Exponentiell förändringshastighet

Antalet myror växer med samma procentsats varje dag, vilket betyder att myrstackens population kan beskrivas med en exponentialfunktion: P(t)=C* a^t. C anger populationens startvärde och a är funktionens förändringsfaktor. Myrstacken växer med 0.20 % varje dag, vilket ger förändringsfaktorn 1.002. Vi vet även att startvärdet är 110 000 myror så vår funktion blir P(t)=110 000* 1.002^t.

Vi beräknar P(100) genom att sätta in t=100 i funktionen och beräkna.

Efter 100 dagar finns det ca 130 000 myror i myrstacken.

Uttrycket P'(100) betyder derivatans värde i t=100. Vi börjar alltså med att derivera funktionen.

Nu sätter vi in t=100 i derivatan.

Efter 100 dagar växer myrstacken med ca 270 myror per dag.

Funktionen f(t) anger antalet bakterier efter en viss tid t, så allt vi behöver göra är att sätta in t = 10 i f(t) och beräkna antalet.

Efter 10 timmar är antalet bakterier ca 30 miljoner.

Vi vill veta när antalet bakterier ökar med 2 miljoner per timme, men för att kunna bestämma det behöver vi en funktion som beskriver förändringshastigheten för antalet bakterier. Den får vi genom att derivera f(t).

Vi kan nu sätta derivatan lika med 2 000 000 och lösa ut t för att bestämma tidpunkten då bakterierna ökar med 2 miljoner per timme.

Efter ca 7.5 timmar växer antalet bakterier med 2 miljoner bakterier per timme.

Vi börjar med att derivera f(x).

Nu sätter vi in x=40 och beräknar.

f'(40) är alltså ungefär 73.

En ökning med 62 personer/år är en förändringshastighet. Det betyder att vi ska ta reda på när f'(x) är lika med 62, så vi löser ekvationen f'(x)=62.

x är antalet år efter år 3000 så befolkningstillväxten är 62 personer/år år 3024.

En exponentialfunktion skrivs generellt y=C* a^x, där C är y-värdet där grafen skär y-axeln och a är en förändringsfaktor. Om förändringsfaktorn är mellan 0 och 1 kommer funktionen att avta när man går mot större x. Detta innebär att y=85* 0.7^x är avtagande.

Nu har potensen i exponentialfunktionen en bas som är talet e och x har en koefficient. För att bestämma förändringsfaktorn måste vi skriva om potensen så att endast x står i exponenten, dvs. så att den står på formen a^x.

Genom att slå in e^(0.1) på räknaren kan vi bestämma förändringsfaktorn.

Förändringsfaktorn är alltså större än 1 vilket betyder att funktionen är växande.

Vi skriver om potensen som a^x: y = 4.8* e^(- 0.02x) ⇔ y = 4.8* (e^(- 0.02))^x. Genom att slå in e^(- 0.02) på räknaren kan vi bestämma förändringsfaktorn.

Förändringsfaktorn är alltså mindre än 1 så funktionen är avtagande.

Om en exponentialfunktion är växande eller avtagande beror på vilket värde potensens bas har. Är basen mindre än 1 avtar funktionen och är den över 1 så växer den. Om vi med potenslagarna gör omskrivningen y=500 * e^(0.05t) ⇒ y=500 * (e^(0.05))^t ser vi att exponentialfunktionens bas är e^(0.05). Om vi slår in detta på räknaren får vi 1.05 vilket betyder att funktionen är växande.

Nej det betyder det inte. f'(5)=32.1 anger en momentan förändringshastighet och inte en genomsnittlig förändringshastighet. Om vi subtraherar f(4) från f(5) ser vi vad kostnadsökningen blev.

Kostnaderna ökade alltså med 31.3 kr per vecka. Detta är inte samma sak som att den momentana förändringshastigheten är 32.1 kr när t=5.