Kvadratkomplettering: Lär Dig Lösa Andragradsekvationer Effektivt

Avgör med hjälp av kvadratkomplettering för vilka värden på q som ekvationen x^2+6x+q=0 har precis en lösning (dubbelrot).

Vi börjar med att lösa ekvationen så långt det går med hjälp av kvadratkomplettering.

För att vi ska få en dubbelrot ska 9-q bli något som har samma värde oavsett om det är positivt eller negativt. Det finns bara ett tal som uppfyller detta, 0: x=-3 ±sqrt(0) ⇔ x= -3 (dubbelrot). Detta sker då q=9.

Använd kvadratkomplettering för att lösa ekvationen x^2+px+q=0, där p och q är konstanter.

Vi gör på samma sätt som om p och q vore tal. Vi börjar med att flytta över q till högerledet, därefter kvadratkompletterar vi genom att addera ( p2)^2 på båda sidor likhetstecknet.

Koefficienten framför x är p. Vi lägger till halva p i kvadrat i båda led och får då x^2+px+(p/2)^2=- q+(p/2)^2.

Vi får alltså lösningarna x=- p2±sqrt(( p2)^2-q). Denna formel kallas pq-formeln och används ofta vid lösning av andragradsekvationer.

Hur stor är rektangelns area? Svara med en decimal.

För att bestämma arean av rektangeln behöver vi veta hur långa sidorna är. Diagonalen är hypotenusan i en rätvinklig triangel så vi kan använda Pythagoras sats för att bestämma x.

Vi löser ekvationen genom att kvadratkomplettera. Koefficienten framför x är p=0,8.

Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.

Längder är alltid positiva, men om man sätter in x_1 i kortsidans längd 2x-3 blir den negativ. Vi är därför bara intresserade av den andra roten som är x=-0,4+sqrt(9,76). Arean av rektangeln ges av produkten av sidorna: A=(x+8)(2x-3). Vi sätter in vårt x och beräknar. För att undvika avrundningsfel behåller vi det exakta värdet på x.

Rektangelns area är alltså ungefär 26,3 a.e.

Vad måste du lägga till uttrycket x^2+b x för att fullborda kvadraten?

För att kvadratkomplettera behöver vi skriva om det givna kvadratiska uttrycket som ett annat ekvivalent uttryck som har en perfekt kvadratisk trinom så att vi kan faktorisera det som kvadraten av ett binom. Låt oss granska mönstret för att expandera kvadraten av ett binom av formen x+a. (x+a)^2= x^2+2ax + a^2 Observera att om vi identifierar koefficienten för den linjära termen, 2a, kan vi dividera den med 2 för att erhålla a. Sedan kan vi addera eller subtrahera efter behov för att få ekvivalenten för a^2, och faktorisera trinomen på önskat sätt. Låt oss betrakta det givna uttrycket och jämföra det med mönstret som nämnts tidigare. x^2+ 2ax + a^2 x^2 + bx [0.8em] ⇓ 2a = b ⇓ a = b/2 och a^2 = ( b/2 )^2 Enligt mönstret (x+a)^2= x^2 +2ax + a^2, behöver vi addera a^2 = ( b/2 )^2 för att komplettera den perfekta kvadratiska trinomen, som sedan kan faktoriseras som (x+b/2)^2.

Kvadratkomplettering

Förkunskaper