{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Algebra och icke-linjära ekvationer

Kvadratkomplettering

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x2-, x- och konstantterm, exempelvis
3x2+18x21=0.
Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)2=b, där a och b är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.
1
Skriv ekvationen på formen x2+px=c
expand_more
Samla x2- och x-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta
3x2+18x=21.
För att x2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 3:
x2+6x=7.
2
I båda led, lägg till halva koefficienten framför x, i kvadrat
expand_more
Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:
Detta jämförs med ekvationen i exemplet.
I den nedre ekvationen finns en x2-term och en x-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a2. Vad är a? Koefficienten framför x är 2a, vilket betyder att a är hälften av det. Konstanten a är alltså och därför lägger man till 32. För att likheten ska gälla görs detta i båda led:
Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför x, i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.
3
Skriv om vänsterledet som en kvadrat
expand_more

Anledningen till att man lade till 32 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x2+6x+32=7+32
x2+2x3+32=7+32

a2+2ab+b2=(a+b)2

(x+3)2=7+32
4
Dra kvadratroten ur båda led och lös ut x
expand_more
Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ± framför rottecknet.
(x+3)2=7+32
(x+3)2=7+9
(x+3)2=16
x+3=±4
x=-3±4
Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7 och x=1.
Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Exempel

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

fullscreen
Lös ekvationen med kvadratkomplettering.
x2+8x33=0
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att skriva om ekvationen så att x2- och x-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi
x2+8x=33.
För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför x, i kvadrat. I det här fallet är koefficienten 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 42 på båda sidor.
x2+8x=33
x2+8x+42=33+42
x2+8x+42=33+16
x2+8x+42=49

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

x2+8x+42=49
x2+2x4+42=49
(x+4)2=49
x+4=±7
x=-4±7
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community