body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 3b Visa detaljer

7. Exponentiell förändringshastighet

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 3

Exponentiell förändringshastighet

Denna lektion fokuserar på att förklara konceptet av exponentiell förändringshastighet. Den beskriver hur exponentialfunktioner, som alltid är monotona, används för att beskriva procentuella förändringar. Den förklarar också hur en växande exponentialfunktion kan beskriva till exempel antalet kaniner efter ett antal veckor, medan en avtagande exponentialfunktion kan beskriva temperaturen på avsvalnande kamomillte. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik på en mer avancerad nivå och behöver förstå och tillämpa dessa koncept på verkliga situationer.

Visa mer

	4 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 4

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Ca^x eller y=Ce^(kx) används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x. Den positiva derivatan f'(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att efter 6 veckor ökar antalet kaniner med 120 st./vecka. Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f'(x) > 0 för alla x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x) på avsvalnande kamomillte efter x minuter.

Om t.ex. g'(2)=- 9 minskar temperaturen med 9 ^(∘) C/min då det har gått 2 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x), dvs.

g'(x) < 0 för alla x.

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen S(x)=4000 * 1.03^x, där S(x) är totala summan i kronor och x är tiden i år efter insättningen. Beräkna S'(10) och beskriv med ord vad du har beräknat.

Ledtråd

Bestäm derivatan av funktionen. Beräkna derivatan vid x=10.

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med ln(1,03).

S(x)=4000 * 1,03^x

Derive

Derivera funktion

S'(x)=D(4000 * 1,03^x)

DeriveExpInitial

D( C* a^x ) = C* a^x * ln(a)

S'(x)=4000* 1,03^x * ln(1,03)

Nu har vi deriverat funktionen, så x=10 kan sättas in i S'(x).

S'(x)=4000* 1,03^x * ln(1,03)

Substitute

x= 10

S'( 10)=4000* 1,03^(10) * ln(1,03)

UseCalc

Slå in på räknare

S'(10)=158,89823 ...

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

S'(10) ≈ 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, 159, då x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och x är antal år efter insättningen innebär S'(10) ≈ 159 att summan på kontot ökar med 159 kr/år efter 10 år.

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen e

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen N(t)=N_0* e^(-0,0067t), där N_0 är startmängden och t är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Ledtråd

Skriv om e^(- 0,0067t) som en potens av en potens. Beräkna den nya basen för funktionen.

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen N(t)=N_0* a^t, är a förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N(t)=N_0* e^(-0,0067t)

ProdInExponent

a^(b* c)=(a^b)^c

N(t)=N_0* (e^(-0,0067))^t

UseCalc

Slå in på räknare

N(t)≈ N_0* 0,993^t

Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka 0,993. Det motsvarar en minskning med 0,7 % per år.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Exponentiell förändringshastighet

Uppgift 3.1

Halveringstid är ett begrepp som bland annat används i samband med radioaktiva preparat. Det är den tiden det tar tills hälften av ämnet finns kvar. Den radioaktiva isotopen kalium-38 har halveringstiden 7,636 minuter.

Ställ upp en exponentialfunktion, y(t), med basen e som beskriver mängden av ämnet i gram efter t minuter. Anta att man startar med C gram kalium-38.

Hur snabbt minskar mängden kalium-38 efter 3 halveringstider om man startar med 15 g? Avrunda till fyra värdesiffror.

Vi ställer upp en allmän exponentialfunktion med basen e: y(t)=Ce^(kt), där k är en konstant. Efter en halveringstid, dvs. 7,636 minuter finns hälften av ämnet kvar. Hälften av C är C2. Vi sätter in t=7,636 och y(t)= C2 för att bestämma k.

k är alltså - ln(2)7,636 vilket ger y(t)=Ce^(- ln(2)7,636 t).

Eftersom man frågar efter hur snabbt mängden ändras är det derivatan av y(t) vi behöver. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Eftersom man börjar med 15 g är C=15, och eftersom en halveringstid är 7,636 minuter är 3 halveringstider 3*7,636=22,908 minuter. Vi sätter in dessa värden i derivatan och beräknar värdet.

