Kvadratkomplettering

Samla $x^2$- och $x$-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta $3x^2 + 18x = 21.$ För att $x^2$-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med $3$: $x^2 + 6x = 7.$

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen $(x+a)^2.$ Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: $\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+a^2. \end{aligned}$ Detta jämförs med ekvationen i exemplet. $\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+{\color{#0000FF}{2a}}x+a^2\\ &\,x^2+\phantom{2}{\color{#0000FF}{6}}x\,\phantom{+a^2}\,=7. \end{aligned}$ I den nedre ekvationen finns en $x^2$-term och en $x$-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till $a^2.$ Vad är $a?$ Koefficienten framför $x$ är $2a,$ vilket betyder att $a$ är hälften av det. Konstanten $a$ är alltså $\frac{6}{2}=3$ och därför lägger man till $3^2.$ För att likheten ska gälla görs detta i båda led: $\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+{\color{#009600}{a}}^2\\ &\,x^2+\ 6x\ \, +{\color{#009600}{3}}^2\,=7+{\color{#009600}{3}}^2. \end{aligned}$ Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför $x,$ i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

Anledningen till att man lade till $3^2$ i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.