body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2c

Kurs 2c Visa detaljer

Innehållsförteckning

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 3

3.

Kvadratkomplettering

Denna lektion ger en omfattande förståelse för konceptet kvadratkomplettering, en teknik som används för att lösa andragradsekvationer. Den förklarar vad kvadratkomplettering innebär och hur metoden kan tillämpas för att effektivt lösa ekvationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå detta koncept. Den ger praktiska exempel på hur denna teknik används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa detta komplexa matematiska koncept.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Kvadratkomplettering

Sida av 5

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadratkomplettering
Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering

Förkunskaper

Kvadratrot
Ekvation
Andragradsekvation

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en

x^{2} -,

x -

och konstantterm, exempelvis

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 .

Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen

(x + a)^{2} = b,

där

a

och

b

är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

x .

1

Skriv ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

Samla

x^{2} -

och

x -

termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta

3 x^{2} + 18 x = 21 .

För att

x^{2} -

termen ska få koefficienten

1

divideras båda led med

3 :

x^{2} + 6 x = 7 .

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen

(x + a)^{2} .

Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} .

Detta jämförs med ekvationen i exemplet.

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} = x^{2} + 26 x + a^{2} = 7 .

I den nedre ekvationen finns en

x^{2} -

term och en

x -

term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till

a^{2} .

Vad är

a ?

Koefficienten framför

x

är

2 a,

vilket betyder att

a

är hälften av det. Konstanten

a

är alltså

\frac{6}{2} = 3

och därför lägger man till

3^{2} .

För att likheten ska gälla görs detta i båda led:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} = x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2} .

Man säger att man lägger till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till

3^{2}

i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 7 + 3^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut

x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till

\pm

framför rottecknet.

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

Beräkna potens

(x + 3)^{2} = 7 + 9

Addera termer

(x + 3)^{2} = 16

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

$VL - 2 = HL - 2$

x = - 3 \pm 4

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Andragradsekvationen har alltså lösningarna

x = - 7

och

x = 1 .

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Extra

Fullborda kvadraten med hjälp av rutor

Följande diagram visar hur man skriver om

3 x^{2} + 18 x .

Den tidigare relationen innebär att

3 x^{2} + 18 x - 21 = 3 (x + 3)^{2} - 27 - 21 = 3 (x + 3)^{2} - 48 .

Detta leder till samma resultat.

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0

$3 x^{2} + 18 x - 21 = 3 (x + 3)^{2} - 48$

3 (x + 3)^{2} - 48 = 0

$VL + 48 = HL + 48$

3 (x + 3)^{2} = 48

$VL / 3 = HL / 3$

(x + 3)^{2} = 16

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

$VL - 2 = HL - 2$

x = - 3 \pm 4

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Illustration

Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är en metod som används för att skriva om ett andragaduttryck såsom

x^{2} + b x

till formen

(x + k)^{2} - k^{2} .

Värdet på

k

är hälften av

b,

vilket leder till följande samband.

x^{2} + b x = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

Processen att kvadratkomplettera kan visualiseras med hjälp av algebra-brickor. Beroende på värdet av

b

bör två fall övervägas.

Fall $1 :$ $b$ är jämnt

Betrakta uttrycket $x^{2} + 4 x .$ Detta uttryck kan representeras med en $x^{2} -$ bricka och fyra $x -$ brickor.

Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Eftersom det finns fyra $x -$ brickor kan två av dem roteras och placeras under $x^{2} -$ brickan och de andra två kan placeras till höger om den.

Tillägget av fyra $1 -$ brickor kommer att komplettera kvadraten och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.

Observera att arean av kvadraten som bildas är

(x + 2)^{2} .

Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna.

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor.

x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4 ⇓ x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 2^{2}

Fall $2 :$ $b$ är udda

Betrakta uttrycket $x^{2} + 5 x .$ Detta uttryck kan representeras med en $x^{2} -$ bricka och fem $x -$ brickor.

Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Följande steg kommer att vidtas:

Två av $x -$ brickorna placeras till höger om $x^{2} -$ brickan.
Två av $x -$ brickorna roteras och placeras under $x^{2} -$ brickan.
Den återstående $x -$ brickan delas upp i två $\frac{x}{2} -$ brickor — en placeras under $x^{2} -$ brickan och den andra placeras till höger om $x^{2} -$ brickan.

Tillägget av fyra $1 -$ brickor, fyra $\frac{1}{2} -$ brickor och en $\frac{1}{4} -$ bricka kommer att komplettera kvadraten och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.

Observera att arean av den bildade kvadraten är

(x + \frac{5}{2})^{2} .

Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna.

(x + \frac{5}{2})^{2} = x^{2} + 5 x + \frac{2 5}{4}

Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor.

x^{2} + 5 x = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{2 5}{4} ⇓ x^{2} + 5 x = (x + \frac{5}{2})^{2} - (\frac{5}{2})^{2}

Tänk på att samma teknik fungerar för negativa värden på

b

men, i detta fall, kommer uttrycket inuti

x -

brickorna att vara

- x .

Uttryck av formen

a x^{2} + b x

kan också skrivas om med denna teknik.

Övning

Kvadratkomplettering

Använd metoden kvadratkomplettering för att bestämma värdet på $c .$ Avrunda till $2$ decimaler om det behövs.

Exempel

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

Lös ekvationen med kvadratkomplettering.

x^{2} + 8 x - 33 = 0

Ledtråd

Börja med att flytta den konstanta termen till höger sida. Fyll sedan i kvadraten på uttrycket på vänster sida genom att lägga till en viss term på båda sidorna.

Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att

x^{2} -

och

x -

termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi

x^{2} + 8 x = 33 .

För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat. I det här fallet är koefficienten

8

och hälften av det är

4 .

Det betyder att vi ska lägga till

4^{2}

på båda sidor.

x^{2} + 8 x = 33

Kvadratkomplettera: $p = 8$

x^{2} + 8 x + (\frac{8}{2})^{2} = 33 + (\frac{8}{2})^{2}

Beräkna kvot

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 4^{2}

Beräkna potens

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 16

Addera termer

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = 49

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + 4)^{2} = 49

$VL = HL$

x + 4 = \pm 49

Beräkna rot

x + 4 = \pm 7

$VL - 4 = HL - 4$

x = - 4 \pm 7

Ange lösningar

x_{1} = - 11 x_{2} = 3

Kvadratkomplettering

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.