3. Kvadratkomplettering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
3.
Kvadratkomplettering
Denna lektion ger en omfattande förståelse för konceptet kvadratkomplettering, en teknik som används för att lösa andragradsekvationer. Den förklarar vad kvadratkomplettering innebär och hur metoden kan tillämpas för att effektivt lösa ekvationer. Lektionenen är utformad för att hjälpa studenter, lärare och alla som är intresserade av matematik att bättre förstå detta koncept. Den ger praktiska exempel på hur denna teknik används i verkliga scenarier, vilket gör det lättare att greppa detta komplexa matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadratkomplettering
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratkomplettering
- Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering
Förkunskaper
Metod
Dela
Rapportera fel
Kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x^2-, x- och konstantterm, exempelvis
3x^2 + 18x - 21 = 0.
Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)^2=b, där a och b är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.
1
Skriv ekvationen på formen x^2 + px = c
expand_more Samla x^2- och x-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta 3x^2 + 18x = 21. För att x^2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 3: x^2 + 6x = 7.
2
I båda led, lägg till halva koefficienten framför x, i kvadrat
expand_more Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)^2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.
Detta jämförs med ekvationen i exemplet.
(x+a)^2 &= x^2+ 2ax+a^2 & x^2+ 6x =7.
I den nedre ekvationen finns en x^2-term och en x-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a^2. Vad är a? Koefficienten framför x är 2a, vilket betyder att a är hälften av det. Konstanten a är alltså 62=3 och därför lägger man till 3^2. För att likheten ska gälla görs detta i båda led: (x+a)^2 &= x^2+2ax+ a^2 & x^2+ 6x + 3^2 =7+ 3^2.
Man säger att man lägger till halva koefficienten framför x, i kvadrat
och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.
3
Skriv om vänsterledet som en kvadrat
expand_more Anledningen till att man lade till 3^2 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.
x^2+6x+3^2=7+3^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2+2* x* 3+3^2=7+3^2
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(x+3)^2=7+3^2
4
Dra kvadratroten ur båda led och lös ut x
expand_more Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ± framför rottecknet.
Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7 och x=1.
Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.
Extra
Fullborda kvadraten med hjälp av rutorFöljande diagram visar hur man skriver om 3x^2 + 18x.
Den tidigare relationen innebär att
3x^2+ 18x-21 &= 3(x+3)^2- 27-21 &= 3(x+3)^2-48.
Detta leder till samma resultat.
Illustration
Dela
Rapportera fel
Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering är en metod som används för att skriva om ett andragaduttryck såsom x^2 + bx till formen (x + k)^2 - k^2. Värdet på k är hälften av b, vilket leder till följande samband. x^2+bx = (x+b/2)^2 - (b/2)^2 Processen att kvadratkomplettera kan visualiseras med hjälp av algebra-brickor. Beroende på värdet av b bör två fall övervägas.
Fall 1: b är jämnt
Betrakta uttrycket x^2 + 4x. Detta uttryck kan representeras med en x^2-bricka och fyra x-brickor.
Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Eftersom det finns fyra x-brickor kan två av dem roteras och placeras under x^2-brickan och de andra två kan placeras till höger om den.
Tillägget av fyra 1-brickor kommer att komplettera kvadraten
och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.
Observera att arean av kvadraten som bildas är (x+2)^2. Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna. (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor. x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 ⇓ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 2^2
Fall 2: b är udda
Betrakta uttrycket x^2 + 5x. Detta uttryck kan representeras med en x^2-bricka och fem x-brickor.
Dessa brickor kommer att omarrangeras med avsikt att skapa en kvadrat. Följande steg kommer att vidtas:
- Två av x-brickorna placeras till höger om x^2-brickan.
- Två av x-brickorna roteras och placeras under x^2-brickan.
- Den återstående x-brickan delas upp i två x2-brickor — en placeras under x^2-brickan och den andra placeras till höger om x^2-brickan.
Tillägget av fyra 1-brickor, fyra 12-brickor och en 14-bricka kommer att komplettera kvadraten
och ett uttryck kan skrivas med hjälp av alla brickorna.
Observera att arean av den bildade kvadraten är (x+ 52)^2. Denna area är lika med uttrycket som representerar brickorna. (x+5/2)^2 = x^2 + 5x + 25/4 Slutligen kan det ursprungliga uttrycket skrivas som arean av kvadraten minus antalet tillagda brickor. x^2 + 5x = (x+5/2)^2 - 25/4 ⇓ x^2 + 5x = (x+5/2)^2 - (5/2)^2
Tänk på att samma teknik fungerar för negativa värden på b men, i detta fall, kommer uttrycket inuti x-brickorna att vara - x. Uttryck av formen ax^2 + bx kan också skrivas om med denna teknik.Övning
Dela
Rapportera fel
Kvadratkomplettering
Använd metoden kvadratkomplettering för att bestämma värdet på c. Avrunda till 2 decimaler om det behövs.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering
Lös ekvationen med kvadratkomplettering.
x^2 + 8x - 33 = 0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-11","3"]}}
Ledtråd
Börja med att flytta den konstanta termen till höger sida. Fyll sedan i kvadraten på uttrycket på vänster sida genom att lägga till en viss term på båda sidorna.
Lösning
Vi börjar med att skriva om ekvationen så att x^2- och x-termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi x^2 + 8x = 33. För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför x, i kvadrat. I det här fallet är koefficienten 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 4^2 på båda sidor.
x^2 + 8x = 33
CompleteSquare
Kvadratkomplettera: p= 8
x^2+8x+(8/2)^2=33+(8/2)^2
CalcQuot
Beräkna kvot
x^2+8x+4^2=33+4^2
CalcPow
Beräkna potens
x^2+8x+4^2=33+16
AddTerms
Addera termerna
x^2+8x+4^2=49
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
x^2+8x+4^2=49
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2+2* x*4+4^2=49
FacPosPerfectSquare
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+4)^2=49
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x+4=±sqrt(49)
CalcRoot
Beräkna rot
x+4=±7
SubEqn
VL-4=HL-4
x=-4±7
StateSol
Ange lösningar
lx_1=-11 x_2=3
Kvadratkomplettering
Övningar
Vad ska stå istället för ◊ för att likheten ska gälla?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lättare se vad som ska skrivas i rutan i vänsterledet kan vi skriva om högerledet (x+1)^2 med hjälp av första kvadreringsregeln, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Det ger att (x+1)^2=x^2+2x+1. Ursprungsekvationen kan alltså skrivas om som x^2+2x+◊=x^2+2x+1. Jämför vi nu termerna i vänsterled och högerled ser vi att det måste stå 1 istället för ◊ för att de båda leden ska vara lika med varandra.
Vi använder samma lösningsmetod som i föregående deluppgift, men utnyttjar istället andra kvadreringsregeln, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2:
(x-2)^2=x^2-4x+4.
Ekvationen skriver vi då om som
x^2-◊+4=x^2-4x+4.
Vi ska byta ◊ mot 4x.
Vi gör på samma sätt och utvecklar vänsterledet med första kvadreringsregeln. Det ger oss
x^2+6x+9=x^2+6x+◊,
och vi ser att det alltså ska stå 9 istället för ◊.
security
report
code
Vilken konstant ska man lägga till för att lösa följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["16"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["25"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa den här ekvationen med kvadratkomplettering ska vi ta koefficienten framför x, halvera den och kvadrera kvoten. Koefficienten framför x brukar betecknas p, vilket betyder att man ska lägga till (p/2)^2. I ekvationen x^2+4x=21 är p=4.
Man ska alltså lägga till 4 på båda sidor.
Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften. Här är p=8.
Man ska addera 16 i båda led.
Vi fortsätter på samma sätt. Nu är p=10.
Man lägger till 25 på båda sidor.
security
report
code
Lös ekvationen med kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","-7"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3","13"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","5"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kvadratkomplettera lägger vi till halva koefficienten framför x i kvadrat. I det här fallet är den 8 och hälften av det är 4. Det betyder att vi ska lägga till 4^2 på båda sidor.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
Rötterna x=-7 och x=-1 löser ekvationen.
I den här ekvationen är koefficienten framför x lika med -10, och hälften av det är -5. Det betyder att vi ska lägga till (-5)^2 på båda sidor.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat. Här använder vi andra kvadreringsregeln baklänges.
I det här fallet är det -4 som är koefficienten framför x, och hälften av det är -2. Det betyder att vi ska lägga till (-2)^2 på båda sidor.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda andra kvadreringsregeln baklänges.
security
report
code
Lös ekvationen med kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-5","9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","8"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-7","6"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi kvadratkompletterar skriver vi om ekvationen på formen x^2+px=c, dvs. konstanten flyttas över till högerledet. Därefter lägger vi till halva koefficienten framför x i kvadrat. I det här fallet är den p=-4 så vi lägger till (-2)^2 på båda sidor.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda andra kvadreringsregeln baklänges.
Rötterna x=-5 och x=9 löser ekvationen.
Vi adderar 16 till båda led för att få ekvationen på rätt form. Därefter lägger vi till ( -62)^2 i båda led.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat. Här använder vi andra kvadreringsregeln baklänges.
Här måste vi komma ihåg att x är samma sak som 1x, dvs. koefficienten är 1. Vi lägger till hälften av det i kvadrat till båda led.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
security
report
code
Lös ekvationen med kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"y"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-6","-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"s"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["13","-1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"t"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi flyttar först över konstanttermen till högerledet så att vi får y^2+8y=-12. För att kvadratkomplettera lägger vi nu till ( p2)^2 i båda led. p är koefficienten framför variabeln y, som i det här fallet är 8.
Vänsterledet kan nu skrivas som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln.
På samma sätt som i förra deluppgiften skriver vi om ekvationen så att konstanttermen står i högerledet: s^2-12s=13. Koefficienten framför variabeln s är -12. Vi använder den för att kvadratkomplettera.
Inget nytt, vi fortsätter på samma sätt.
Nu skriver vi om vänsterledet som en kvadrat med andra kvadreringsregeln.
security
report
code
En rektangel har sidlängderna x-1 och x+2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"A=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+x-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera dess sidor. Den ena är x-1 och den andra är x+2, vilket ger A=(x-1)(x+2). Om man vill kan man multiplicera ihop parenteserna.
För att ta reda på sidlängderna måste vi bestämma x. Vi har ett uttryck för arean och vet att den ska vara lika med 13,75cm^2, så vi sätter in värdet istället för A. Vi använder kvadratkomplettering för att lösa ekvationen.
Nu när vi har kvadratkompletterat kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln.
Längder är alltid positiva så den negativa lösningen är inte intressant. Det betyder att x=3,5.
security
report
code
Lös
2x^2+12x+26=0
med kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":[]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi kvadratkompletterar måste vi skriva om ekvationen på formen x^2+px=c. Vi gör det genom att dividera ekvationen med 2 och sedan subtrahera båda led med 13.
Nu kan vi använda oss av den vanliga metoden för kvadratkomplettering. Koefficienten framför x är 6, vilket innebär att vi ska addera 3^2 till båda led.
Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.
I nästa steg ska vi dra roten ur båda led, men om vi gör det drar vi kvadratroten ur ett negativt tal. Det innebär att ekvationen saknar reella rötter.
security
report
code
Lös ekvationen genom att skriva om vänsterledet som en kvadrat.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","7"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-18","2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","20"]}}
security
report
code
security
report
code
Vänsterledet kan vi faktorisera direkt genom att använda den andra kvadreringsregeln baklänges. 9 kan ju skrivas som 3^2 och 3 är hälften av 6 så vi kan skriva VL som en kvadrat.
Ekvationens lösningar är x=-1 och x=7.
På samma sätt som i förra deluppgiften kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat direkt.
Vi börjar med att dividera ekvationen med 2 för att koefficienten framför x^2 ska bli 1.
Nu kan vi skriva om vänsterledet som en kvadrat.
security
report
code
Kvadratkomplettering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll