MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
6. Formler
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 3
6. 

Formler

En formel i matematik anger ett samband mellan två eller flera variabler och skrivs oftast som en ekvation. Det kan handla om att beskriva arean av geometriska figurer eller resistansen i en elektrisk krets. Formler kan innehålla en eller flera variabler, som ofta representeras av olika symboler, till exempel x och y. Att lösa ut innebär att få en variabel ensam på ena sidan av likhetstecknet. Detta används för att avgöra hur en variabel förhåller sig till de andra, eller för att enklare kunna beräkna värden.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
9 sidor teori
31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Formler
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Formel
  • Lösa ut ur formler

Förkunskaper
Teori

Formel

En formel anger ett samband mellan två eller flera variabler och uttrycks vanligtvis som en ekvation. Formler kan innehålla en eller flera konstanter som eller vilka ofta representeras av olika symboler som grekiska bokstäver.

Visar olika formler, såsom arean av en triangel, pq-formeln, arean av en cirkel, kontinuerlig ränta på ränta och volymen av en sfär.
Teori

Lösa ut ur formle

Lösa ut innebär att få ensam. När man löser ut en variabel ur en formel är det egentligen samma sak som att lösa en ekvation med balansmetoden. Man vill få en av formelns variabler ensam på ena sidan likhetstecknet.
Applet som visar stegen för att lösa basen med formeln för en triangels area.
Detta används bland annat för att kunna avgöra hur en av variablerna förhåller sig till de andra, eller för att enklare kunna beräkna värden. Vilken variabel man löser ut beror på vad man är intresserad av. I formeln för triangelns area, kan man välja att antingen lösa ut basen eller höjden
Teori

Formler för area och omkrets

Vi repeterar formler för omkrets och area av några geometriska figurer.

Teori

Formler för volym

Vi repeterar formler för volym av några geometriska figurer.

Illustration

Omvandling mellan olika enheter

För att förstå sambandet mellan olika enheter måste omvandlingar mellan längdenheter, areaenheter och volymenheter utföras.

Exempel

Lös ut ur formel och beräkna värden

Asefa ska köra bil ut till sitt lantställe som ligger km från där hon bor. Vilken medelhastighet måste hon hålla om hon vill vara framme på en halvtimme, en timme, en och en halv timme respektive två timmar?

Ledtråd

Börja med att skriva om formeln för hastigheten. Ersätt sedan de givna värdena för tid och beräkna de motsvarande värdena för hastigheten.

Lösning
Här kan vi använda formeln Eftersom vi ska göra flera liknande uträkningar är det en fördel att lösa ut medelhastigheten först.
DivEqn

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

Nu kan vi beräkna hastigheterna för de olika tiderna. Sträckan är km.
(h) (km/h)
Exempel

Lösa ut en variabel ur en formel

I elektrisk krets med två parallellkopplade resistorer med motstånden och kan man beräkna den totala resistansen, med
Lös ut

Ledtråd

Skriv om bråken så att de har en gemensam nämnare. Lös sedan för

Lösning
Vi börjar med att skriva om högerledet som ett enda bråk. Bråken behöver alltså ställas på samma nämnare så vi förlänger dem med varandras nämnare.
ExpandFrac

Förläng med

ExpandFrac

Förläng med

AddFrac

Addera bråk

MultEqn

MultEqn

DivEqn

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

Den totala resistansen ges alltså av
Övning

Öva på att lösa ekvationer för en viss variabel

Använd likhetsegenskaperna för att lösa den givna ekvationen för den angivna variabeln. Vissa ekvationer kan kräva att båda sidor av ekvationen delas med en variabel. Eftersom division med noll inte är definierad, anta för dessa ekvationer att variabeln inte är lika med

Olika formler genereras slumpmässigt
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Formler
Övningar

Lös ut ur följande formler.

Vi kan använda balansmetoden för att lösa ut b. Vi kan behandla a som vilket tal som helst t.ex. 3. Då hade vi subtraherat 3 från båda sidor och fått b=4-3=1. Skillnaden är att nu kan vi inte räkna ut vad högerledet blir, utan vi får istället a+b=4 ⇔ b=4-a.


