4. Kvadratkomplettering
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Kvadratkomplettering
Denna lektion ger en omfattande förståelse för konceptet kvadratkomplettering, en teknik som används för att lösa andragradsekvationer. Den förklarar vad kvadratkomplettering innebär och hur metoden kan tillämpas för att effektivt lösa ekvationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå detta koncept. Den ger praktiska exempel på hur denna teknik används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa detta komplexa matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 5 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadratkomplettering
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratkomplettering
- Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x^2-, x- och konstantterm, exempelvis 3x^2 + 18x - 21 = 0. Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)^2=b, där a och b är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.
1
Skriv ekvationen på formen x^2 + px = c
expand_more Samla x^2- och x-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta
3x^2 + 18x = 21.
För att x^2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 3:
x^2 + 6x = 7.
2
I båda led, lägg till halva koefficienten framför x, i kvadrat
expand_more Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)^2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.
Detta jämförs med ekvationen i exemplet.
(x+a)^2 &= x^2+ 2ax+a^2 & x^2+ 6x =7.
I den nedre ekvationen finns en x^2-term och en x-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a^2. Vad är a? Koefficienten framför x är 2a, vilket betyder att a är hälften av det. Konstanten a är alltså 62=3 och därför lägger man till 3^2. För att likheten ska gälla görs detta i båda led: (x+a)^2 &= x^2+2ax+ a^2 & x^2+ 6x + 3^2 =7+ 3^2.
Man säger att man lägger till
halva koefficienten framför x, i kvadratoch det är detta som är själva kvadratkompletteringen.
3
Skriv om vänsterledet som en kvadrat
expand_more Anledningen till att man lade till 3^2 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.
x^2+6x+3^2=7+3^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2+2* x* 3+3^2=7+3^2
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(x+3)^2=7+3^2
4
Dra kvadratroten ur båda led och lös ut x
expand_more Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ± framför rottecknet.
(x + 3)^2 = 7 + 3^2
CalcPow
Beräkna potens
(x + 3)^2 = 7 + 9
AddTerms
Addera termerna
(x + 3)^2 = 16
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x + 3 = ±sqrt(16)
CalcRoot
Beräkna rot
x + 3 = ± 4
SubEqn
VL-2=HL-2
x = - 3 ± 4
StateSol
Ange lösningar
lx_1 = -7 x_2 = 1
Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7 och x=1.
Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.
Extra
Fullborda kvadraten med hjälp av rutorFöljande diagram visar hur man skriver om 3x^2 + 18x.
Den tidigare relationen innebär att 3x^2+ 18x-21 &= 3(x+3)^2- 27-21 &= 3(x+3)^2-48. Detta leder till samma resultat.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Illustration
Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är en metod som används för att skriva om ett andragaduttryck såsom x^2 + bx till formen (x + k)^2 - k^2. Värdet på k är hälften av b, vilket leder till följande samband. x^2+bx = (x+b/2)^2 - (b/2)^2 Processen att kvadratkomplettera kan visualiseras med hjälp av algebra-brickor. Beroende på värdet av b bör två fall övervägas.
Fall 1: b är jämnt
Betrakta uttrycket x^2 + 4x. Detta uttryck kan representeras med en x^2-bricka och fyra x-brickor.
Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Eftersom det finns fyra x-brickor kan två av dem roteras och placeras under x^2-brickan och de andra två kan placeras till höger om den.
Tillägget av fyra 1-brickor kommer att komplettera kvadraten
och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.
Observera att arean av kvadraten som bildas är (x+2)^2. Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna. (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor. x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 ⇓ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 2^2
Fall 2: b är udda
Betrakta uttrycket x^2 + 5x. Detta uttryck kan representeras med en x^2-bricka och fem x-brickor.
Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Följande steg kommer att vidtas:
- Två av x-brickorna placeras till höger om x^2-brickan.
- Två av x-brickorna roteras och placeras under x^2-brickan.
- Den återstående x-brickan delas upp i två x2-brickor — en placeras under x^2-brickan och den andra placeras till höger om x^2-brickan.
Tillägget av fyra 1-brickor, fyra 12-brickor och en 14-bricka kommer att komplettera kvadraten
och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.
Observera att arean av den bildade kvadraten är (x+ 52)^2. Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna. (x+5/2)^2 = x^2 + 5x + 25/4 Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor. x^2 + 5x = (x+5/2)^2 - 25/4 ⇓ x^2 + 5x = (x+5/2)^2 - (5/2)^2
Tänk på att samma teknik fungerar för negativa värden på b men, i detta fall, kommer uttrycket inuti x-brickorna att vara - x. Uttryck av formen ax^2 + bx kan också skrivas om med denna teknik.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Kvadratkomplettering
Använd metoden kvadratkomplettering för att bestämma värdet på c. Avrunda till 2 decimaler om det behövs.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering
Lös ekvationen med kvadratkomplettering. x^2 + 8x - 33 = 0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-11","3"]}}
Ledtråd
Börja med att flytta den konstanta termen till höger sida. Fyll sedan i kvadraten på uttrycket på vänster sida genom att lägga till en viss term på båda sidorna.
Lösning
Vi börjar med att skriva om ekvationen så att x^2- och x-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi
x^2 + 8x = 33.
För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför x, i kvadrat. I det här fallet är koefficienten 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 4^2 på båda sidor.
x^2 + 8x = 33
CompleteSquare
Kvadratkomplettera: p= 8
x^2+8x+(8/2)^2=33+(8/2)^2
CalcQuot
Beräkna kvot
x^2+8x+4^2=33+4^2
CalcPow
Beräkna potens
x^2+8x+4^2=33+16
AddTerms
Addera termerna
x^2+8x+4^2=49
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
x^2+8x+4^2=49
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2+2* x*4+4^2=49
FacPosPerfectSquare
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+4)^2=49
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x+4=±sqrt(49)
CalcRoot
Beräkna rot
x+4=±7
SubEqn
VL-4=HL-4
x=-4±7
StateSol
Ange lösningar
lx_1=-11 x_2=3
Dela
Rapportera fel
Översätt
Kvadratkomplettering
Uppgift 3.1
Avgör med hjälp av kvadratkomplettering för vilka värden på q som ekvationen x^2+6x+q=0 har precis en lösning (dubbelrot).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"q=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att lösa ekvationen så långt det går med hjälp av kvadratkomplettering.
För att vi ska få en dubbelrot ska 9-q bli något som har samma värde oavsett om det är positivt eller negativt. Det finns bara ett tal som uppfyller detta, 0: x=-3 ±sqrt(0) ⇔ x= -3 (dubbelrot). Detta sker då q=9.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Använd kvadratkomplettering för att lösa ekvationen x^2+px+q=0, där p och q är konstanter.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["p"],"constants":["q"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{p}{2}+\\sqrt{(\\dfrac{p}{2})^2-q}","-\\dfrac{p}{2}-\\sqrt{(\\dfrac{p}{2})^2-q}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi gör på samma sätt som om p och q vore tal. Vi börjar med att flytta över q till högerledet, därefter kvadratkompletterar vi genom att addera ( p2)^2 på båda sidor likhetstecknet.
Koefficienten framför x är p. Vi lägger till halva p i kvadrat i båda led och får då x^2+px+(p/2)^2=- q+(p/2)^2.
Vi får alltså lösningarna x=- p2±sqrt(( p2)^2-q). Denna formel kallas pq-formeln och används ofta vid lösning av andragradsekvationer.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hur stor är rektangelns area? Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["26,3"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma arean av rektangeln behöver vi veta hur långa sidorna är. Diagonalen är hypotenusan i en rätvinklig triangel så vi kan använda Pythagoras sats för att bestämma x.
Vi löser ekvationen genom att kvadratkomplettera. Koefficienten framför x är p=0,8.
Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.
Längder är alltid positiva, men om man sätter in x_1 i kortsidans längd 2x-3 blir den negativ. Vi är därför bara intresserade av den andra roten som är x=-0,4+sqrt(9,76). Arean av rektangeln ges av produkten av sidorna: A=(x+8)(2x-3). Vi sätter in vårt x och beräknar. För att undvika avrundningsfel behåller vi det exakta värdet på x.
Rektangelns area är alltså ungefär 26,3 a.e.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vad måste du lägga till uttrycket x^2+b x för att fullborda kvadraten?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(\\dfrac{b}{2})^2"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kvadratkomplettera behöver vi skriva om det givna kvadratiska uttrycket som ett annat ekvivalent uttryck som har en perfekt kvadratisk trinom så att vi kan faktorisera det som kvadraten av ett binom. Låt oss granska mönstret för att expandera kvadraten av ett binom av formen x+a. (x+a)^2= x^2+2ax + a^2 Observera att om vi identifierar koefficienten för den linjära termen, 2a, kan vi dividera den med 2 för att erhålla a. Sedan kan vi addera eller subtrahera efter behov för att få ekvivalenten för a^2, och faktorisera trinomen på önskat sätt. Låt oss betrakta det givna uttrycket och jämföra det med mönstret som nämnts tidigare. x^2+ 2ax + a^2 x^2 + bx [0.8em] ⇓ 2a = b ⇓ a = b/2 och a^2 = ( b/2 )^2 Enligt mönstret (x+a)^2= x^2 +2ax + a^2, behöver vi addera a^2 = ( b/2 )^2 för att komplettera den perfekta kvadratiska trinomen, som sedan kan faktoriseras som (x+b/2)^2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Kvadratkomplettering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll