Integreringsregler

Om integranden har en koefficient kan man placera den utanför integralen. Vi gör det för att få en av de integraler vi känner till värdet av. ∫_a^b3f(x) d x = 3 * ∫_a^bf(x) d x Vi vet att integralen i högerledet har värdet 4, och kan nu beräkna produkten. 3 * ∫_a^bf(x) d x = 3 * 4 = 12 Den sökta integralen har alltså värdet 12.

Här kan vi använda regeln för att subtrahera integraler baklänges, för att dela upp integralen i två. Vi får då att ∫_a^b(g(x) - f(x)) d x = ∫_a^bg(x) d x - ∫_a^bf(x) d x . Vi sätter nu in de värden vi känner till och får att ∫_a^bg(x) d x - ∫_a^bf(x) d x = 6 - 4 = 2. Vårt svar blir alltså 2.

Här behöver vi använde båda räknereglerna från föregående deluppgifter. Men innan vi gör det kan vi multiplicera in 2 i parentesen.

Vi får att integralens värde är 52.

Vi följer tipset och delar upp integralen enligt regeln för subtraktion av integraler. ∫_1^6(h(x)-f(x) ) d x = ∫_1^6h(x) d x - ∫_1^6f(x) d x Vi har nu två integraler minus varandra. Den första integralen tolkar vi som området under kurvan till funktionen h(x) mellan de lodräta linjerna x=1 och x=6.

Den andra integralen beskriver området under kurvan till f(x) mellan x=1 och x=6.

Nu har vi markerat områdena för de två integralerna. Eftersom det är ett minustecken mellan dem i uttrycket betyder det i det här fallet att vi ska dra bort det blå området från det röda området.

Det vi får kvar är alltså ett område mellan h(x) och f(x). Mer exakt beskriver vi det som området mellan h(x) och f(x) med gränserna x = 1 och x = 6.

Vi delar även upp den här integralen. ∫_4^9(g(x)-f(x) ) d x = ∫_4^9g(x) d x - ∫_4^9f(x) d x Den första integralen motsvarar området under kurvan till g(x) mellan x=4 och x=9.

Den andra integralen tolkar vi som området under f(x) mellan x=4 och x=9.

Vi drar nu bort det blå området från det gröna eftersom integralerna subtraheras. Det område som blir kvar är alltså det som ligger mellan g(x) och f(x).

Vi beskriver det som området mellan kurvorna till g(x) och f(x) från x=4 till x=9.

När vi har två integraler som har samma integrand och den enas övre integrationsgräns är samma som den andras nedre kan vi slå ihop integralerna. ∫_0^2f(x) d x + ∫_2^5f(x) d x = ∫_0^5f(x) d x Vi får då en integral som vi lättare kan beskriva med ord. Området som integralen motsvarar ligger under kurvan till f(x) och mellan de lodräta linjerna x=0 och x=5.

Det finns olika regler som gäller när integraler ska läggas ihop. De beror på integrationsgränserna, integranden och vilket räknesätt som står mellan dem. Vi tittar på de två första integralerna som har samma integrand, olika integrationsgränser och addition som räknesätt. ∫_a^bf(x) d x + ∫_b^cf(x) d x Då kan vi enligt integreringreglerna slå ihop integralerna till en integral från gräns a till c eftersom första integralen slutar vid b och nästa börjar vid b. ∫_a^bf(x) d x + ∫_b^cf(x) d x = ∫_a^cf(x) d x Nu har vi förenklat de två första integralerna och får då ett uttryck med samma integrand, olika integrationsgränser och räknesättet subtraktion. ∫_a^cf(x) d x - ∫_c^df(x) d x . För att kunna använda integreringsregeln för subtraktion måste integralerna ha samma integrationsgränser. Eftersom integralerna inte har det kan vi inte förenkla uttrycket. Felet Luppe gjorde var alltså att han lade ihop integralerna trots att det inte var addition mellan alla.

Vi beräknar integralen som vanligt, dvs. skriver om integralen som en differens av primitiva funktioner, och ser om svaret blir 0. Vi har ju inget funktionsuttryck så vi får använda den mer generella notationen F(x) som primitiv funktion.

Vi har nu algebraiskt visat att integralens värde faktiskt är 0. Vi kan också tolka integralen grafiskt — eftersom undre och övre gräns är samma motsvarar integralen ett område med bredden 0. Arean, och därmed integralen, är därför 0.

Patrik har ställt upp en integral där den undre gränsen är större än den övre. Han har rätt i att området är samma, men genom att byta plats på integrationsgränserna byter man tecken på integralen. Det betyder att ∫_(2e)^1 1x d x =- ∫_1^(2e) 1x d x . Eftersom areor alltid är positiva spelar alltså ordningen på gränserna roll. Integranden 1x är positiv för alla x>0 så integralen ∫_1^(2e) 1x dx kommer att ge den sökta arean. Men eftersom Patriks integral har omvänd ordning på gränserna blir dess värde negativt och ger därmed inte områdets area. Shanti har alltså rätt.