4. Kvadratkomplettering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Kvadratkomplettering
Denna lektion ger en omfattande förståelse för konceptet kvadratkomplettering, en teknik som används för att lösa andragradsekvationer. Den förklarar vad kvadratkomplettering innebär och hur metoden kan tillämpas för att effektivt lösa ekvationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå detta koncept. Den ger praktiska exempel på hur denna teknik används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa detta komplexa matematiska koncept.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadratkomplettering
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratkomplettering
- Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x^2-, x- och konstantterm, exempelvis 3x^2 + 18x - 21 = 0. Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)^2=b, där a och b är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.
1
Skriv ekvationen på formen x^2 + px = c
expand_more Samla x^2- och x-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta
3x^2 + 18x = 21.
För att x^2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 3:
x^2 + 6x = 7.
2
I båda led, lägg till halva koefficienten framför x, i kvadrat
expand_more Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)^2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.
Detta jämförs med ekvationen i exemplet.
(x+a)^2 &= x^2+ 2ax+a^2 & x^2+ 6x =7.
I den nedre ekvationen finns en x^2-term och en x-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a^2. Vad är a? Koefficienten framför x är 2a, vilket betyder att a är hälften av det. Konstanten a är alltså 62=3 och därför lägger man till 3^2. För att likheten ska gälla görs detta i båda led: (x+a)^2 &= x^2+2ax+ a^2 & x^2+ 6x + 3^2 =7+ 3^2.
Man säger att man lägger till
halva koefficienten framför x, i kvadratoch det är detta som är själva kvadratkompletteringen.
3
Skriv om vänsterledet som en kvadrat
expand_more Anledningen till att man lade till 3^2 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.
x^2+6x+3^2=7+3^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2+2* x* 3+3^2=7+3^2
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(x+3)^2=7+3^2
4
Dra kvadratroten ur båda led och lös ut x
expand_more Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ± framför rottecknet.
(x + 3)^2 = 7 + 3^2
CalcPow
Beräkna potens
(x + 3)^2 = 7 + 9
AddTerms
Addera termerna
(x + 3)^2 = 16
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x + 3 = ±sqrt(16)
CalcRoot
Beräkna rot
x + 3 = ± 4
SubEqn
VL-2=HL-2
x = - 3 ± 4
StateSol
Ange lösningar
lx_1 = -7 x_2 = 1
Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7 och x=1.
Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.
Extra
Fullborda kvadraten med hjälp av rutorFöljande diagram visar hur man skriver om 3x^2 + 18x.
Den tidigare relationen innebär att 3x^2+ 18x-21 &= 3(x+3)^2- 27-21 &= 3(x+3)^2-48. Detta leder till samma resultat.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Illustration
Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är en metod som används för att skriva om ett andragaduttryck såsom x^2 + bx till formen (x + k)^2 - k^2. Värdet på k är hälften av b, vilket leder till följande samband. x^2+bx = (x+b/2)^2 - (b/2)^2 Processen att kvadratkomplettera kan visualiseras med hjälp av algebra-brickor. Beroende på värdet av b bör två fall övervägas.
Fall 1: b är jämnt
Betrakta uttrycket x^2 + 4x. Detta uttryck kan representeras med en x^2-bricka och fyra x-brickor.
Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Eftersom det finns fyra x-brickor kan två av dem roteras och placeras under x^2-brickan och de andra två kan placeras till höger om den.
Tillägget av fyra 1-brickor kommer att komplettera kvadraten
och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.
Observera att arean av kvadraten som bildas är (x+2)^2. Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna. (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor. x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 ⇓ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 2^2
Fall 2: b är udda
Betrakta uttrycket x^2 + 5x. Detta uttryck kan representeras med en x^2-bricka och fem x-brickor.
Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Följande steg kommer att vidtas:
- Två av x-brickorna placeras till höger om x^2-brickan.
- Två av x-brickorna roteras och placeras under x^2-brickan.
- Den återstående x-brickan delas upp i två x2-brickor — en placeras under x^2-brickan och den andra placeras till höger om x^2-brickan.
Tillägget av fyra 1-brickor, fyra 12-brickor och en 14-bricka kommer att komplettera kvadraten
och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.
Observera att arean av den bildade kvadraten är (x+ 52)^2. Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna. (x+5/2)^2 = x^2 + 5x + 25/4 Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor. x^2 + 5x = (x+5/2)^2 - 25/4 ⇓ x^2 + 5x = (x+5/2)^2 - (5/2)^2
Tänk på att samma teknik fungerar för negativa värden på b men, i detta fall, kommer uttrycket inuti x-brickorna att vara - x. Uttryck av formen ax^2 + bx kan också skrivas om med denna teknik.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Kvadratkomplettering
Använd metoden kvadratkomplettering för att bestämma värdet på c. Avrunda till 2 decimaler om det behövs.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering
Lös ekvationen med kvadratkomplettering. x^2 + 8x - 33 = 0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-11","3"]}}
Ledtråd
Börja med att flytta den konstanta termen till höger sida. Fyll sedan i kvadraten på uttrycket på vänster sida genom att lägga till en viss term på båda sidorna.
Lösning
Vi börjar med att skriva om ekvationen så att x^2- och x-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi
x^2 + 8x = 33.
För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför x, i kvadrat. I det här fallet är koefficienten 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 4^2 på båda sidor.
x^2 + 8x = 33
CompleteSquare
Kvadratkomplettera: p= 8
x^2+8x+(8/2)^2=33+(8/2)^2
CalcQuot
Beräkna kvot
x^2+8x+4^2=33+4^2
CalcPow
Beräkna potens
x^2+8x+4^2=33+16
AddTerms
Addera termerna
x^2+8x+4^2=49
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
x^2+8x+4^2=49
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2+2* x*4+4^2=49
FacPosPerfectSquare
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+4)^2=49
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x+4=±sqrt(49)
CalcRoot
Beräkna rot
x+4=±7
SubEqn
VL-4=HL-4
x=-4±7
StateSol
Ange lösningar
lx_1=-11 x_2=3
Dela
Rapportera fel
Översätt
Kvadratkomplettering
Uppgift 2.1
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-5,85","0,85"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1,39","8,61"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"y"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1,36","-7,36"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi flyttar först över konstanttermen till högerledet: x^2+5x-5=0 ⇔ x^2+5x=5. Koefficienten framför x är 5, vilket betyder att vi lägger till ( 52)^2 på båda sidor.
De exakta lösningarna är alltså x=-2,5-sqrt(11,25) och x=-2,5+sqrt(11,25) som avrundas till x ≈ -5,85 respektive x ≈ 0,85.
Vi flyttar först över konstanten så att den står i högerledet och sedan delar vi med 3 på båda sidor för att x^2-termen ska få koefficienten 1.
När vi kvadratkompletterar lägger vi till ( -102)^2 på båda sidor.
De exakta lösningarna är x=5-sqrt(13) och x=5+sqrt(13), som avrundas till x≈1,39 respektive x≈8,61.
Vi fortsätter på samma sätt och flyttar över konstanttermen till högerledet och dividerar båda sidor med 8.
Koefficienten framför x är 6 så vi lägger till ( 62)^2 på båda sidor när vi kvadratkompletterar.
Vi kom fram till de exakta rötterna y=-3-sqrt(19) och y=-3+sqrt(19) som avrundas till y≈-7,36 respektive y≈1,36.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(x+6)^2+14"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(y-12)^2-44"]}}
security
report
code
security
report
code
Här har vi ingen ekvation så vi kan inte lägga till ( p2)^2 på båda sidor. Däremot kan vi lägga till och samtidigt dra ifrån det utan att förändra uttryckets värde eftersom vi då totalt har lagt till 0. Alltså på samma sätt som 5 = 5+1-1, eftersom vi då lägger till och drar bort 1 samtidigt.
Vi kan alltså skriva om uttrycket som (x+6)^2+14.
Vi kan också lösa uppgiften genom att dela upp den befintliga konstanten 50 i 36+14, ifall vi direkt ser att det är 36 som behövs för att vi ska kunna skriva om uttrycket med första kvadreringsreglen.
Vi tänker på motsvarande sätt här, vi lägger till och drar ifrån ( p2)^2. Här är p=-24.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen 4x^2-42=2x(x-3)-2x med kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-7","3"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi kvadratkompletterar måste vi skriva om ekvationen på formen x^2+px=c. Vi börjar med att multiplicera in 2x i parentesen.
Nu kan vi använda oss av den vanliga metoden för kvadratkomplettering. Koefficienten framför x är 4, vilket innebär att vi ska addera 2^2 till båda led.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":true,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{2}{3}","\\dfrac{1}{3}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":true,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{2}{9}","\\dfrac{8}{9}"]}}
security
report
code
security
report
code
Koefficienten framför x är 13. Vi ska alltså lägga till hälften av det, i kvadrat när vi kvadratkompletterar.
Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.
Nu står det - 109 framför x och vi använder det för att kvadratkomplettera.
Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Den totala arean av trädgården och det kvadratiska huset är 21m^2.
Använd figuren för att ställa upp en ekvation för husets och trädgårdens gemensamma area.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"=21","answer":{"text":["x^2+4x"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom huset är kvadratiskt och har sidlängd x kan vi uttrycka arean som x^2. Trädgårdens area är istället 4x, eftersom ena sidan är 4 och andra är x.
Vi vet också att summan av husets och trädgårdens area är 21m^2, vilket ger ekvationen x^2+4x=21.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Fullfölj frasen.
|
Om x^2+y^2=2 x y , då måste y vara . |
{"type":"choice","form":{"alts":["-1","0 ","1","- x","x"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":4}
security
report
code
security
report
code
När vi ordnar om ekvationen kan vi se den fullständiga kvadraten.
En kvadrat av ett tal kan bara vara 0 när talet är 0.
Vi fann att om x^2+y^2=2xy så är y=x. Det rätta svaret är x.
Om x^2+y^2=2 x y , då måste y vara x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Den rektangulära vykort har en area av 40 cm^2. Vad är värdet av x till närmaste tiondel av en centimeter?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["4,8"]}}
security
report
code
security
report
code
Den rektangulära vykort har en area på 40 cm^2. Arean av en rektangel är dess bredd gånger dess längd. Låt oss skriva arean av den. Area = Bredd * Längd ⇕ 40 = ( x+1) * ( x+2) Låt oss tillämpa den distributiva lagen.
Vi får en andragradsekvation. Vi kommer att lösa den genom att kvadratkomplettera. I ett andragradsuttryck är b den linjära koefficienten. För ekvationen ovan har vi att b=3. Låt oss nu beräkna ( b/2 )^2.
Därefter kommer vi att addera ( b/2 )^2=9/4 till båda sidor av vår ekvation. Sedan faktoriserar vi trinomet på vänster sida och löser ekvationen.
Lösningarna för denna ekvation är x=- 3/2± sqrt(161)/2. Låt oss separera dem i de positiva och negativa fallen.
| x=- 3/2± sqrt(161)/2 | |
|---|---|
| x_1=- 3/2+ sqrt(161)/2 | x_2=- 3/2- sqrt(161)/2 |
| x_1 ≈ 4,8 | x_2≈ - 7,8 |
Den enda rimliga lösningen är 4,8 eftersom längder inte kan vara negativa. Värdet på x är 4,8cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös x^2=(6 sqrt(2)) x+7 genom att fullborda kvadraten.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3\\sqrt{2}+5","3\\sqrt{2}-5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kommer att lösa den givna andragradsekvationen genom att kvadratkomplettera. x^2=(6sqrt(2))x+7 Låt oss först gruppera termerna med variabeln x på ena sidan av ekvationen och alla konstanttermer på den andra sidan. x^2=(6sqrt(2))x+7 ⇕ x^2 - (6sqrt(2))x = 7 I ett andragradsuttryck är b den linjära koefficienten. För den erhållna ekvationen har vi att b=6sqrt(2). Låt oss nu beräkna ( b/2 )^2.
Därefter kommer vi att addera ( b/2 )^2=( 3sqrt(2) )^2 till båda sidor av vår ekvation. x^2 - 2(3sqrt(2))x + (3sqrt(2))^2 = 7 + (3sqrt(2))^2 Nu kommer vi att faktorisera uttrycket på vänster sida som en fullständig kvadrattriom. Sedan löser vi den resulterande ekvationen för x.
Både x= 3sqrt(2) + 5 och x= 3sqrt(2) -5 är lösningar till ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll