Kvadratkomplettering

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Metod

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x2-, x- och konstantterm, exempelvis

3x2+18x−21=0.

Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)2=b, där a och b är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.

1

Skriv ekvationen på formen x2+px=c

Samla x2- och x-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta

3x2+18x=21.

För att x2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 3:

x2+6x=7.

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför x, i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:

Detta jämförs med ekvationen i exemplet.

I den nedre ekvationen finns en x2-term och en x-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a2. Vad är a? Koefficienten framför x är 2a, vilket betyder att a är hälften av det. Konstanten a är alltså

\frac{6}{2} = 3

och därför lägger man till 32. För att likheten ska gälla görs detta i båda led:

Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför x, i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till 32 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x2+6x+32=7+32

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x2+2⋅x⋅3+32=7+32

a2+2ab+b2=(a+b)2

(x+3)2=7+32

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ± framför rottecknet.

(x+3)2=7+32

CalcPow

Beräkna potens

(x+3)2=7+9

AddTerms

Förenkla termer

(x+3)2=16

SqrtEqn

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

CalcRoot

Beräkna rot

x+3=±4

SubEqn

VL−2=HL−2

x=-3±4

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7 och x=1.

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

fullscreen

Lös ekvationen med kvadratkomplettering.

x2+8x−33=0

Visa Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att x2- och x-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi

x2+8x=33.

För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför x, i kvadrat. I det här fallet är koefficienten 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 42 på båda sidor.

x2+8x=33

CompleteSquare

Kvadratkomplettera: p=8