Exponentiell förändringshastighet

För att bestämma kaffets temperatur när mätningen började sätter vi in t=0 i funktionen.

Vid mätningens början var temperaturen 95 ^(∘) C.

Modellen är en exponentialfunktion vilket betyder att den kan skrivas på formen y=C* a^t, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Det är denna förändringsfaktor vi vill bestämma. Då måste vi först skriva om potensen e^(- 0.039t) med en av potenslagarna.

Genom att knappa in e^(- 0.039) på räknaren bestämmer vi modellens förändringsfaktor.

Avrundat till 3 decimaler blir förändringsfaktorn 0.962. På procentform skrivs detta 96.2 %. vilket betyder att kaffets temperatur avtar med 100-96.2=3.8 % per minut.

Temperaturen i rummet är 20 ^(∘) C vilket kan beskrivas med y=20. Vi ritar denna och grafen till Kristinas modell i ett koordinatsystem.

Enligt modellen närmar kaffets temperatur 0 ^(∘)C, dvs. den går under rummets temperatur. Detta kan inte stämma eftersom kaffet bör anpassa sig efter rumstemperaturen. Modellen tar inte hänsyn till detta vilket betyder att den ger ett för lågt värde när t blir stort.

Vi ställer upp en allmän exponentialfunktion med basen e: y(t)=Ce^(kt), där k är en konstant. Efter en halveringstid, dvs. 7.636 minuter finns hälften av ämnet kvar. Hälften av C är C2. Vi sätter in t=7.636 och y(t)= C2 för att bestämma k.

k är alltså - ln(2)7.636 vilket ger y(t)=Ce^(- ln(2)7.636 t).

Eftersom man frågar efter hur snabbt mängden ändras är det derivatan av y(t) vi behöver. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Eftersom man börjar med 15 g är C=15, och eftersom en halveringstid är 7.636 minuter är 3 halveringstider 3*7.636=22.908 minuter. Vi sätter in dessa värden i derivatan och beräknar värdet.

Efter tre halveringstider minskar vikten kalium-38 med cirka 0.1702 g/minut.

Vi ställer upp en allmän exponentialfunktion med basen e: y(t)=Ce^(kt), där k är en konstant. Efter en halveringstid, dvs. 7.636 minuter finns hälften av ämnet kvar. Hälften av C är C2. Vi sätter in t=7.636 och y(t)= C2 för att bestämma k.

k är alltså ln(1/2)7.636 vilket ger y(t)=Ce^(ln(1/2)7.636 t).

Eftersom man frågar efter hur snabbt mängden ändras är det derivatan av y(t) vi behöver. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Eftersom man börjar med 15 g är C=15, och eftersom en halveringstid är 7.636 minuter är 3 halveringstider 3*7.636=22.908 minuter. Vi sätter in dessa värden i derivatan och beräknar värdet.

Efter tre halveringstider minskar vikten kalium-38 med cirka 0.1702 g/min.

Eftersom vi har en exponentiell värdeminskning minskar bilens värde med samma procentsats varje år. För att besvara frågan kan vi börja med att ta reda på den årliga procentuella förändringen, a. Vi vet att värdet minskar från 45 000 till 22 000 på tre år. Det ger oss potensfunktionen 45 000a^3=22 000, som vi löser genom att upphöja båda led till 1/3.

Vi söker alltså värdet för bilen när den var ny, dvs. ursprungsvärdet. Genom att sätta in förändringsfaktorn a i den generella exponentialfunktionen f(x)=Ca^x, samt värdet på bilen vid någon tidpunkt, kan vi ta reda på startvärdet C. Vi kan t.ex. sätta in att bilen är värd 45 000 kr efter 5 år, dvs. att f(5)=45 000.

Med antagandena att värderingarna som Emma fick var korrekta och att bilens värdeminskning var procentuellt sett lika stor varje år, skulle bilen ha varit värd endast 148 319 kr som ny. Därför verkar Josephines påstående om 400 000 kr inte vara rimligt, utan en överdrift.

Vi vill ta reda på värdeminskningen vid två olika tidpunkter: efter 8 år och efter 10 år. Det innebär att vi ska beräkna derivatans värde vid dessa tidpunkter och sedan jämföra dem. För att kunna derivera behöver vi funktionsuttrycket. Med de värden på a och C som vi bestämde i förra deluppgiften kan vi ställa upp en exponentialfunktion.

Nu deriverar vi med hjälp av deriveringsregeln för y=a^(kx).

Till sist sätter vi in x=8 och x=10 i derivatan för att beräkna värdeminskningen efter 8 respektive 10 år.

Derivatan på -5248 innebär att värdeminskningen är 5248 kr/år efter 8 år. Nu gör vi samma sak för x=10. Tänk på att du inte behöver skriva om hela beräkningen utan att du kan ändra i räknarens tidigare uträkningar.

Värdeminskningen efter 10 år är alltså ca 3257 kr/år. Skillnaden är 5248-3257 =1991 kr/år. Här har Josephine alltså koll. Hennes uppskattning på att värdeminskningen hade varit nästan 2000 kr lägre per år stämmer bra.