body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 3b Visa detaljer

7. Exponentiell förändringshastighet

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 3

Exponentiell förändringshastighet

Denna lektion fokuserar på att förklara konceptet av exponentiell förändringshastighet. Den beskriver hur exponentialfunktioner, som alltid är monotona, används för att beskriva procentuella förändringar. Den förklarar också hur en växande exponentialfunktion kan beskriva till exempel antalet kaniner efter ett antal veckor, medan en avtagande exponentialfunktion kan beskriva temperaturen på avsvalnande kamomillte. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik på en mer avancerad nivå och behöver förstå och tillämpa dessa koncept på verkliga situationer.

Visa mer

	4 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 4

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Ca^x eller y=Ce^(kx) används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x. Den positiva derivatan f'(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att efter 6 veckor ökar antalet kaniner med 120 st./vecka. Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f'(x) > 0 för alla x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x) på avsvalnande kamomillte efter x minuter.

Om t.ex. g'(2)=- 9 minskar temperaturen med 9 ^(∘) C/min då det har gått 2 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x), dvs.

g'(x) < 0 för alla x.

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen S(x)=4000 * 1.03^x, där S(x) är totala summan i kronor och x är tiden i år efter insättningen. Beräkna S'(10) och beskriv med ord vad du har beräknat.

Ledtråd

Bestäm derivatan av funktionen. Beräkna derivatan vid x=10.

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med ln(1,03).

S(x)=4000 * 1,03^x

Derive

Derivera funktion

S'(x)=D(4000 * 1,03^x)

DeriveExpInitial

D( C* a^x ) = C* a^x * ln(a)

S'(x)=4000* 1,03^x * ln(1,03)

Nu har vi deriverat funktionen, så x=10 kan sättas in i S'(x).

S'(x)=4000* 1,03^x * ln(1,03)

Substitute

x= 10

S'( 10)=4000* 1,03^(10) * ln(1,03)

UseCalc

Slå in på räknare

S'(10)=158,89823 ...

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

S'(10) ≈ 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, 159, då x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och x är antal år efter insättningen innebär S'(10) ≈ 159 att summan på kontot ökar med 159 kr/år efter 10 år.

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen e

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen N(t)=N_0* e^(-0,0067t), där N_0 är startmängden och t är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Ledtråd

Skriv om e^(- 0,0067t) som en potens av en potens. Beräkna den nya basen för funktionen.

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen N(t)=N_0* a^t, är a förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N(t)=N_0* e^(-0,0067t)

ProdInExponent

a^(b* c)=(a^b)^c

N(t)=N_0* (e^(-0,0067))^t

UseCalc

Slå in på räknare

N(t)≈ N_0* 0,993^t

Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka 0,993. Det motsvarar en minskning med 0,7 % per år.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Exponentiell förändringshastighet

Uppgift 2.1

En myrstack har vid en viss tidpunkt en population på 110 000 myror och växer med 0,20 % varje dag.

Ställ upp en funktion P(t) som visar antalet myror i myrstacken efter t dagar.

Beräkna P(100). Avrunda till två gällande siffror.

Beräkna P'(100). Avrunda till två gällande siffror.

Antalet myror växer med samma procentsats varje dag, vilket betyder att myrstackens population kan beskrivas med en exponentialfunktion: P(t)=C* a^t. C anger populationens startvärde och a är funktionens förändringsfaktor. Myrstacken växer med 0,20 % varje dag, vilket ger förändringsfaktorn 1,002. Vi vet även att startvärdet är 110 000 myror så vår funktion blir P(t)=110 000* 1,002^t.

Vi beräknar P(100) genom att sätta in t=100 i funktionen och beräkna.

Efter 100 dagar finns det ca 130 000 myror i myrstacken.

Uttrycket P'(100) betyder derivatans värde i t=100. Vi börjar alltså med att derivera funktionen.

Nu sätter vi in t=100 i derivatan.

Efter 100 dagar växer myrstacken med ca 270 myror per dag.

I en bakterieodling kan antalet bakterier beskrivas med formeln f(t)=500* e^(1,1t), där t är tiden i timmar.

Hur många miljoner bakterier finns i odlingen efter 10 timmar? Svara med en värdesiffra.

När växer antalet bakterier med 2 miljoner bakterier per timme? Avrunda svaret till en decimal.

Funktionen f(t) anger antalet bakterier efter en viss tid t, så allt vi behöver göra är att sätta in t = 10 i f(t) och beräkna antalet.

Efter 10 timmar är antalet bakterier ca 30 miljoner.

Vi vill veta när antalet bakterier ökar med 2 miljoner per timme, men för att kunna bestämma det behöver vi en funktion som beskriver förändringshastigheten för antalet bakterier. Den får vi genom att derivera f(t).

Vi kan nu sätta derivatan lika med 2 000 000 och lösa ut t för att bestämma tidpunkten då bakterierna ökar med 2 miljoner per timme.

Efter ca 7,5 timmar växer antalet bakterier med 2 miljoner bakterier per timme.

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är 20 ^(∘)C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första 5 minuterna. Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden: T(t)=95* e^(-0,039t), där T är kaffets temperatur i ^(∘) C och t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning.

Nationella provet HT12 3b/3c

Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut. Avrunda till en decimal.

Nationella provet HT12 3b/3c

För att bestämma kaffets temperatur när mätningen började sätter vi in t=0 i funktionen.

Vid mätningens början var temperaturen 95 ^(∘) C.

Modellen är en exponentialfunktion vilket betyder att den kan skrivas på formen y=C* a^t, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Det är denna förändringsfaktor vi vill bestämma. Då måste vi först skriva om potensen e^(- 0,039t) med en av potenslagarna.

Genom att knappa in e^(- 0,039) på räknaren bestämmer vi modellens förändringsfaktor.

Avrundat till 3 decimaler blir förändringsfaktorn 0,962. På procentform skrivs detta 96,2 % vilket betyder att kaffets temperatur avtar med 100-96,2=3,8 %per minut.

Temperaturen i rummet är 20 ^(∘) C vilket kan beskrivas med y=20. Vi ritar denna och grafen till Kristinas modell i ett koordinatsystem.

Enligt modellen närmar kaffets temperatur 0 ^(∘)C, dvs. den går under rummets temperatur. Detta kan inte stämma eftersom kaffet bör anpassa sig efter rumstemperaturen. Modellen tar inte hänsyn till detta vilket betyder att den ger ett för lågt värde när t blir stort.

I kommunen Bokvik kan invånartalet beskrivas av formeln f(x)=4900* e^(0,00995x), där x är antalet år efter år 3000.

Beräkna f'(40). Avrunda till närmaste heltal.

Vilket år ökar befolkningen med 62 personer/år?

Vi börjar med att derivera f(x).

Nu sätter vi in x=40 och beräknar.

f'(40) är alltså ungefär 73.

En ökning med 62 personer/år är en förändringshastighet. Det betyder att vi ska ta reda på när f'(x) är lika med 62, så vi löser ekvationen f'(x)=62.

x är antalet år efter år 3000 så befolkningstillväxten är 62 personer/år år 3024.

Är funktionen växande eller avtagande?

y = 85* 0,7^x

y = 500* e^(0,1x)

y = 4,8* e^(- 0,02x)

En exponentialfunktion skrivs generellt y=C* a^x, där C är y-värdet där grafen skär y-axeln och a är en förändringsfaktor. Om förändringsfaktorn är mellan 0 och 1 kommer funktionen att avta när man går mot större x. Detta innebär att y=85* 0,7^x är avtagande.

Nu har potensen i exponentialfunktionen en bas som är talet e och x har en koefficient. För att bestämma förändringsfaktorn måste vi skriva om potensen så att endast x står i exponenten, dvs. så att den står på formen a^x.

Genom att slå in e^(0,1) på räknaren kan vi bestämma förändringsfaktorn.

Förändringsfaktorn är alltså större än 1 vilket betyder att funktionen är växande.

Vi skriver om potensen som a^x: y = 4,8* e^(- 0,02x) ⇔ y = 4,8* (e^(- 0,02))^x. Genom att slå in e^(- 0,02) på räknaren kan vi bestämma förändringsfaktorn.

Förändringsfaktorn är alltså mindre än 1 så funktionen är avtagande.

Jerry spenderar varje vecka 500 kr på den anrika nattklubben Kafé Såpopera. Hans kompisar är oroliga över Jerrys prioriteringar. Tillsammans pratar de med Jerry och kommer fram till att han gradvis ska förändra sina utgifter enligt funktionen f(t)=500* e^(0,05t), där t är tiden i veckor.

Är funktionen växande eller avtagande?

Betyder f'(5)=32,1 att Jerry ökade sina kostnader med 32,1 kr mellan vecka 4 och 5?

Om en exponentialfunktion är växande eller avtagande beror på vilket värde potensens bas har. Är basen mindre än 1 avtar funktionen och är den över 1 så växer den. Om vi med potenslagarna gör omskrivningen y=500 * e^(0,05t) ⇒ y=500 * (e^(0,05))^t ser vi att exponentialfunktionens bas är e^(0,05). Om vi slår in detta på räknaren får vi 1,05 vilket betyder att funktionen är växande.

Nej det betyder det inte. f'(5)=32,1 anger en momentan förändringshastighet och inte en genomsnittlig förändringshastighet. Om vi subtraherar f(4) från f(5) ser vi vad kostnadsökningen blev.

Kostnaderna ökade alltså med 31,3 kr per vecka. Detta är inte samma sak som att den momentana förändringshastigheten är 32,1 kr när t=5.

Exponentiell förändringshastighet

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan