 10 för att omvandla från centimeter till decimeter. Det beror på att det går 10 cm på 1 dm. Av samma anledning multiplicerar man med 10 när man går från decimeter till centimeter. Exempelvis kan längden 180 cm alltså skrivas om som 180/10 = 18 dm.

Bland längdenheterna används dekametern (dam) och hektometern (hm) mindre ofta.
Teori

Omvandla areaenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en area. Om storleken på en lägenhet exempelvis är angiven i kvadratcentimeter vill man förmodligen omvandla den till kvadratmeter, som är det man oftast använder. Genom att multiplicera eller dividera med 100 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligare areaenheterna.

Exempelvis går det 100 cm^2 på 1dm^2. När man går från kvadratcentimeter till kvadratdecimeter måste man därför dividera med 100. På motsvarande sätt multiplicerar man med 100 när man omvandlar från kvadratdecimeter till kvadratcentimeter. Exempelvis kan arean 350cm^2 alltså skrivas om till 350/100 = 3,5 dm^2.

Av de givna areaenheterna är ar (a) och hektar (ha) mindre vanliga och används främst inom lantmäteri.
Övning

Omvandla längd- och arealenheter

Slumptilldelade Mängder av Vikt
Exempel

Vad blir den totala kostnaden?

En stad planerar att planerar att asfaltera om en s.k. flygraka. Det är en bredare väg för biltrafik som i nödfall kan användas som start- och landningsbana för mindre flygtrafik. Vägen är 1,5 km lång och 15 meter bred. Man räknar med en kostnad på 80 kr per m^2. Efter asfalteringen ska vägen även målas med mittlinjer. Dessa är 100 cm långa och 15 cm breda och målas med 50 cm mellanrum. Färgen kostar 65.kr /m^2.. Hur stor kostnad bör staden budgetera för? Avrunda svaret till tre värdesiffror.

Ledtråd

Vägen kan betraktas som en rektangel med en längd på 1,5 km och en bredd på 15 meter.

Lösning

Vi börjar med att beräkna arean för vägen. Eftersom det är en raksträcka kan den ses som en rektangel med basen 1,5 km och höjden 15 meter.

Det går 1 000 meter på en kilometer så basen på rektangeln blir 1,5* 1 000=1 500 meter. Det betyder att arean är 1 500* 15 = 22 500m^2. Vi multiplicerar detta med 80 kr för att beräkna den totala kostnaden för asfalteringen: 22 500* 80 = 1 800 000kr. Nu beräknar vi hur stor en av mittlinjerna är.

Arean för mittlinjen blir 100* 15 = 1 500 cm^2. Men priset är ju angivet per kvadratmeter. För att omvandla från enheten cm^2 till m^2 dividerar vi med 10 000: 1 500/10 000 = 0,15 m^2. Men hur många streck får det plats på vägen? Det är 50 cm mellan varje streck och varje streck är 100 cm. Det betyder att varje streck har 50 cm omålad väg till höger eller vänster. Ett streck samt en omålad sektion upptar alltså totalt 100+50=150 cm, dvs. 1,5 m. Vi beräknar hur många sådana sträckor det får plats på den 1,5 km långa vägen genom att dividera 1500 meter med 1.5 m. 1 500/1,5 = 1 000. Det blir alltså totalt 1 000 streck som ska målas så deras totala area blir 1 000* 0,15=150m^2. Detta multiplicerar vi med priset per kvadratmeter: 150* 65=9 750 kr. Till sist lägger vi ihop de två priserna för att få den totala kostnaden: 1 800 000 + 9 750 = 1 809 750kr. Staden bör alltså budgetera ca 1 810 000 kr för omasfalteringen.

Omkrets och area
Uppgift 2.1
>
2
e
7
8
9
×
÷1
=
=
4
5
6
+
<
log
ln
log
1
2
3
()
sin
cos
tan
0
.
π
x
y