Logga in
| 6 sidor teori |
| 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
−a=a⋅i
Villkor: a>0
Lös ekvationen x2+16=0.
Om z=a+bi
är Re(z)=a och Im(z)=b.
Om man byter tecken på imaginärdelen av ett komplext tal får man dess komplexkonjugat. Det brukar anges med ett rakt streck över talet som konjugeras.
a+bi=a−bi
Om räknaren är inställd på att räkna med reella tal får man ett felmeddelande om man försöker beräkna −1. Det går dock att ändra inställningarna så att räknaren kan svara med komplexa tal. Det gör man genom att trycka på knappen MODE och välja alternativet "a+bi".
Med det valet kan −1 beräknas utan problem.
Genom att trycka på knappen MATH och gå till fliken CPX, "complex", hittar man verktyg för beräkningar med komplexa tal.
De första tre funktionerna används för att beräkna ett komplext tals komplexkonjugat, realdel respektive imaginärdel. Talet i hittar man på räknarens punktknapp (2nd + .).
Komplexa tal kan skrivas på formen a+bi, där a och b är reella tal. Avgör om följande tal är komplexa tal eller inte.
Talet 1 - 2i har ett minustecken mellan real- och imaginärdelen, medan uttrycket a+bi har ett plustecken. För att matcha detta kan vi skriva om vårt tal som en addition med ett negativt tal. 1 - 2i = 1 + (-2)i Nu matchar talet uttrycket a+bi, med realdelen a=1 och imaginärdelen b=-2. Talet är alltså ett komplext tal.
Talet 8 är ett reellt tal eftersom imaginärdelen saknas. Det betyder dock inte att talet inte är komplext! Talet kan betraktas som ett komplext tal med imaginärdelen 0:
8 + 0* i = 8.
Talet 8 går alltså att skriva på formen a+bi, och därför är det ett komplext tal. På samma sätt är alla reella tal även komplexa tal.
För att bestämma talet går vi igenom den givna informationen steg för steg. Till att börja med vet vi att realdelen är 3 gånger så stor som imaginärdelen. Om vi kallar talet som söks för z kan vi uttrycka sambandet mellan real- och imaginärdel som Re(z)=3*Im(z). Vi vet också att kvadraten av imaginärdelen är 2.25. Det betyder att vi kan ställa upp en ekvation och lösa ut imaginärdelen.
Imaginärdelen är alltså 1.5 eller -1.5. Det sista vi fått reda på är att komplexkonjugatet till talet skrivs på formen a+bi. Eftersom konjugatet är talet med omvänt tecken på imaginärdelen kommer vårt tal stå på formen a-bi. Det ger att imaginärdelen måste vara -1.5. Till sist bestämmer vi realdelen med sambandet vi ställde upp i början.
Nu känner vi till både real- och imaginärdelen och kan skriva det sökta komplexa talet: -4.5-1.5i.
För vilka komplexa tal z gäller likheten?
För att undersöka detta skriver vi först om talen på rektangulär form. Om z=a+bi så blir z=a-bi, och genom att sätta in de uttrycken kan ekvationen lösas.
Vi kommer då fram till att imaginärdelen b måste vara 0 för att likheten ska gälla. Värdet på realdelen a spelar däremot ingen roll. Alltså måste z vara ett reellt tal, men vilket reellt tal det är spelar ingen roll.
Vi använder samma uttryck för z och z som i föregående deluppgift. Tänk på att sätta parenteser i högerledet, så att minustecknet täcker alla delar av z.
Vi kommer då istället fram till att realdelen a måste vara 0 för att likheten ska gälla. Värdet på imaginärdelen b påverkar inte likheten. Likheten gäller alltså för alla imaginära z.
Vi har ett polynom av grad fyra vilket betyder att det maximalt kan finnas fyra lösningar. För att hitta lösningarna kan vi använda oss av variabelsubstitution. Det gör vi för att få en andragradsekvation som vi vet hur man hittar lösningarna till. Vi väljer substitutionen u=x^2 och använder den i vår ekvation.
Ekvationen är nu av andra graden. Vi fortsätter genom att lösa ut u.
Lösningarna till andragradsekvationen är alltså u= ± 4. Eftersom vi gjorde substitutionen u=x^2 måste vi nu sätta tillbaka x^2 för att få alla lösningar till fjärdegradsekvationen.
De fyra lösningarna till ekvationen är alltså x=-2, x=2, x=-2i och x=2i.
Vi har ett polynom av grad fyra vilket betyder att det maximalt kan finnas fyra lösningar. För att hitta lösningarna vill vi skriva om ekvationen till en andragradsekvation vilket vi gör med kvadratroten.
Nu har vi ekvationerna x^2 = ± 4 som löses på samma sätt.
De fyra lösningarna till ekvationen är alltså x=-2, x=2, x=-2i och x=2i.
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
Utmaningen här är att förenkla uttrycket så vi får svaret utan upprepad multiplikation. För att göra det skriver vi först om uttrycket med hjälp av potenslagen a^(b * c) = (a^b)^c för att få i^2 som potensens bas.
Vi kan nu använda identiteten i^2 = - 1 för att förenkla uttrycket vidare.
Vi har nu kommit fram till att i^(100) = 1.
Eftersom exponenten nu är udda kan den inte faktoriseras lika lätt som i föregående deluppgift. Vi kommer runt problemet genom att först dela upp 527 i termerna 526 och 1, och sedan använda potenslagen a^(b+c) = a^b * a^c.
På samma sätt som i föregående deluppgift använder vi nu identiteten i^2 = - 1.
Uttrycket i^(527) kan alltså förenklas till - i.