Introduktion till komplexa tal

För att bestämma talet går vi igenom den givna informationen steg för steg. Till att börja med vet vi att realdelen är 3 gånger så stor som imaginärdelen. Om vi kallar talet som söks för z kan vi uttrycka sambandet mellan real- och imaginärdel som Re(z)=3*Im(z). Vi vet också att kvadraten av imaginärdelen är 2.25. Det betyder att vi kan ställa upp en ekvation och lösa ut imaginärdelen.

Imaginärdelen är alltså 1.5 eller -1.5. Det sista vi fått reda på är att komplexkonjugatet till talet skrivs på formen a+bi. Eftersom konjugatet är talet med omvänt tecken på imaginärdelen kommer vårt tal stå på formen a-bi. Det ger att imaginärdelen måste vara -1.5. Till sist bestämmer vi realdelen med sambandet vi ställde upp i början.

Nu känner vi till både real- och imaginärdelen och kan skriva det sökta komplexa talet: -4.5-1.5i.

För att undersöka detta skriver vi först om talen på rektangulär form. Om z=a+bi så blir z=a-bi, och genom att sätta in de uttrycken kan ekvationen lösas.

Vi kommer då fram till att imaginärdelen b måste vara 0 för att likheten ska gälla. Värdet på realdelen a spelar däremot ingen roll. Alltså måste z vara ett reellt tal, men vilket reellt tal det är spelar ingen roll.

Vi använder samma uttryck för z och z som i föregående deluppgift. Tänk på att sätta parenteser i högerledet, så att minustecknet täcker alla delar av z.

Vi kommer då istället fram till att realdelen a måste vara 0 för att likheten ska gälla. Värdet på imaginärdelen b påverkar inte likheten. Likheten gäller alltså för alla imaginära z.

Vi har ett polynom av grad fyra vilket betyder att det maximalt kan finnas fyra lösningar. För att hitta lösningarna kan vi använda oss av variabelsubstitution. Det gör vi för att få en andragradsekvation som vi vet hur man hittar lösningarna till. Vi väljer substitutionen u=x^2 och använder den i vår ekvation.

Ekvationen är nu av andra graden. Vi fortsätter genom att lösa ut u.

Lösningarna till andragradsekvationen är alltså u= ± 4. Eftersom vi gjorde substitutionen u=x^2 måste vi nu sätta tillbaka x^2 för att få alla lösningar till fjärdegradsekvationen.

De fyra lösningarna till ekvationen är alltså x=-2, x=2, x=-2i och x=2i.

Vi har ett polynom av grad fyra vilket betyder att det maximalt kan finnas fyra lösningar. För att hitta lösningarna vill vi skriva om ekvationen till en andragradsekvation vilket vi gör med kvadratroten.

Nu har vi ekvationerna x^2 = ± 4 som löses på samma sätt.

De fyra lösningarna till ekvationen är alltså x=-2, x=2, x=-2i och x=2i.

Utmaningen här är att förenkla uttrycket så vi får svaret utan upprepad multiplikation. För att göra det skriver vi först om uttrycket med hjälp av potenslagen a^(b * c) = (a^b)^c för att få i^2 som potensens bas.

Vi kan nu använda identiteten i^2 = - 1 för att förenkla uttrycket vidare.

Vi har nu kommit fram till att i^(100) = 1.

Eftersom exponenten nu är udda kan den inte faktoriseras lika lätt som i föregående deluppgift. Vi kommer runt problemet genom att först dela upp 527 i termerna 526 och 1, och sedan använda potenslagen a^(b+c) = a^b * a^c.

På samma sätt som i föregående deluppgift använder vi nu identiteten i^2 = - 1.

Uttrycket i^(527) kan alltså förenklas till - i.