Kvadratkomplettering

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x2x^2-, xx- och konstantterm, exempelvis 3x2+18x21=0. 3x^2 + 18x - 21 = 0. Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)2=b,(x+a)^2=b, där aa och bb är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.x.

Samla x2x^2- och xx-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta 3x2+18x=21. 3x^2 + 18x = 21. För att x2x^2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 33: x2+6x=7. x^2 + 6x = 7.

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)2.(x+a)^2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: (x+a)2=x2+2ax+a2.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+a^2. \end{aligned} Detta jämförs med ekvationen i exemplet. (x+a)2=x2+2ax+a2x2+26x+a2=7.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+{\color{#0000FF}{2a}}x+a^2\\ &\,x^2+\phantom{2}{\color{#0000FF}{6}}x\,\phantom{+a^2}\,=7. \end{aligned} I den nedre ekvationen finns en x2x^2-term och en xx-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a2.a^2. Vad är a?a? Koefficienten framför xx är 2a,2a, vilket betyder att aa är hälften av det. Konstanten aa är alltså 62=3\frac{6}{2}=3 och därför lägger man till 32.3^2. För att likheten ska gälla görs detta i båda led: (x+a)2=x2+2ax+a2x2+ 6x +32=7+32.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+{\color{#009600}{a}}^2\\ &\,x^2+\ 6x\ \, +{\color{#009600}{3}}^2\,=7+{\color{#009600}{3}}^2. \end{aligned} Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför x,x, i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

Anledningen till att man lade till 323^2 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x2+6x+32=7+32x^2+6x+3^2=7+3^2
Dela upp i faktorer
x2+2x3+32=7+32x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=7+3^2
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(x+3)2=7+32(x+3)^2=7+3^2

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ±\pm framför rottecknet.

(x+3)2=7+32(x + 3)^2 = 7 + 3^2
(x+3)2=7+9(x + 3)^2 = 7 + 9
(x+3)2=16(x + 3)^2 = 16
x+3=±16x + 3 = \pm\sqrt{16}
x+3=±4x + 3 = \pm 4
x=-3±4x = \text{-} 3 \pm 4
x1=-7x2=1\begin{array}{l}x_1 = \text{-}7 \\ x_2 = 1 \end{array}

Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7x=\text{-}7 och x=1.x=1.

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.
Uppgift

Lös ekvationen med kvadratkomplettering. x2+8x33=0 x^2 + 8x - 33 = 0

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad ska stå istället för \diamondsuit för att likheten ska gälla?

a

x2+2x+=(x+1)2x^2+2x+\diamondsuit=(x+1)^2

b

x2+4=(x2)2x^2-\diamondsuit+4=(x-2)^2

c

(x+3)2=x2+6x+(x+3)^2=x^2+6x+\diamondsuit

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken konstant ska man lägga till för att lösa följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering?


a

x2+4x=21x^2+4x=21

b

x2+8x=60x^2+8x=60

c

x2+10x=8x^2+10x=8

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med kvadratkomplettering.


a

x2+8x=-7x^2+8x=\text{-}7

b

x210x=39x^2-10x=39

c

x24x=5x^2-4x=5

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med kvadratkomplettering.


a

x24x45=0x^2-4x-45=0

b

x26x16=0x^2-6x-16=0

c

x2+x42=0x^2+x-42=0

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med kvadratkomplettering.


a

y2+8y+12=0y^2+8y+12=0

b

s212s13=0s^2-12s-13=0

c

t22t3=0t^2-2t-3=0

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös 2x2+12x+26=02x^2+12x+26=0 med kvadratkomplettering.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna genom att skriva om vänsterledet som en kvadrat.


a

x26x+9=16x^2-6x+9=16

b

x2+16x+64=100x^2+16x+64=100

c

2x236x+162=2422x^2-36x+162=242

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med kvadratkomplettering. Svara exakt och med två decimaler.


a

x2+5x5=0x^2+5x-5=0

b

3x230x+36=03x^2-30x+36=0

c

8y2+48y80=08y^2+48y-80=0

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på formen (x+a)2+b(x+a)^2+b genom att kvadratkomplettera.


a

x2+12x+50x^2+12x+50

b

y224y+100y^2-24y+100

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 4x242=2x(x3)2x 4x^2-42=2x(x-3)-2x med kvadratkomplettering.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangel har sidlängderna x1x-1 och x+2.x+2.

Exercise1137 1.svg


a

Ställ upp en formel för rektangelns area, A.A.

b

Arean är 13.75cm2.13.75\, \text{cm}^2. Hur långa är sidorna?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med kvadratkomplettering och svara exakt.


a

x2+13x=29x^2+\dfrac{1}{3} x=\dfrac{2}{9}

b

x2109x+1681=0x^2-\dfrac{10}{9} x+\dfrac{16}{81}=0

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den totala arean av trädgården och det kvadratiska huset är 2121 m2^2.

kvadratkomplettering


a

Använd figuren för att ställa upp en ekvation med vilken du kan bestämma husets sidlängd x.x.

b

Bestäm sidlängden med hjälp av kvadratkomplettering. Motivera dessutom metoden geometriskt med hjälp av figuren.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör med hjälp av kvadratkomplettering för vilka värden på qq som ekvationen x2+6x+q=0x^2+6x+q=0


a

saknar reella lösningar.

b

har precis en lösning (dubbelrot).

c

har två lösningar.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd kvadratkomplettering för att lösa ekvationen x2+px+q=0,x^2+px+q=0, där pp och qq är konstanter.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor är rektangelns area?

Exercice1148 1.svg
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}