På samma sätt som i förra deluppgiften har vi b och en annan variabel (i det här fallet d). Den blir vi av med genom att addera d på båda sidor. Det ger oss b-d=t ⇔ b=t+d.


I vänsterledet står det 5b. För att bli av med femman måste vi dividera med den. Men för att likheten fortfarande ska gälla måste vi göra samma sak på andra sidan: 5b=q ⇔ b=q/5.


Nu har vi ett y i nämnaren under b. För att bli av med det multiplicerar vi med y på båda sidor: b/y=s ⇔ b=sy.

Lös ut i ekvationen.
Bestäm värdet på om och

Vi börjar med att subtrahera t från båda sidor och dividerar sedan med p.

Vi får alltså q=- tp.


Nu kan vi sätta in värdena på t och q och beräkna.

Värdet på q blir 2.

Lös ut ur formeln.

Vi ska lösa ut s, dvs. få s ensamt i ena ledet. Därför vill vi få bort t. Det gör vi genom att multiplicera båda led med t.

Formeln är den bekanta s=vt.


Vi vill lösa ut s, men kan inte bara dividera bort u. Då blir s kvar i nämnaren, så det löser ju ingenting. Istället multiplicerar vi med s så att vi får bort det ur nämnaren, och därefter flyttar vi r till högerledet genom att dividera.

Uttrycket för s blir alltså lika med u/r.

Formeln beskriver volymen för en cylinder med radien och höjden .

Vad får vi för uttryck om vi löser ut ur formeln?
Beräkna höjden på en cylindrisk Coca-Cola-burk med radien cm och volymen Avrunda till hela cm.

Här är det alltså h som ska lösas ut. Både π och r^2 är multiplicerade med h, så vi dividerar med π r^2 i ett och samma steg.

Formeln för h blir alltså h= Vπ r^2.


Vi använder formeln från förra deluppgiften och sätter in värdena.

Coca-Cola-burken är ca 11 cm hög.

Vilket av följande uttryck i högerledet får vi om vi löser ut ur formeln.
Vilket av följande uttryck får vi i högerledet om vi löser ut ur ekvationen.

Vi börjar med att subtrahera m från båda led och dividerar sedan med x.

Vi får alltså k= y-mx, d.v.s. alternativ B är korrekt.


Först adderar vi 5y på båda sidor. Sedan kan vi dividera med 5.

När vi löser ut y får vi y=4x+2. Därför är alternativ C rätt.

Den ideala gaslagen lyder
där är trycket, är volymen för en ideal gas, är substansmängd, är den allmänna gaskonstanten och är temperaturen. Vad får vi för uttryck om vi löser ut ur formeln?
Vad får vi för uttryck om vi löser ut ur formeln?

Att lösa ut R innebär att det ska stå ensamt i ena ledet. Vi kan skriva lagen på den formen genom att dividera båda led med nT.

R är alltså lika med pVnT.


Vi gör på liknande sätt här, men dividerar med p istället.

V är alltså lika med nRTp.

Lös ut ur formeln.
Lös ut ur formeln.
Lös ut ur formeln.
Lös ut ur formeln.

Vi vill få h ensamt på ena sidan av ekvationen. Det innebär att m och -5 måste flyttas bort. Vi flyttar dessa genom att lägga på samma term men med motsatt tecken, dvs. vi adderar 5 till båda led och subtraherar m.

Sambandet kunde alltså skrivas om till h= 5-m.


Här kan man förenkla lite på en gång, eftersom alla termer i båda led kan delas med 2. Vi gör detta direkt för att få en enklare ekvation att jobba med.

Nu kan man välja att flytta bort s och -20, men man sparar några steg på att bara flytta t. Målet är att t ska stå självt, och eftersom högerledet är tomt verkar det rimligt att flytta t dit. Då måste vi addera t eftersom det står - t i VL.

Det finns alltid hur många sätt som helst att flytta runt saker i en ekvation. Ibland kan man hitta små genvägar som här, men man måste inte ta dem om man inte vill.


Här kan alla termer i båda led delas med 4, så vi gör det. Då blir allt lite enklare på en gång. Sedan väljer vi att flytta T till vänsterledet, och det som redan stod där flyttar vi till högra sidan. Då blir T ensamt i vänsterledet.

Ekvationen ger oss alltså att T = 3t+2.


Här måste 7 och 21 försvinna. Det spelar egentligen ingen roll vilken man tar först, men ofta är det enklare att lösa additioner och subtraktioner först. Vi adderar 21 för att flytta den, och sedan dividerar vi bort 7 eftersom den multipliceras med b.

Om man vill kan man dela upp bråket i två.

Både b = a+217 och b = a7+3 är lämpliga svar.

Lös ut ur
Lös ut ur
Lös ut ur

För att få a ensamt måste vi göra oss av med b och -9. Enligt balansmetoden använder vi då de motsatta räknesätten.

Löser vi ut a får vi alltså a=9-b.


Vi behandlar formeln som en ekvation och använder oss av balansmetoden. Vi adderar 40 och subtraherar 2y så att vi får x ensamt i vänsterledet.

Vi får alltså x=42-2y.


Återigen behandlar vi formeln som en ekvation. Vi får t ensamt genom att först subtrahera bort r och därefter dividera med s.

Så t= q-rs.

Lös ut ur formeln.

Faktorerna n och g måste flyttas. Eftersom de är multiplicerade kan de ses som ett enda paket som divideras undan på en gång.

Svaret är alltså att a=w/ng.


Vi löser ut a i två steg. Ofta är det enklast att börja med det som står längst bort, så vi flyttar över u genom att subtrahera. Därefter flyttar vi t genom att dividera båda led.

Svaret är alltså att a=v-u/t.

Vilket är sambandet mellan och Svara med en formel för

En tabell som visar ett samband mellan variablerna a och b.
Nationella provet VT05 MaA

Eftersom 10 -2 = 8 medan 15-3 = 12 ser vi att skillnaden mellan paren ökar. Det räcker därför inte med en vanlig addition för att omvandla b till a. Istället undersöker vi kvoten mellan paren genom att dela a med b.

a 10 15 25 50
b 2 3 5 10
a/b 10/2 15/3 25/5 50/10
= 5 5 5 5

Detta visar att varje a-värde är 5 gånger större än b-värdet. Därför ska b multipliceras med 5 för att ge a, vilket ger sambandet a=5b. Sambandet kan också skrivas "åt andra hållet" genom att dela båda led med 5. b=a/5.

Skriv som en likhet:
Nationella provet VT05 MaA

Om x är 200 mer än y så innebär det att man måste addera 200 till y för att få x. Vi får likheten x=y+200. Vi hade även kunnat svara genom att subtrahera 200 från båda sidor vilket ger likheten y=x-200.

Erik jobbar timmar under en vecka och tjänar kr. Anna har samma timlön och tjänar kr.

Hur många timmar har Anna arbetat?

Nationella provet VT96 MaA

Skriv en formel som visar hur Annas lön beror av hur många timmar hon arbetat. Låt vara lönen i kronor när hon arbetat timmar.

Nationella provet VT96 MaA

För att kunna ta reda på hur mycket Anna arbetat så behöver vi först beräkna timlönen de båda har. Timlön hittar vi genom att dividera mängden tjänade pengar med antalet timmar arbetade. För Erik blir det 3010/35 = 86 kr per timme. Anna har därför också timlönen 86 kr. Vi kan nu ta reda på hur länge hon arbetade genom att dividera lönen med hennes timlön. Då får vi 1892/86 = 22. Hon har alltså arbetat 22 timmar.


För att beräknda en lön y så multiplicerar vi antalet arbetade timmar x med timlönen. Eftersom hennes timlön är 86 kr så kan vi nu skriva en formel för det här. Formeln blir y = 86x.

Formler

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.