1. Introduktion till komplexa tal
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
1.
Introduktion till komplexa tal
Denna lektion introducerar konceptet med komplexa tal, som inkluderar både reella och imaginära tal. Komplexa tal, som kan skrivas i formen a + bi, har både en realdel (a) och en imaginärdel (b). Imaginära tal introducerades under 1600-talet för att lösa ekvationer som inte hade lösningar inom de reella talen. Dessa tal har en rad användningar inom olika matematiska och vetenskapliga discipliner, inklusive fysik och ingenjörsvetenskap. Lektionenen förklarar också hur man kan använda en räknare för att utföra beräkningar med komplexa tal.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Introduktion till komplexa tal
Sida av 6
Finns det något tal som multiplicerat med sig självt ger - 1? Bland de reella talen, dvs. de som ligger på tallinjen, är svaret nej. Men på 1600-talet utvidgade man matematiken med andra sorters tal, vars kvadrater är negativa. Då infördes den imaginära enheten i: i^2 = - 1. Med hjälp av den definitionen kan man bestämma kvadratroten av vilket negativt tal som helst, och resultatet kallas ett imaginärt tal. Man kan se det som att minustecknet under roten blir ett i, och sedan tar man roten ur som vanligt.
sqrt(- a)=sqrt(a) * i
Villkor: a > 0
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös en andragradsekvation med imaginära rötter
Lös ekvationen x^2+16=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4i","-4i"]}}
Ledtråd
Följ processen för att lösa en enkel andragradsekvation. Kom ihåg att roten ur ett negativt tal ger imaginära lösningar.
Lösning
Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut x^2 och drar roten ur båda led.
Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.
Ekvationens lösningar är alltså x=- 4i och x=4i.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Komplexa tal
Ett komplext tal består av en realdel och imaginärdel. Namnet kommer inte från att talet är komplicerat utan från att det är ett komplex, alltså en sammansättning av flera delar. Adderar man t.ex. det reella talet 5 till det imaginära talet 8i får man det komplexa talet 5 + 8i. Generellt kan ett komplext tal skrivas på formen z = a + bi, där både a och b är reella tal. Detta kallas rektangulär form, eller ibland kartesisk form. Komponenterna a och b kallas för talets real- respektive imaginärdel. Realdelen av 5 + 8i är alltså 5 medan imaginärdelen är 8.
Om z = a + bi
är Re(z) = a och Im(z) = b.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Komplexkonjugat
Om man byter tecken på imaginärdelen av ett komplext tal får man dess komplexkonjugat. Det brukar anges med ett rakt streck över talet som konjugeras.
a+bi = a-bi
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm real- och imaginärdel av de komplexa talen
Bestäm real- och imaginärdel för följande tal. z_1 = 3 + 2i z_2 = -10 + i z_3 = 7 - 6i
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med det första talet, z_1 = 3 + 2i. Talets realdel är den term som inte innehåller ett i, vilket är 3. Imaginärdelen är den andra termen fast utan i:et, dvs. 2. Vi får alltså Re(z_1) = 3 och Im(z_1) = 2. För det andra komplexa talet, z_2 = -10 + i, står det inget framför i. Det finns dock en underförstådd etta, eftersom det finns ett i. Man kan alltså skriva talet som z_2 = -10 + 1i, vilket ger Re(z_2) = -10 och Im(z_2) = 1. I det sista talet, z_3 = 7 - 6i, står det ett minustecken mellan 7 och 6i. Om vi skriver om talet på rektangulär form, a + bi, ser vi att minustecknet är en del av imaginärdelen: z_3 = 7 + (-6)i. Då är Re(z_3) = 7 och Im(z_3) = -6.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Komplexa tal på räknare
Om räknaren är inställd på att räkna med reella tal får man ett felmeddelande om man försöker beräkna sqrt(- 1). Det går dock att ändra inställningarna så att räknaren kan svara med komplexa tal. Det gör man genom att trycka på knappen MODE och välja alternativet "a+bi".
Med det valet kan sqrt(- 1) beräknas utan problem.
Digitala verktyg
CPX-menyn
Genom att trycka på knappen MATH och gå till fliken CPX, "complex", hittar man verktyg för beräkningar med komplexa tal.
De första tre funktionerna används för att beräkna ett komplext tals komplexkonjugat, realdel respektive imaginärdel. Talet i hittar man på räknarens punktknapp (2nd + .).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Introduktion till komplexa tal
Uppgift 3.1
Ange en lösning till ekvationen. Svara på rektangulär form med exakta värden.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"a=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-10i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"b=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{\\dfrac{13}{3}}i"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ut a i ekvationen och förlänger därefter med i så att vi kan använda identiteten i^2=- 1.
En lösning till ekvationen är a = -10i. Talet står på rektangulär form med en realdel som är 0.
Vi löser ekvationen med balansmetoden och identiteten i^2=- 1.
Vi får två lösningar, sqrt(133)i och -sqrt(133)i. Svaret kräver endast en lösning och vi väljer den positiva. Talet står på rektangulär form med en realdel som är 0 och vi beräknar inte roten eftersom vi ska svara exakt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vi har ekvationen
x^2 -ax +2=0.
Hitta alla reella värden på a så att ekvationen har två icke-reella rötter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\sqrt{8}<a<\\sqrt{8}"]}}
security
report
code
security
report
code
Ekvationen står på så kallad pq-form och kan då lösas med pq-formeln.
Rötterna till ekvationen får vi alltså av x=a/2±sqrt(a^2/4-2), vilket ger olika värden beroende på vad a är. Om ekvationen ska ha två icke-reella rötter måste uttrycket under rottecknet vara negativt eftersom roten ur ett negativt tal är ett imaginärt tal. Vi undersöker för vilka a det gäller.
Om ekvationen a^2 < 8 uppfylls har ekvationen två icke-reella rötter. Olikheten kan tolkas grafiskt som de a-värden där kurvan y=a^2 ligger under linjen y=8.
I bilden ser vi att funktionernas skärningspunkter kommer vara gränsen för att olikheten ska stämma. Skärningspunkterna hittar vi genom att lösa a^2 = 8.
Vi får skärningspunkterna a =- sqrt(8) och a = sqrt(8). Det betyder att a måste vara större än - sqrt(8) och mindre än sqrt(8).
a^2<8 ⇔ -sqrt(8)
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Introduktion till komplexa tal
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll