Kvadratkomplettering

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Metod

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en

x^{2}

-,

x

- och konstantterm, exempelvis

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 .

Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen

(x + a)^{2} = b,

där

a

och

b

är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

x .

1

Skriv ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

Samla

x^{2}

- och

x

-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta

3 x^{2} + 18 x = 21 .

För att

x^{2}

-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med

3

:

x^{2} + 6 x = 7 .

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen

(x + a)^{2} .

Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} .

Detta jämförs med ekvationen i exemplet.

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} x^{2} + 26 x + a^{2} = 7 .

I den nedre ekvationen finns en

x^{2}

-term och en

x

-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till

a^{2} .

Vad är

a ?

Koefficienten framför

x

är

2 a,

vilket betyder att

a

är hälften av det. Konstanten

a

är alltså

\frac{6}{2} = 3

och därför lägger man till

3^{2} .

För att likheten ska gälla görs detta i båda led:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2} .

Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför

x,

i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till $3^{2}$ i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 7 + 3^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut

x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till

\pm

framför rottecknet.

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

(x + 3)^{2} = 7 + 9

AddTerms

Förenkla termer

(x + 3)^{2} = 16

SqrtEqn

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

CalcRoot

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

SubEqn

$VL - 2 = HL - 2$

x = - 3 \pm 4

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Andragradsekvationen har alltså lösningarna

x = - 7

och

x = 1 .

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

fullscreen

Lös ekvationen med kvadratkomplettering.

x^{2} + 8 x - 33 = 0

Visa Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att

x^{2}

- och

x

-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi

x^{2} + 8 x = 33 .

För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat. I det här fallet är koefficienten

8

och hälften av det är

4 .

Det betyder att vi ska lägga till

4^{2}

på båda sidor.

x^{2} + 8 x = 33

CompleteSquare

Kvadratkomplettera: $p = 8$

x^{2} + 8 x + (\frac{8}{2})^{2} = 33 + (\frac{8}{2})^{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 4^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 16

AddTerms

Förenkla termer

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = 49

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + 4)^{2} = 49

SqrtEqn

$VL = HL$

x + 4 = \pm 49

CalcRoot

Beräkna rot

x + 4 = \pm 7

SubEqn

$VL - 4 = HL - 4$

x = - 4 \pm 7

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 11 x_{2} = 3

Kvadratkomplettering

Kanaler

Direktmeddelanden

Mathleaks

Metod

Kvadratkomplettering

Exempel

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering