1. Introduktion till komplexa tal
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
1.
Introduktion till komplexa tal
Denna lektion introducerar konceptet med komplexa tal, som inkluderar både reella och imaginära tal. Komplexa tal, som kan skrivas i formen a + bi, har både en realdel (a) och en imaginärdel (b). Imaginära tal introducerades under 1600-talet för att lösa ekvationer som inte hade lösningar inom de reella talen. Dessa tal har en rad användningar inom olika matematiska och vetenskapliga discipliner, inklusive fysik och ingenjörsvetenskap. Lektionenen förklarar också hur man kan använda en räknare för att utföra beräkningar med komplexa tal.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 10 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Introduktion till komplexa tal
Sida av 10
Finns det något tal som multiplicerat med sig självt ger - 1? Bland de reella talen, dvs. de som ligger på tallinjen, är svaret nej. Men på 1600-talet utvidgade man matematiken med andra sorters tal, vars kvadrater är negativa. Då infördes den imaginära enheten i: i^2 = - 1. Med hjälp av den definitionen kan man bestämma kvadratroten av vilket negativt tal som helst, och resultatet kallas ett imaginärt tal. Man kan se det som att minustecknet under roten blir ett i, och sedan tar man roten ur som vanligt.
sqrt(- a)=sqrt(a) * i
Villkor: a > 0
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Imaginära enheten
Talet i definieras som ett tal vars kvadrat är -1.
i^2=- 1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Imaginära tal
Ett imaginärt tal är ett tal på formen bi, där b är ett reellt tal skilt från noll, och i är den imaginära enheten. Kvadraten av ett imaginärt tal ger ett negativt reellt tal. En följd av detta är att roten ur ett negativt tal är imaginärt, t.ex. är
sqrt(-25)=sqrt(25i^2)=sqrt((5i)^2)=5i
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös en andragradsekvation med imaginära rötter
Lös ekvationen x^2+16=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4i","-4i"]}}
Ledtråd
Följ processen för att lösa en enkel andragradsekvation. Kom ihåg att roten ur ett negativt tal ger imaginära lösningar.
Lösning
Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut x^2 och drar roten ur båda led.
Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.
Ekvationens lösningar är alltså x=- 4i och x=4i.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Omskrivning av kvadratrötter ur negativa tal
Skriv om varje givet rotuttryck med hjälp av den imaginära enheten i. Skriv svaret på formen asqrt(b)* i, där a är ett heltal skilt från noll och b är ett naturligt tal sådant att sqrt(b) inte kan förenklas vidare.
Extra
Så här skriver du in svaret- Om a=1, ska den vänstra rutan lämnas tom.
- Om a=-1, ska den vänstra rutan endast innehålla minustecknet (-).
- Om b=1, ska rottecknet inte användas.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Komplexa tal
Ett komplext tal består av en realdel och imaginärdel. Namnet kommer inte från att talet är komplicerat utan från att det är ett komplex, alltså en sammansättning av flera delar. Adderar man t.ex. det reella talet 5 till det imaginära talet 8i får man det komplexa talet 5 + 8i. Generellt kan ett komplext tal skrivas på formen z = a + bi, där både a och b är reella tal. Detta kallas rektangulär form, eller ibland kartesisk form. Komponenterna a och b kallas för talets real- respektive imaginärdel. Realdelen av 5 + 8i är alltså 5 medan imaginärdelen är 8.
Om z = a + bi
är Re(z) = a och Im(z) = b.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm real- och imaginärdel av de komplexa talen
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med det första talet, z_1 = 3 + 2i. Talets realdel är den term som inte innehåller ett i, vilket är 3. Imaginärdelen är den andra termen fast utan i:et, dvs. 2. Vi får alltså Re(z_1) = 3 och Im(z_1) = 2. För det andra komplexa talet, z_2 = -10 + i, står det inget framför i. Det finns dock en underförstådd etta, eftersom det finns ett i. Man kan alltså skriva talet som z_2 = -10 + 1i, vilket ger Re(z_2) = -10 och Im(z_2) = 1. I det sista talet, z_3 = 7 - 6i, står det ett minustecken mellan 7 och 6i. Om vi skriver om talet på rektangulär form, a + bi, ser vi att minustecknet är en del av imaginärdelen: z_3 = 7 + (-6)i. Då är Re(z_3) = 7 och Im(z_3) = -6.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Komplexkonjugat
Om man byter tecken på imaginärdelen av ett komplext tal får man dess komplexkonjugat. Det brukar anges med ett rakt streck över talet som konjugeras.
a+bi = a-bi
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Komplexa tal på räknare
Du kan aktivera och använda funktioner för komplexa tal genom att följa dessa steg.
Digitala verktyg
Använda komplexa tal på en räknareOm räknaren är inställd på att räkna med reella tal får man ett felmeddelande om man försöker beräkna sqrt(- 1). Det går dock att ändra inställningarna så att räknaren kan svara med komplexa tal. Det gör man genom att trycka på knappen MODE och välja alternativet
a+bi.
Bilden kunde ej laddas
Med det valet kan sqrt(- 1) beräknas utan problem.
Bilden kunde ej laddas
Digitala verktyg
Använda funktioner för komplexa talGenom att trycka på knappen MATH och gå till fliken
CPX, hittar man verktyg för beräkningar med komplexa tal.
Bilden kunde ej laddas
De första tre funktionerna används för att beräkna ett komplext tals komplexkonjugat, realdel respektive imaginärdel. Talet i hittar man på räknarens punktknapp (2ND + .).
Bilden kunde ej laddas
Dela
Rapportera fel
Översätt
Introduktion till komplexa tal
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["i"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"a"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-10i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["i"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"b"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{\\dfrac{13}{3}}i","-\\sqrt{\\dfrac{13}{3}}i"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ut a i ekvationen och förlänger därefter med i så att vi kan använda identiteten i^2=- 1.
En lösning till ekvationen är a = -10i. Talet står på rektangulär form med en realdel som är 0.
Vi löser ekvationen med balansmetoden och identiteten i^2=- 1.
Vi får två lösningar, sqrt(13/3)i och -sqrt(13/3)i. Talet står på rektangulär form med en realdel som är 0 och vi beräknar inte roten eftersom vi ska svara exakt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vi har ekvationen x^2 -ax +2=0. Hitta alla reella värden på a så att ekvationen har två icke-reella rötter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\sqrt{8}<a<\\sqrt{8}","\\sqrt{8}>a>-\\sqrt{8}"]}}
security
report
code
security
report
code
Ekvationen står på så kallad pq-form och kan då lösas med pq-formeln.
Rötterna till ekvationen får vi alltså av x=a/2±sqrt(a^2/4-2), vilket ger olika värden beroende på vad a är. Om ekvationen ska ha två icke-reella rötter måste uttrycket under rottecknet vara negativt eftersom roten ur ett negativt tal är ett imaginärt tal. Vi undersöker för vilka a det gäller.
Om ekvationen a^2 < 8 uppfylls har ekvationen två icke-reella rötter. Olikheten kan tolkas grafiskt som de a-värden där kurvan y=a^2 ligger under linjen y=8.
I bilden ser vi att funktionernas skärningspunkter kommer vara gränsen för att olikheten ska stämma. Skärningspunkterna hittar vi genom att lösa a^2 = 8.
Vi får skärningspunkterna a =- sqrt(8) och a = sqrt(8). Det betyder att a måste vara större än - sqrt(8) och mindre än sqrt(8). a^2 < 8 ⇔ -sqrt(8) < a < sqrt(8) Ekvationen kommer alltså att ha två icke-reella rötter om a ligger i intervallet -sqrt(8) < a < sqrt(8).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4+5i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\sqrt{2}+10i"]}}
security
report
code
security
report
code
Kom ihåg att sqrt(-1)=i. Med detta kan vi skriva uttrycket som ett komplext tal på rektangulär form. Nu börjar vi!
Vi går vidare på samma sätt som vi gjorde i del A för att skriva uttrycket som ett komplext tal på rektangulär form.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Avgör om det givna påståendet är sant eller falskt. Motivera ditt svar.
|
Inget komplext tal är lika med sitt komplexkonjugat. |
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi ska avgöra om det givna påståendet är sant eller falskt.
Inget komplext tal är lika med sitt komplexkonjugat.
Kom ihåg att komplexkonjugat är par av komplexa tal på följande form. a+bianda-bi Här kan a och b vara vilka reella tal som helst och i är den imaginära enheten. Det givna påståendet säger att det inte finns några tal a och b för vilka följande ekvation är sann. a+bi=a-bi Låt oss se vad som händer om vi använder vilket reellt tal som helst för a — till exempel 4,2 — och b=0.
Detta betyder att det komplexa talet 4,2, som också är ett reellt tal, är lika med sitt konjugat. Därför är det givna påståendet falskt.
Inget komplext tal är lika med sitt komplexkonjugat. *
Generellt gäller att alla reella tal är lika med sina konjugat. Eftersom reella tal är en delmängd av de komplexa talen kan det givna påståendet inte vara sant.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Introduktion till komplexa tal
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll