body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

4. Kvadratkomplettering

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

4.

Kvadratkomplettering

Denna lektion ger en omfattande förståelse för konceptet kvadratkomplettering, en teknik som används för att lösa andragradsekvationer. Den förklarar vad kvadratkomplettering innebär och hur metoden kan tillämpas för att effektivt lösa ekvationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå detta koncept. Den ger praktiska exempel på hur denna teknik används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa detta komplexa matematiska koncept.

Inställningar & verktyg för lektion

	2 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Kvadratkomplettering

Sida av 2

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en

x^{2}

-,

x

- och konstantterm, exempelvis

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 .

Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen

(x + a)^{2} = b,

där

a

och

b

är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

x .

1

Skriv ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

Samla

x^{2}

- och

x

-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta

3 x^{2} + 18 x = 21 .

För att

x^{2}

-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med

3

:

x^{2} + 6 x = 7 .

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen

(x + a)^{2} .

Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} .

Detta jämförs med ekvationen i exemplet.

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} x^{2} + 26 x + a^{2} = 7 .

I den nedre ekvationen finns en

x^{2}

-term och en

x

-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till

a^{2} .

Vad är

a ?

Koefficienten framför

x

är

2 a,

vilket betyder att

a

är hälften av det. Konstanten

a

är alltså

\frac{6}{2} = 3

och därför lägger man till

3^{2} .

För att likheten ska gälla görs detta i båda led:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2} .

Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför

x,

i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till $3^{2}$ i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 7 + 3^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut

x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till

\pm

framför rottecknet.

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

Beräkna potens

(x + 3)^{2} = 7 + 9

Addera termer

(x + 3)^{2} = 16

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

$VL - 2 = HL - 2$

x = - 3 \pm 4

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Andragradsekvationen har alltså lösningarna

x = - 7

och

x = 1 .

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

fullscreen

Lös ekvationen med kvadratkomplettering.

x^{2} + 8 x - 33 = 0

Visa Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att

x^{2}

- och

x

-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi

x^{2} + 8 x = 33 .

För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat. I det här fallet är koefficienten

8

och hälften av det är

4 .

Det betyder att vi ska lägga till

4^{2}

på båda sidor.

x^{2} + 8 x = 33

Kvadratkomplettera: $p = 8$

x^{2} + 8 x + (\frac{8}{2})^{2} = 33 + (\frac{8}{2})^{2}

Beräkna kvot

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 4^{2}

Beräkna potens

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 16

Addera termer

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = 49

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + 4)^{2} = 49

$VL = HL$

x + 4 = \pm 49

Beräkna rot

x + 4 = \pm 7

$VL - 4 = HL - 4$

x = - 4 \pm 7

Ange lösningar

x_{1} = - 11 x_{2} = 3

Kvadratkomplettering

Uppgift 3.1

Avgör med hjälp av kvadratkomplettering för vilka värden på

q

som ekvationen

x^{2} + 6 x + q = 0

har precis en lösning (dubbelrot).

Vi börjar med att lösa ekvationen så långt det går med hjälp av kvadratkomplettering.

För att vi ska få en dubbelrot ska 9-q bli något som har samma värde oavsett om det är positivt eller negativt. Det finns bara ett tal som uppfyller detta, 0 : x=-3 ±sqrt(0) ⇔ x= -3 (dubbelrot). Detta sker då q=9.

Använd kvadratkomplettering för att lösa ekvationen

x^{2} + p x + q = 0,

där

p

och

q

är konstanter.

Vi gör på samma sätt som om p och q vore tal. Vi börjar med att flytta över q till högerledet, därefter kvadratkompletterar vi genom att addera ( p2)^2 på båda sidor likhetstecknet.

Koefficienten framför x är p. Vi lägger till halva p i kvadrat i båda led och får då x^2+px+(p/2)^2=- q+(p/2)^2.

Vi får alltså lösningarna x=- p2±sqrt(( p2)^2-q). Denna formel kallas pq-formeln och används ofta vid lösning av andragradsekvationer.

Hur stor är rektangelns area? Svara med en decimal.

En rektangel med sidan x+8 och 2x-3, samt diagonalen 11.

För att bestämma arean av rektangeln behöver vi veta hur långa sidorna är. Diagonalen är hypotenusan i en rätvinklig triangel så vi kan använda Pythagoras sats för att bestämma x.

Vi löser ekvationen genom att kvadratkomplettera. Koefficienten framför x är p=0.8.

Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.

Längder är alltid positiva, men om man sätter in x_1 i kortsidans längd 2x-3 blir den negativ. Vi är därför bara intresserade av den andra roten som är x=-0.4+sqrt(9.76). Arean av rektangeln ges av produkten av sidorna: A=(x+8)(2x-3). Vi sätter in vårt x och beräknar. För att undvika avrundningsfel behåller vi det exakta värdet på x.

Rektangelns area är alltså ungefär 26.3 a.e.

Kvadratkomplettering

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.