Logga in
| 3 sidor teori |
| 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Man kan se att grafen har en maximipunkt där x=1 och en minimipunkt vid x=3. I båda dessa extrempunkter är lutningen 0. Utöver detta kan man också se att grafen är avtagande mellan extrempunkterna och växande till vänster och höger om detta område, vilket markeras med rött respektive grönt i figuren. Detta kan man sedan jämföra med grafen till derivatan.
Man ser då att f′(x) är 0 då x=1 och x=3, alltså på samma ställe som maximi- och minimipunkterna för f(x). Detta överensstämmer med att derivatan är 0 i stationära punkter. Man ser även att f′(x) ligger under x-axeln mellan extrempunkterna och alltså är negativ där. Resten av grafen ligger ovanför x-axeln och är då positiv.
Det går alltså att använda utseendet på grafen till f′(x) för att bestämma det generella utseendet på grafen till f(x) och vice versa.
Graf till f(x) | Graf till f′(x) |
---|---|
Växande ( ↗ ) | Ovanför x-axeln (+) |
Avtagande ( ↘ ) | Nedanför x-axeln (–) |
Stationär (⟶) | Skär x-axeln (0) |
För en polynomfunktion f(x) gäller att derivatans gradtal är 1 lägre än funktionens gradtal.
I figuren visas grafen till derivatan g′(x).
Svara på följande frågor om funktionen g(x) med hjälp av grafen.
Generellt gäller att en funktion har stationära punkter, dvs. extrempunkter eller terrasspunkter, för de x-värden där dess derivata är 0. Grafen till g′(x) skär x-axeln i x=−3, vilket innebär att derivatan är 0 där. Funktionen g(x) har alltså en stationär punkt för x=−3.
Vi vet att en funktion är avtagande där dess derivata är negativ och växande där derivatan är positiv. Derivatan g′(x) är positiv när dess graf ligger ovanför x-axeln, dvs. för alla x mindre än −3.
När man anger intervall där en funktion är växande och avtagande brukar man dessutom ta med de x där derivatan är 0, vilket för g′(x) är i x=−3. Funktionen g(x) är därför växande på intervallet x≤−3. På samma sätt kan vi se att funktionen är avtagande på intervallet x≥−3.
Vi sammanfattar informationen i en tabell.
x | x≤−3 | x=−3 | x≥−3 |
---|---|---|---|
Graf till g′(x) | ovanför x-axeln (+) | skär x-axeln (0) | nedanför x-axeln (–) |
Graf till g(x) | växande ↗ | avtagande ↘ |
För att ta reda på vilken typ av stationär punkt som finns i x=−3, dvs. dess karaktär, måste vi undersöka hur grafen till g(x) ser ut till höger och vänster om punkten. Vi vet sedan tidigare att funktionen är växande fram till x=−3 och avtar sedan, så g(x) måste ha ett maximum i x=−3. Vi uppdaterar tabellen.
x | x≤−3 | x=−3 | x≥−3 |
---|---|---|---|
Graf till g′(x) | ovanför x-axeln (+) | skär x-axeln (0) | nedanför x-axeln (–) |
Graf till g(x) | växande ↗ | maximum ⌢ | avtagande ↘ |
Grafen till derivatan g′(x) är en rät linje, alltså en polynomfunktion av grad 1. För polynomfunktioner vet vi att derivatans gradtal alltid är 1 lägre än funktionens gradtal, vilket innebär att g(x) måste ha grad 2. Funktionen g(x) är alltså en andragradsfunktion med ett maximum. Till sist visar vi hur funktionen skulle kunna se ut.
Notera att detta dock bara är ett exempel. Maximipunkten skulle kunna vara placerad var som helst i y-led, så länge den har x-värdet −3.
Bestäm gradtalet för derivatan till polynomfunktionen.
För att avgöra derivatans gradtal skulle man kunna derivera funktionen och läsa av vad den högsta exponenten är, men det är enklare att använda regeln för derivatans gradtal: grad(f'(x)) = grad(f(x)) - 1. Det räcker alltså med att bestämma gradtalet för f(x) och dra bort 1. Polynomfunktionen f(x) = x^7 har bara en term och den har exponenten 7, så f(x) har graden 7. Då måste f'(x) alltså ha graden 7 - 1 = 6.
Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma gradtalet för g(x). Termen med högsta exponenten är 2x^3, så g(x) har graden 3. Det betyder att g'(x) har graden 3 - 1 = 2.
