Matematisk argumentation

Leder påståendet Maria äter godis till att Maria äter sura nappar? Nej inte automatiskt. Hon kanske äter geléhallon. Men leder påståendet "Maria äter sura nappar" till att Maria äter godis? Ja, eftersom sura nappar är godis. Det innebär att A ⇐ B.

Maria äter godis. ⇐ Maria äter sura nappar. 

Om ungdomar över 18 år får ta körkort, gäller ju även att ungdomar som inte fyllt 18 år inte får ta körkort. Men omvändningen gäller precis lika väl: har man fyllt 18, får man också ta körkort. Påståendena är likvärdiga och därför gäller ekvivalens. A ⇔ B.

Ungdomar över 18 år får ta körkort. ⇔ Ungdomar som inte fyllt 18 år får inte ta körkort. 

Att Ahmed är i Spanien leder till att han befinner sig i Europa, eftersom Spanien ligger i Europa. Men om Ahmed är i Europa kan han lika gärna befinna sig i Sverige eller Tyskland som i Spanien. Alltså gäller det att A ⇒ B.

Ahmed är i Spanien. ⇒ Ahmed är i Europa. 

När vi löser en linjär ekvation ändras ingenting eftersom vi gör samma sak i båda led. Men här har ett fel uppstått, vänsterledet har dividerats med -3 och högerledet med 3. Implikation gäller inte åt något håll. Löser vi ekvationen får vi inte x=4 och sätter vi in x=4 i ekvationen stämmer inte likheten. Ekvivalens gäller därför inte: -3x=12 ⇎ x=4.

På samma sätt undersöker vi dessa två påståenden. i det här fallet finns det implikation åt båda håll. Löser vi ekvationen får vi x=4 och sätter vi in x = 4 i ekvationen så stämmer likheten. Därmed gäller ekvivalens: 2x=8 ⇔ x=4.

Sätter vi in x=3 i ekvationen stämmer likheten, vilket ger en implikation åt vänster. Däremot får vi två lösningar om vi löser ekvationen: x=3 och x=- 3, vilket innebär att implikationen inte gäller åt andra hållet. Alltså gäller inte ekvivalens: x=9 ⇎ x=3.

Vi måste testa om både A ⇒ B och A ⇐ B gäller. Om en person har fötts, måste hen dö. Vi har inga exempel på odödlighet. Så implikation gäller åtminstone åt höger. Om en människa har dött, måste hen också ha fötts en gång i tiden. Ekvivalensen gäller alltså. En människa föds. ⇔ En människa kommer att dö. ✓

Vatten kan komma i olika former, t.ex. snö eller hagel. Vi har då alltså hittat två exempel där påståendet Vatten faller från molnen inte leder till att Det regnar. Därmed har vi visat med två motexempel att implikationen inte gäller. Vatten faller från molnen. ⇒ Det regnar. *

Däremot gäller den omvända implikationen. "Vatten faller från molnen" ⇐ "Det regnar", för att det kan inte regna från någon annanstans än molnen.

Att Göran har en fru innebär juridiskt sett att han är gift. Alltså råder åtminstone implikation åt höger. Att Göran är gift kan innebära att han har en fru, men det måste inte göra det. Ett motexempel är om Göran är gift med en man. Eftersom implikationen inte gäller åt vänster också innebär det att ekvivalensen inte gäller. Göran har en fru. ⇔ Göran är gift. *

Andelen som är blå bestäms enligt A_(Blå)/A_(Hela). Det blå området är en rektangel med basen 10 och höjden 3y.

Arean blir då A_(Blå)=10 * 3y=30y. Vi tittar nu på hela områdets area. Rektangelns höjd är 2y+3y+y=6y och bredden är 10.

Arean av hela rektangeln blir då 1 A_{\text{Hela}}=10 \cdot 6y=60y. } Nu beräknar vi andelen som det blå området utgör.

50 % av figuren är blå.

Sverige ligger i Europa, vilket betyder att om man bor i Sverige bor man i Europa. Däremot består Europa av fler länder än Sverige. Om man t.ex. bor i Kroatien eller Litauen bor man i Europa, men inte i Sverige. Det ska alltså vara implikation åt höger. Pernilla bor i Sverige. ⇒ Pernilla bor i Europa.

Alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater. En kvadrat är ett specialfall av en rektangel där alla sidor är lika långa. Det betyder att det ska vara en implikation åt vänster här. Fyrhörningen F är en rektangel. ⇐ Fyrhörningen F är en kvadrat.

Trianglarna △ ADC och △ ABC refererar till de blåa respektive gröna trianglarna i figuren nedan.

För att omkretsarna ska vara lika, måste den totala summan av triangelns sidor vara lika. Givet markeringarna, vet vi redan att två uppsättningar sidor är lika. Angående den tredje sidan, AC, ser vi att den delas av de två trianglarna och därför också är lika. Detta blir tydligare om vi separerar dem.

Eftersom trianglarna har identiska sidor, måste de ha en identisk omkrets.