Kvadratkomplettering: Lär Dig Lösa Andragradsekvationer Effektivt

Lös ekvationen med kvadratkomplettering. Svara med två decimaler.

x^{2} + 5 x - 5 = 0

3 x^{2} - 30 x + 36 = 0

8 y^{2} + 48 y - 80 = 0

Vi flyttar först över konstanttermen till högerledet: x^2+5x-5=0 ⇔ x^2+5x=5. Koefficienten framför x är 5, vilket betyder att vi lägger till ( 52)^2 på båda sidor.

De exakta lösningarna är alltså x=-2,5-sqrt(11,25) och x=-2,5+sqrt(11,25) som avrundas till x ≈ -5,85 respektive x ≈ 0,85.

Vi flyttar först över konstanten så att den står i högerledet och sedan delar vi med 3 på båda sidor för att x^2-termen ska få koefficienten 1.

När vi kvadratkompletterar lägger vi till ( -102)^2 på båda sidor.

De exakta lösningarna är x=5-sqrt(13) och x=5+sqrt(13), som avrundas till x≈1,39 respektive x≈8,61.

Vi fortsätter på samma sätt och flyttar över konstanttermen till högerledet och dividerar båda sidor med 8.

Koefficienten framför x är 6 så vi lägger till ( 62)^2 på båda sidor när vi kvadratkompletterar.

Vi kom fram till de exakta rötterna y=-3-sqrt(19) och y=-3+sqrt(19) som avrundas till y≈-7,36 respektive y≈1,36.

Skriv på formen $(x + a)^{2} + b$ genom att kvadratkomplettera.

x^{2} + 12 x + 50

y^{2} - 24 y + 100

Här har vi ingen ekvation så vi kan inte lägga till ( p2)^2 på båda sidor. Däremot kan vi lägga till och samtidigt dra ifrån det utan att förändra uttryckets värde eftersom vi då totalt har lagt till 0. Alltså på samma sätt som 5 = 5+1-1, eftersom vi då lägger till och drar bort 1 samtidigt.

Vi kan alltså skriva om uttrycket som (x+6)^2+14.

Vi kan också lösa uppgiften genom att dela upp den befintliga konstanten 50 i 36+14, ifall vi direkt ser att det är 36 som behövs för att vi ska kunna skriva om uttrycket med första kvadreringsreglen.

Vi tänker på motsvarande sätt här, vi lägger till och drar ifrån ( p2)^2. Här är p=-24.

Lös ekvationen

4 x^{2} - 42 = 2 x (x - 3) - 2 x

med kvadratkomplettering.

Innan vi kvadratkompletterar måste vi skriva om ekvationen på formen x^2+px=c. Vi börjar med att multiplicera in 2x i parentesen.

Nu kan vi använda oss av den vanliga metoden för kvadratkomplettering. Koefficienten framför x är 4, vilket innebär att vi ska addera 2^2 till båda led.

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

En rektangel har sidlängderna $x - 1$ och $x + 2 .$

Ställ upp en formel för rektangelns area,

A .

Arean är

13, 75 cm^{2} .

Bestäm

x .

Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera dess sidor. Den ena är x-1 och den andra är x+2, vilket ger A=(x-1)(x+2). Om man vill kan man multiplicera ihop parenteserna.

För att ta reda på sidlängderna måste vi bestämma x. Vi har ett uttryck för arean och vet att den ska vara lika med 13,75cm^2, så vi sätter in värdet istället för A. Vi använder kvadratkomplettering för att lösa ekvationen.

Nu när vi har kvadratkompletterat kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln.

Längder är alltid positiva så den negativa lösningen är inte intressant. Det betyder att x=3,5.

Lös ekvationen med kvadratkomplettering och svara exakt.

x^{2} + \frac{1}{3} x = \frac{2}{9}

x^{2} - \frac{1 0}{9} x + \frac{1 6}{8 1} = 0

Koefficienten framför x är 13. Vi ska alltså lägga till hälften av det, i kvadrat när vi kvadratkompletterar.

Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.

Nu står det - 109 framför x och vi använder det för att kvadratkomplettera.

Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.

Den totala arean av trädgården och det kvadratiska huset är $21 m^{2} .$

Använd figuren för att ställa upp en ekvation för husets och trädgårdens gemensamma area.

Eftersom huset är kvadratiskt och har sidlängd x kan vi uttrycka arean som x^2. Trädgårdens area är istället 4x, eftersom ena sidan är 4 och andra är x.

Vi vet också att summan av husets och trädgårdens area är 21m^2, vilket ger ekvationen x^2+4x=21.

Kvadratkomplettering

Förkunskaper