I det här fallet står inte termen med högst exponent först, så vi får gå igenom termerna och jämföra exponenterna. Termen med högst exponent är -7x^9, vilket innebär att h(x) har graden 9. Dess derivata, h'(x), har då graden 9 - 1 = 8.
Den här gången är visserligen gradtalet högt, men det påverkar inget. Det finns en term i k(x), med exponenten 1000, vilket innebär att gradtalet för k(x) är 1000. Då måste alltså gradtalet för k'(x) vara 1000 - 1 = 999.
Ange för vilka x-värden som grafen till funktionen f(x) har stationära punkter om grafen till f′(x) ser ut på följande sätt.
Eftersom derivatan är 0 i en stationär punkt kan vi bestämma för vilka x-värden f(x) har sådana punkter genom att se var grafen till derivatan skär x-axeln. Vi markerar skärningspunkten och läser av x-värdet.
Derivatans graf skär x-axeln i x=2, så funktionen f(x) har en stationär punkt i det x-värdet. Vi vet dock inte om det är en max-, min- eller terrasspunkt.
Vi gör på samma sätt igen, dvs. markerar derivatans skärningspunkter med x-axeln.
Vi ser att derivatans graf skär x-axeln i x=- 4 och x=6, så f(x) har stationära punkter där.
Inget nytt, vi gör samma sak igen.
Grafen skär i x=- 4, x=1 och x=7. Funktionen har alltså stationära punkter där.
Grafen visar derivatan till funktionen g(x).
För vilket x har g(x) en stationär punkt?I en stationär punkt är derivatan 0. Derivatans graf kommer alltså skära x-axeln i de x-värden som funktionen har stationära punkter. I grafen ser vi att derivatan skär x-axeln där x är -2.
Funktionen har alltså en stationär punkt i x=- 2.
I koordinatsystemet visas grafen till derivatan av funktionen p(x).
Använd derivatans graf för att uppskatta lutningen på grafen till p(x) i x-värdet.
Eftersom lutningen i en punkt är detsamma som derivata kan vi ta reda på hur grafen till p(x) lutar vid ett visst x-värde genom att läsa av derivatans värde där. Här läser vi av derivatans värde i x=-3.
Vi ser att derivatan är 0 i x=-3. Det innebär alltså att grafen till funktionen p(x) har lutningen 0 där x=-3.
Vi gör på samma sätt igen och läser av derivatans värde i x=-1.5.
Grafen till p(x) har lutningen -1.5 där x=-1.5.
Vi fortsätter på samma sätt och ser att grafen till p(x) har lutningen 2 där x=1.
Vi gör en sista avläsning där x=3.5 och konstaterar att lutningen på grafen till p(x) är 1 där.
Pontus får en figur där grafen till f(x) är ritad. Han blir ombedd att rita derivatan till funktionen i samma koordinatsystem. Figuren ser då ut såhär.
Har Pontus gjort rätt? Motivera.Vi vet att derivatan är 0 där en funktion har stationära punkter. Tittar vi på den blå grafen, som representerar funktionen, ser vi att den har en stationär punkt i form av en minimipunkt i x=2. Det innebär att den röda grafen, som visar derivatan, ska vara 0 i just det x-värdet. Så är dock inte fallet: derivatan är -2 då x=2.
Pontus har alltså ritat grafen till derivatan fel. Denna graf ska vara 0 då x=2, dvs. skära x-axeln då x är 2. I nuläget skär den i x=3. Pontus figur skulle istället ha sett ut såhär.
Ange för vilka x-värden som grafen till f′(x) skär x-axeln om grafen till f(x) ser ut på följande sätt.
Vi letar efter stationära punkter på grafen till f(x), eftersom derivatan skär x-axeln (dvs. är 0 ) där. I detta fall finns en sådan: en minimipunkt.
Minimipunktens x-värde är 4 så grafen till derivatan f'(x) kommer skära x-axeln i just x=4.
Vi gör på samma sätt igen, dvs. hittar de stationära punkterna på grafen till f(x) och läser av deras x-värden.
Maximipunkten har x-värdet 1.5 och minimipunkten -1.5, så derivatans graf kommer skära x-axeln vid dessa värden.
Denna graf har en stationär punkt i form av en terrasspunkt.
Vi ser att den har x-värdet 0. Derivatans graf kommer alltså skära x-axeln där x=0.