4. Kvadratkomplettering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
4.
Kvadratkomplettering
Denna lektion ger en omfattande förståelse för konceptet kvadratkomplettering, en teknik som används för att lösa andragradsekvationer. Den förklarar vad kvadratkomplettering innebär och hur metoden kan tillämpas för att effektivt lösa ekvationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå detta koncept. Den ger praktiska exempel på hur denna teknik används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa detta komplexa matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 2 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadratkomplettering
Sida av 2
Videolektion Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt
Minispelare aktiv
Metod
Kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x2-, x- och konstantterm, exempelvis
Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.
3x2+18x−21=0.
Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)2=b, där a och b är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x. 1
Skriv ekvationen på formen x2+px=c
expand_more Samla x2- och x-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta
3x2+18x=21.
För att x2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 3:
x2+6x=7.
2
I båda led, lägg till halva koefficienten framför x, i kvadrat
expand_more Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:
(x+a)2=x2+2ax+a2.
Detta jämförs med ekvationen i exemplet.
(x+a)2=x2+2ax+a2x2+26x+a2=7.
I den nedre ekvationen finns en x2-term och en x-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a2. Vad är a? Koefficienten framför x är 2a, vilket betyder att a är hälften av det. Konstanten a är alltså 26=3 och därför lägger man till 32. För att likheten ska gälla görs detta i båda led: (x+a)2=x2+2ax+a2x2+ 6x +32=7+32.
Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför x, i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen. 3
Skriv om vänsterledet som en kvadrat
expand_more Anledningen till att man lade till 32 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.
4
Dra kvadratroten ur båda led och lös ut x
expand_more Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ± framför rottecknet.
Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=−7 och x=1.
(x+3)2=7+32
CalcPow
Beräkna potens
(x+3)2=7+9
AddTerms
Addera termer
(x+3)2=16
SqrtEqn
VL=HL
x+3=±16
CalcRoot
Beräkna rot
x+3=±4
SubEqn
VL−2=HL−2
x=−3±4
StateSol
Ange lösningar
x1=−7x2=1
Exempel
Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering
x2+8x−33=0
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att skriva om ekvationen så att x2- och x-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi
x2+8x=33.
För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför x, i kvadrat. I det här fallet är koefficienten 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 42 på båda sidor.
x2+8x=33
CompleteSquare
Kvadratkomplettera: p=8
x2+8x+(28)2=33+(28)2
CalcQuot
Beräkna kvot
x2+8x+42=33+42
CalcPow
Beräkna potens
x2+8x+42=33+16
AddTerms
Addera termer
x2+8x+42=49
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
x2+8x+42=49
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x2+2⋅x⋅4+42=49
FacPosPerfectSquare
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+4)2=49
SqrtEqn
VL=HL
x+4=±49
CalcRoot
Beräkna rot
x+4=±7
SubEqn
VL−4=HL−4
x=−4±7
StateSol
Ange lösningar
x1=−11x2=3
Kvadratkomplettering
Övningar
Lös ekvationen med kvadratkomplettering. Svara med två decimaler.
x2+5x−5=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-5.85","0.85"]}}
3x2−30x+36=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1.39","8.61"]}}
8y2+48y−80=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"y"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1.36","-7.36"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi flyttar först över konstanttermen till högerledet: x^2+5x-5=0 ⇔ x^2+5x=5. Koefficienten framför x är 5, vilket betyder att vi lägger till ( 52)^2 på båda sidor.
De exakta lösningarna är alltså x=-2.5-sqrt(11.25) och x=-2.5+sqrt(11.25) som avrundas till x ≈ -5.85 respektive x ≈ 0.85.
Vi flyttar först över konstanten så att den står i högerledet och sedan delar vi med 3 på båda sidor för att x^2-termen ska få koefficienten 1.
När vi kvadratkompletterar lägger vi till ( -102)^2 på båda sidor.
De exakta lösningarna är x=5-sqrt(13) och x=5+sqrt(13), som avrundas till x≈1.39 respektive x≈8.61.
Vi fortsätter på samma sätt och flyttar över konstanttermen till högerledet och dividerar båda sidor med 8.
Koefficienten framför x är 6 så vi lägger till ( 62)^2 på båda sidor när vi kvadratkompletterar.
Vi kom fram till de exakta rötterna y=-3-sqrt(19) och y=-3+sqrt(19) som avrundas till y≈-7.36 respektive y≈1.36.
security
report
code
Skriv på formen (x+a)2+b genom att kvadratkomplettera.
x2+12x+50
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(x+6)^2+14"]}}
y2−24y+100
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(y-12)^2-44"]}}
security
report
code
security
report
code
Här har vi ingen ekvation så vi kan inte lägga till ( p2)^2 på båda sidor. Däremot kan vi lägga till och samtidigt dra ifrån det utan att förändra uttryckets värde eftersom vi då totalt har lagt till 0. Alltså på samma sätt som 5 = 5+1-1, eftersom vi då lägger till och drar bort 1 samtidigt.
Vi kan alltså skriva om uttrycket som (x+6)^2+14.
Vi kan också lösa uppgiften genom att dela upp den befintliga konstanten 50 i 36+14, ifall vi direkt ser att det är 36 som behövs för att vi ska kunna skriva om uttrycket med första kvadreringsreglen.
Vi tänker på motsvarande sätt här, vi lägger till och drar ifrån ( p2)^2. Här är p=-24.
security
report
code
Lös ekvationen
4x2−42=2x(x−3)−2x
med kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-7","3"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi kvadratkompletterar måste vi skriva om ekvationen på formen x^2+px=c. Vi börjar med att multiplicera in 2x i parentesen.
Nu kan vi använda oss av den vanliga metoden för kvadratkomplettering. Koefficienten framför x är 4, vilket innebär att vi ska addera 2^2 till båda led.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
security
report
code
En rektangel har sidlängderna x−1 och x+2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+x-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3.5"]}}
security
report
code
security
report
code
Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera dess sidor. Den ena är x-1 och den andra är x+2, vilket ger A=(x-1)(x+2). Om man vill kan man multiplicera ihop parenteserna.
För att ta reda på sidlängderna måste vi bestämma x. Vi har ett uttryck för arean och vet att den ska vara lika med 13.75 cm^2, så vi sätter in värdet istället för A. Vi använder kvadratkomplettering för att lösa ekvationen.
Nu när vi har kvadratkompletterat kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln.
Längder är alltid positiva så den negativa lösningen är inte intressant. Det betyder att x=3.5.
security
report
code
Lös ekvationen med kvadratkomplettering och svara exakt.
x2+31x=92
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":true,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{2}{3}","\\dfrac{1}{3}"]}}
x2−910x+8116=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":true,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{2}{9}","\\dfrac{8}{9}"]}}
security
report
code
security
report
code
Koefficienten framför x är 13. Vi ska alltså lägga till hälften av det, i kvadrat när vi kvadratkompletterar.
Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.
Nu står det - 109 framför x och vi använder det för att kvadratkomplettera.
Vi förenklar högerledet innan vi drar kvadratroten ur båda led.
security
report
code
Den totala arean av trädgården och det kvadratiska huset är 21 m2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.36687em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["x^2+4x"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom huset är kvadratiskt och har sidlängd x kan vi uttrycka arean som x^2. Trädgårdens area är istället 4x, eftersom ena sidan är 4 och andra är x.
Vi vet också att summan av husets och trädgårdens area är 21 m^2, vilket ger ekvationen x^2+4x=21.
security
report
code
Kvadratkomplettering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll