Kvadratkomplettering

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en

x^{2}

-,

x

- och konstantterm, exempelvis

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 .

Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen

(x + a)^{2} = b,

där

a

och

b

är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

x .

1

Skriv ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

Samla $x^{2}$ - och $x$ -termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta $3 x^{2} + 18 x = 21 .$ För att $x^{2}$ -termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med $3$ : $x^{2} + 6 x = 7 .$

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen $(x + a)^{2} .$ Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: $(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} .$ Detta jämförs med ekvationen i exemplet. $(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} x^{2} + 26 x + a^{2} = 7 .$ I den nedre ekvationen finns en $x^{2}$ -term och en $x$ -term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till $a^{2} .$ Vad är $a ?$ Koefficienten framför $x$ är $2 a,$ vilket betyder att $a$ är hälften av det. Konstanten $a$ är alltså $\frac{6}{2} = 3$ och därför lägger man till $3^{2} .$ För att likheten ska gälla görs detta i båda led: $(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2} .$ Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför $x,$ i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till $3^{2}$ i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2}

SplitIntoFactorsDela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 7 + 3^{2}

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut

x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till

\pm

framför rottecknet.

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

CalcPowBeräkna potens

(x + 3)^{2} = 7 + 9

AddTermsFörenkla termer

(x + 3)^{2} = 16

SqrtEqn

VL = HL

x + 3 = \pm 16

CalcRootBeräkna rot

x + 3 = \pm 4

SubEqn

VL - 2 = HL - 2

x = - 3 \pm 4

StateSolAnge lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Andragradsekvationen har alltså lösningarna

x = - 7

och

x = 1 .

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

fullscreen

Uppgift

Lös ekvationen med kvadratkomplettering. $x^{2} + 8 x - 33 = 0$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att $x^{2}$ - och $x$ -termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi $x^{2} + 8 x = 33 .$ För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför $x,$ i kvadrat. I det här fallet är koefficienten $8$ och hälften av det är $4 .$ Det betyder att vi ska lägga till $4^{2}$ på båda sidor.

x^{2} + 8 x = 33

CompleteSquareKvadratkomplettera:

p = 8

x^{2} + 8 x + (\frac{8}{2})^{2} = 33 + (\frac{8}{2})^{2}

CalcQuotBeräkna kvot

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 4^{2}