1. Omkrets och area
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Omkrets och area
Denna lektion är en omfattande guide till omkrets och area, som täcker olika geometriska former som cirkel, rektangel och kvadrat. Den förklarar hur man beräknar omkrets och area på ett enkelt och förståeligt sätt. Den tar upp specifika exempel, som att beräkna omkretsen av en cirkel och arean av en rektangel, för att ge en praktisk förståelse för koncepten. Dessutom erbjuder den praktiska övningar och problem för att förbättra förståelsen och tillämpningen av dessa koncept i verkliga situationer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 13 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Omkrets och area
Sida av 13
För att beskriva världen runt omkring sig använder man bl.a. geometriska former. En vigselring kan exempelvis ses som en cirkel och väggarna i ett rum kan ses som rektanglar. När man arbetar med sådana figurer är det bekvämt med formler för att beräkna olika egenskaper. Man kanske vill beräkna omkretsen på ringen för att bestämma hur mycket guld som kommer att behövas eller beräkna väggarnas area för att uppskatta hur mycket tapet man måste köpa.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Omkrets och area för kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb och parallellogram
- Omvandling av längdenheter
- Omvandling av areaenheter
Teori
Omkrets och area av en kvadrat
Teori
Omkrets och area av en rektangel
I rektanglar är motstående sidor lika långa och alla vinklar är räta. Omkretsen och arean beräknas med dess sidlängder, b och h.
Teori
Omkrets och area av en triangel
En triangels omkrets beräknas med längden av dess sidor: a, b och c. För att bestämma arean måste man även känna till höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från en av sidorna till motstående hörn.
Teori
Omkrets och area av en cirkel
Teori
Omkrets och area av en romb
En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa, men vinklarna mellan sidorna måste inte nödvändigtvis vara räta.
Teori
Omkrets och area av en parallellogram
I en parallellogram är motstående sidor alltid parallella och lika långa, men vinklarna mellan sidorna behöver inte vara räta.
Övning
Hitta omkretsen och arean för tvådimensionella figurer
Exempel
Beräkna omkretsen och arean
Pål ska bygga ett fönster med utseende och mått som i bilden.
a För att bestämma hur mycket material som behövs till listerna runt fönstret beräknar han omkretsen. Vilket värde får han? Avrunda till två värdesiffror.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["2700"]}}
b För att veta hur mycket glas han behöver beräknar han arean. Vilket värde får han? Avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8238736249999999em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">cm<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["5013.72"]}}
Ledtråd
a Dela fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.
b Lägg till arean av kvadraten och arean av halvcirkeln.
Lösning
a För att enklare kunna utföra beräkningarna delar vi upp fönstret i två delar: en kvadrat och en halvcirkel.
22π⋅30=30π cm
Vi lägger till sist ihop denna längd med tre av kvadratens sidor och avrundar till 2 värdesiffror.
Fönstrets omkrets är alltså ungefär 270 cm.
b Arean för fönstret får man genom att lägga ihop arean för kvadraten med den för halvcirkeln. Kvadraten har sidan 60 cm, vilket ger arean
602=3600 cm2.
Arean för halvcirkeln får vi genom att beräkna arean för hela cirkeln, alltså πr2=π⋅302 cm2 och dela den med 2:
2π⋅302 cm2.
Vi lägger ihop de två areorna för att få fönstrets totala area.
Fönstrets totala yta är cirka 5013,72 cm2.
Teori
Omvandla längdenheter
Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en längd. Exempelvis är det lämpligare att ange avstånd mellan två städer i km eller mil istället för centimeter. Genom att multiplicera eller dividera med 10 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste längdenheterna.
10180=18 dm.
Bland längdenheterna används dekametern (dam) och hektometern (hm) mindre ofta.Teori
Omvandla areaenheter
Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en area. Om storleken på en lägenhet exempelvis är angiven i kvadratcentimeter vill man förmodligen omvandla den till kvadratmeter, som är det man oftast använder. Genom att multiplicera eller dividera med 100 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligare areaenheterna.
100350=3,5 dm2.
Av de givna areaenheterna är ar (a) och hektar (ha) mindre vanliga och används främst inom lantmäteri.Övning
Omvandla längd- och arealenheter
Exempel
Vad blir den totala kostnaden?
En stad planerar att planerar att asfaltera om en s.k. flygraka. Det är en bredare väg för biltrafik som i nödfall kan användas som start- och landningsbana för mindre flygtrafik. Vägen är 1,5 km lång och 15 meter bred. Man räknar med en kostnad på 80 kr per m2. Efter asfalteringen ska vägen även målas med mittlinjer. Dessa är 100 cm långa och 15 cm breda och målas med 50 cm mellanrum. Färgen kostar 65kr/m2. Hur stor kostnad bör staden budgetera för? Avrunda svaret till tre värdesiffror. 
Det går 1000 meter på en kilometer så basen på rektangeln blir 1,5⋅1000=1500 meter. Det betyder att arean är
Arean för mittlinjen blir
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["1810000"]}}
Ledtråd
Vägen kan betraktas som en rektangel med en längd på 1,5 km och en bredd på 15 meter.
Lösning
Vi börjar med att beräkna arean för vägen. Eftersom det är en raksträcka kan den ses som en rektangel med basen 1,5 km och höjden 15 meter.
1500⋅15=22500 m2.
Vi multiplicerar detta med 80 kr för att beräkna den totala kostnaden för asfalteringen:
22500⋅80=1800000 kr.
Nu beräknar vi hur stor en av mittlinjerna är. 100⋅15=1500 cm2.
Men priset är ju angivet per kvadratmeter. För att omvandla från enheten cm2 till m2 dividerar vi med 10000:
100001500=0,15 m2.
Men hur många streck får det plats på vägen? Det är 50 cm mellan varje streck och varje streck är 100 cm. Det betyder att varje streck har 50 cm omålad väg till höger eller vänster. Ett streck samt en omålad sektion upptar alltså totalt 100+50=150 cm, dvs. 1,5 m. Vi beräknar hur många sådana sträckor det får plats på den 1,5 km långa vägen genom att dividera 1500 meter med 1.5 m.
1,51500=1000.
Det blir alltså totalt 1000 streck som ska målas så deras totala area blir 1000⋅0,15=150 m2. Detta multiplicerar vi med priset per kvadratmeter: 150⋅65=9750 kr. Till sist lägger vi ihop de två priserna för att få den totala kostnaden:
1800000+9750=1809750 kr.
Staden bör alltså budgetera ca 1810000 kr för omasfalteringen.
Omkrets och area
Uppgift 2.1
Hur många kvadratmeter går det på en kvadratkilometer?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">m<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["1000000"]}}
security
report
code
security
report
code
En kvadratkilometer kan ses som ett kvadratiskt område med sidan 1 km.
Eftersom prefixet kilo är lika med 1 000 går det 1 000 meter på 1 km. Kvadratens sidor är alltså 1 000 meter.
Området är fortfarande lika stort som 1 km^2 men om vi multiplicerar sidorna uttryckt i meter får vi arean i m^2.
Arean av ett kvadratiskt område på 1 km^2 är alltså lika mycket som 1 000 000 m^2.
security
report
code
En rektangels bredd och längd ökar enligt figuren.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8238736249999999em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">cm<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["12"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["100"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma en rektangels area multiplicerar man basen med höjden. Vi gör detta för de två olika rektanglarna.
Lilla rektangeln
Den lilla rektangeln har basen 4 cm och höjden 3 cm. Det ger arean 4* 3=12 cm^2.
Stora rektangeln
Den stora rektangeln har basen 6 cm och höjden 4 cm. Dess area är därför 6*4=24 cm^2. Den lilla rektangeln har arean 12 cm^2 och den större har arean 24 cm^2. Detta betyder att arean ökar med 24-12=12 cm^2.
24 är dubbelt så stort som 12 så den stora rektangeln är dubbelt så stor som den lilla. Det betyder att arean ökat med 100 %.
security
report
code
Miljöorganisationen Grön Fredag har bjudit in hela världens befolkning till en tredagarskonferens på Gotland för att diskutera den globala uppvärmningen. Hur många m2 kan varje människa använda om man leker med tanken att alla människor i världen faktiskt dyker upp. Anta att det finns 7,6 miljarder människor på jorden och att Gotland är ca 3184 km2. Avrunda svaret till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">m<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["0.4"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss först göra om Gotlands arean från km^2 till m^2. Det går 1 000 meter på 1 km så på en km^2 går det 1 000 * 1 000 = 1 000 000 m^2. Detta betyder att Gotlands yta är 3 184 * 1 000 000 = 3 184 000 000 m^2. När vi vet hur många m^2 Gotland utgör kan vi räkna ut hur många m^2 varje person har att stå på genom att dela ytan med antalet människor. En miljard är 10^9 så 7,9 miljarder skrivs som 7,6*10^9.