Efter tre halveringstider minskar vikten kalium-38 med cirka 0,1702 g/minut.

Ställ upp en exponentialfunktion, y(t), med basen e som beskriver mängden av ämnet i gram efter t minuter. Anta att man startar med C gram kalium-38.

Hur snabbt minskar mängden kalium-38 efter 3 halveringstider om man startar med 15 g? Avrunda svaret till fyra värdesiffror.

k är alltså ln(1/2)7,636 vilket ger y(t)=Ce^(ln(1/2)7,636 t).

Eftersom man frågar efter hur snabbt mängden ändras är det derivatan av y(t) vi behöver. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Eftersom man börjar med 15 g är C=15, och eftersom en halveringstid är 7,636 minuter är 3 halveringstider 3*7,636=22,908 minuter. Vi sätter in dessa värden i derivatan och beräknar värdet.

Efter tre halveringstider minskar vikten kalium-38 med cirka 0,1702 g/min.

Emma köper en 5 år gammal bil av Josephine. Bilen blir vid detta tillfälle värderad till 45 000 kr. Tre år senare säljer Emma bilen, som då blir värderad till 22 000 kr. Bilens värdeminskning är exponentiell.

När Josephine får höra detta säger hon Du borde sålt den mycket dyrare! När den var ny köpte jag den för 400 000 kr! Talar hon sanning om inköpspriset? Motivera.

Josephine påstår också att det hade varit bättre att sälja den senare eftersom värdeminskningen är mindre då. Värdeminskningen hade varit nästan 2 000 kr lägre per år om du sålt den när den var 10 år gammal. Stämmer hennes påstående? Motivera.

Eftersom vi har en exponentiell värdeminskning minskar bilens värde med samma procentsats varje år. För att besvara frågan kan vi börja med att ta reda på den årliga procentuella förändringen, a. Vi vet att värdet minskar från 45 000 till 22 000 på tre år. Det ger oss potensfunktionen 45 000a^3=22 000, som vi löser genom att upphöja båda led till 13.

Vi söker alltså värdet för bilen när den var ny, dvs. ursprungsvärdet. Genom att sätta in förändringsfaktorn a i den generella exponentialfunktionen f(x)=Ca^x, samt värdet på bilen vid någon tidpunkt, kan vi ta reda på startvärdet C. Vi kan t.ex. sätta in att bilen är värd 45 000 kr efter 5 år, dvs. att f(5)=45 000.

Med antagandena att värderingarna som Emma fick var korrekta och att bilens värdeminskning var procentuellt sett lika stor varje år, skulle bilen ha varit värd endast 148 319 kr som ny. Därför verkar Josephines påstående om 400 000 kr inte vara rimligt, utan en överdrift.

Vi vill ta reda på värdeminskningen vid två olika tidpunkter: efter 8 år och efter 10 år. Det innebär att vi ska beräkna derivatans värde vid dessa tidpunkter och sedan jämföra dem. För att kunna derivera behöver vi funktionsuttrycket. Med de värden på a och C som vi bestämde i förra deluppgiften kan vi ställa upp en exponentialfunktion.

Nu deriverar vi med hjälp av deriveringsregeln för y=a^(kx).

Till sist sätter vi in x=8 och x=10 i derivatan för att beräkna värdeminskningen efter 8 respektive 10 år.

Derivatan på -5 248 innebär att värdeminskningen är 5 248 kr/år efter 8 år. Nu gör vi samma sak för x=10. Tänk på att du inte behöver skriva om hela beräkningen utan att du kan ändra i räknarens tidigare uträkningar.

Värdeminskningen efter 10 år är alltså ca 3 257 kr/år. Skillnaden är 5 248-3 257 =1 991 kr/år. Här har Josephine alltså koll. Hennes uppskattning på att värdeminskningen hade varit nästan 2 000 kr lägre per år stämmer bra.

Exponentiell förändringshastighet

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan