body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

{{ article.displayTitle }}

Sida {{ slide.slideNumber }} av {{ article.intro.bblockCount }}

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Förkunskaper

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen

y = C a^{x} eller y = C e^{k x}

används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion

f (x)

kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor

x .

Den positiva derivatan

f^{'} (6) = 120

kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att efter

6

veckor ökar antalet kaniner med

120

st./vecka. Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att

f^{'} (x) > 0 f \ddot{o} r alla x .

Den avtagande exponentialfunktionen

g (x)

nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen

g (x)

på avsvalnande kamomillte efter

x

minuter.

Om t.ex. $g^{'} (2) = - 9$ minskar temperaturen med $9^{\circ} C$ /min då det har gått $2$ minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela $g (x),$ dvs.

g^{'} (x) < 0 f \ddot{o} r alla x .

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen

S (x) = 4000 \cdot 1.0 3^{x},

där

S (x)

är totala summan i kronor och

x

är tiden i år efter insättningen. Beräkna

S^{'} (10)

och beskriv med ord vad du har beräknat.

Ledtråd

Bestäm derivatan av funktionen. Beräkna derivatan vid $x = 10 .$

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med $ln (1, 03) .$

S (x) = 4000 \cdot 1, 0 3^{x}

Derivera funktion

S^{'} (x) = D (4000 \cdot 1, 0 3^{x})

DeriveExpInitial

$D (C \cdot a^{x}) = C \cdot a^{x} \cdot ln (a)$

S^{'} (x) = 4000 \cdot 1, 0 3^{x} \cdot ln (1, 03)

Nu har vi deriverat funktionen, så $x = 10$ kan sättas in i $S^{'} (x) .$

S^{'} (x) = 4000 \cdot 1, 0 3^{x} \cdot ln (1, 03)

$x = 10$

S^{'} (10) = 4000 \cdot 1, 0 3^{10} \cdot ln (1, 03)

Slå in på räknare

S^{'} (10) = 158, 89823 \dots

Avrunda till närmaste heltal

S^{'} (10) \approx 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata,

159,

då

x = 10 .

En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom

S (x)

anger hur många kronor det finns på kontot och

x

är antal år efter insättningen innebär

S^{'} (10) \approx 159

att summan på kontot ökar med

159

kr/år efter

10

år.

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen $e$

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen

N (t) = N_{0} \cdot e^{- 0, 0067 t},

där

N_{0}

är startmängden och

t

är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Ledtråd

Skriv om $e^{- 0, 0067 t}$ som en potens av en potens. Beräkna den nya basen för funktionen.

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen

N (t) = N_{0} \cdot a^{t},

är

a

förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N (t) = N_{0} \cdot e^{- 0, 0067 t}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

N (t) = N_{0} \cdot (e^{- 0, 0067})^{t}

Slå in på räknare

N (t) \approx N_{0} \cdot 0, 99 3^{t}

Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka

0, 993 .

Det motsvarar en minskning med

0, 7 %

per år.

{{ grade.displayTitle }}

{{ article.displayTitle }}

{{ tocSubtitle }}

Laddar innehåll