Varje person får alltså ca 0,4 m^2 att stå på.
security
report
code
Hur många cm2 av den norska flaggan är vit?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["64"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att beräkna hela flaggans area.
Flaggans bas och höjd bestäms genom att summera de markerade avstånden längs med flaggans kort- respektive långsida. Bas:& 6+1+2+1+12=22 cm [0.2em] Höjd:& 6+1+2+1+6=16 cm Nu kan vi beräkna flaggans area.
Subtraherar vi de röda och blå areorna från flaggans area kan vi bestämma hur stort det vita området är.
Rött område
Det finns 4 röda områden på flaggan, två kvadrater med sidan 6 cm och två rektanglar med sidorna 6 cm och 12 cm. Vi beräknar arean för en kvadrat och en rektangel.
Vi beräknar även en av de röda rektanglarnas area.
Det finns två röda rektanglar och två röda kvadrater så det röda området är2* 36+2* 72 = 216 cm^2.
Blått område
Det blå området kan delas upp i tre rektanglar.
Nu bestämmer vi de blå rektanglarnas area. Vi börjar med en av de vertikala. De har höjden 7 cm och basen 2 cm. Det ger arean 2*7=14 cm^2. De är två till antalet så deras totala area blir 2* 14= 28 cm^2. Nu kan vi bestämma den horisontella rektangelns area. Den har basen 22 cm och höjden 2 cm, så dess area blir 2* 22=44 cm^2. Det totala arean av det blå området är summan av de mörk- och ljusblå rektanglarna. 28+44=72 cm^2
Vitt område
Nu kan vi bestämma det vita området genom att subtrahera den röda och blå arean från hela flaggans area. 352 - 216 - 72 = 64 cm^2
security
report
code
En löparbana med fyra spår har följande mått enligt ritningen nedan.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["22"]}}
security
report
code
security
report
code
När vi räknar på banornas längd delar vi upp dem i raksträckor och kurvor.
Innerbanan
Innerbanan har två raksträckor som är 100 meter vardera, dvs. totalt 200 meter. Eftersom man springer på innersta delen av spåret är kurvorna två identiska halvcirklar med radien 31,8 m. Om vi sätter ihop dem får vi en hel cirkel och vi räknar ut cirkelns omkrets genom att multiplicera π med dubbla radien, dvs. 2r.
Innerbanan är 200+200=400 m.
Ytterbanan
Ytterbanans raksträckor är lika långa som innerbanans, dvs. totalt 200 meter. Det som skiljer banorna åt är kurvorna eftersom ytterbanans kurva har en längre radie än innerbanans. Löpare springer längst in på varje spår och ett spår är 1,2 meter brett så halvcirkelns radie blir 31,8+1,2* 3=35,4 m. Låt oss lägga till detta diagram.
Precis som för innerbanan bildar ytterbanans kurvor en hel cirkel fast med radien 35.4 meter.
Ytterbanan är alltså 200+222=422 m. Vi kan nu räkna ut att ytterbanan är 422-400=22 m längre än innerbanan.
security
report
code
Vilket av följande uttryck motsvarar figurens omkrets?
A:B:C:D:E:a+b2a+2b3a+2b3a+3b4a+2b
Motivera ditt svar.
Nationella provet VT10 MaA
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">E<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":4}
security
report
code
security
report
code
Om vi hade haft en hel rektangel utan urholkningar
hade omkretsen varit
a+a+b+b=2a+2b.
Genom att flytta ut sidorna som rödmarkerats nedan så att de täpper till hålen i den stora rektangelns yttersidor får vi en hel rektangel med omkrets 2a+2b.
Omkretsen är alltså minst 2a+2b. Men vi har ju ytterligare fyra lodräta sidor i urholkningarna som också utgör del av figurens omkrets. Vi flyttar på dessa som i figuren nedan.
Lägger vi ihop de gröna och blå färgade sidorna som ovan ser vi att båda dessa längder är lika långa som rektangelns kortsida a. Den totala figurens omkrets blir alltså 2a+2b+2a=4a+2b. Svaret är E.
security
report
code
Omkrets och area
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll