Kvadratkomplettering

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en $x^2$ -, $x$ - och konstantterm, exempelvis $3x^2 + 18x - 21 = 0.$ Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen $(x+a)^2=b,$ där $a$ och $b$ är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut $x.$

1

Skriv ekvationen på formen

x^2 + px = c

Samla $x^2$ - och $x$ -termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta $3x^2 + 18x = 21.$ För att $x^2$ -termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med $3$ : $x^2 + 6x = 7.$

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen $(x+a)^2.$ Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: $\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+a^2. \end{aligned}$ Detta jämförs med ekvationen i exemplet. $\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+{\color{#0000FF}{2a}}x+a^2\\ &\,x^2+\phantom{2}{\color{#0000FF}{6}}x\,\phantom{+a^2}\,=7. \end{aligned}$ I den nedre ekvationen finns en $x^2$ -term och en $x$ -term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till $a^2.$ Vad är $a?$ Koefficienten framför $x$ är $2a,$ vilket betyder att $a$ är hälften av det. Konstanten $a$ är alltså $\frac{6}{2}=3$ och därför lägger man till $3^2.$ För att likheten ska gälla görs detta i båda led: $\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+{\color{#009600}{a}}^2\\ &\,x^2+\ 6x\ \, +{\color{#009600}{3}}^2\,=7+{\color{#009600}{3}}^2. \end{aligned}$ Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför $x,$ i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till $3^2$ i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x^2+6x+3^2=7+3^2

Dela upp i faktorer

x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=7+3^2

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

(x+3)^2=7+3^2

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut

x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till $\pm$ framför rottecknet.

(x + 3)^2 = 7 + 3^2

Beräkna potens

(x + 3)^2 = 7 + 9

Förenkla termer

(x + 3)^2 = 16

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x + 3 = \pm\sqrt{16}

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

\text{VL}-2=\text{HL}-2

x = \text{-} 3 \pm 4

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1 = \text{-}7 \\ x_2 = 1 \end{array}

Andragradsekvationen har alltså lösningarna $x=\text{-}7$ och $x=1.$

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

Uppgift

Lös ekvationen med kvadratkomplettering. $x^2 + 8x - 33 = 0$

Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att $x^2$ - och $x$ -termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi $x^2 + 8x = 33.$ För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför $x,$ i kvadrat. I det här fallet är koefficienten $8$ och hälften av det är $4.$ Det betyder att vi ska lägga till $4^2$ på båda sidor.

x^2 + 8x = 33

Kvadratkomplettera:

p={\color{#0000FF}{8}}

x^2+8x+\left(\dfrac{{\color{#0000FF}{8}}}{2}\right)^2=33+\left(\dfrac{{\color{#0000FF}{8}}}{2}\right)^2

Beräkna kvot

x^2+8x+4^2=33+4^2

Beräkna potens

x^2+8x+4^2=33+16

Förenkla termer

x^2+8x+4^2=49

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

x^2+8x+4^2=49

Dela upp i faktorer

x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=49

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x+4)^2=49

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x+4=\pm\sqrt{49}

Beräkna rot

x+4=\pm7

\text{VL}-4=\text{HL}-4

x=\text{-}4\pm7

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}11 \\ x_2=3 \end{array}

Visa lösning

Kvadratkomplettering

{{ 'ml-heading-theory' | message }}