mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Algebra och icke-linjära ekvationer

Kvadratkomplettering

Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en -, - och konstantterm, exempelvis Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen där och är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

1

Skriv ekvationen på formen

Samla - och -termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta För att -termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med :

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: Detta jämförs med ekvationen i exemplet. I den nedre ekvationen finns en -term och en -term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till Vad är Koefficienten framför är vilket betyder att är hälften av det. Konstanten är alltså och därför lägger man till För att likheten ska gälla görs detta i båda led: Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut
Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till framför rottecknet.
Andragradsekvationen har alltså lösningarna och
Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.
fullscreen
Uppgift

Lös ekvationen med kvadratkomplettering.

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att - och -termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför i kvadrat. I det här fallet är koefficienten och hälften av det är Det betyder att vi ska lägga till på båda sidor.

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward