Derivatans graf

Värdet på en funktions derivata i en punkt beskriver hur funktionens graf beter sig där, dvs. om den växer, avtar eller har en stationär punkt, och hur snabbt den förändras. Förutom att studera derivatans värde i enskilda punkter kan man också se derivatan som en funktion. Deriverar man t.ex. tredjegradsfunktionen $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1.5$ får man andragradsfunktionen $f^{'} (x)$ som beskriver derivatan till $f (x) .$ $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$ Det finns användbara samband mellan grafen till en funktion och grafen till dess derivata, och för att undersöka dessa kan man börja med att rita ut grafen till $f (x) .$ Från den kan man se hur lutningen varierar med $x .$

Man kan se att grafen har en maximipunkt där $x = 1$ och en minimipunkt vid $x = 3 .$ I båda dessa extrempunkter är lutningen $0 .$ Utöver detta kan man också se att grafen är avtagande mellan extrempunkterna och växande till vänster och höger om detta område, vilket markeras med rött respektive grönt i figuren. Detta kan man sedan jämföra med grafen till derivatan.

Man ser då att $f^{'} (x)$ är $0$ då $x = 1$ och $x = 3,$ alltså på samma ställe som maximi- och minimipunkterna för $f (x) .$ Detta överensstämmer med att derivatan är $0$ i stationära punkter. Man ser även att $f^{'} (x)$ ligger under $x$ -axeln mellan extrempunkterna och alltså är negativ där. Resten av grafen ligger ovanför $x$ -axeln och är då positiv.

Det går alltså att använda utseendet på grafen till $f^{'} (x)$ för att bestämma det generella utseendet på grafen till $f (x)$ och vice versa.

Graf till $f (x)$	Graf till $f^{'} (x)$
Växande ( $↗$ )	Ovanför $x$ -axeln (+)
Avtagande ( $↘$ )	Nedanför $x$ -axeln (–)
Stationär ( $⟶$ )	Skär $x$ -axeln ( $0$ )

I figuren nedan visas en andragradsfunktion och dess derivata, och genom att ändra på funktionen kan man se hur det påverkar derivatan.

Funktion

$Derivata$

Regel

Derivatans gradtal

För en polynomfunktion $f (x)$ gäller att derivatans gradtal är $1$ lägre än funktionens gradtal.

Regel

grad (f^{'} (x)) = grad (f (x)) - 1

Polynomfunktioner deriveras termvis med hjälp av deriveringsregeln för potensfunktioner: $D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1} .$ Alla variabeltermers exponenter kommer då att minska med $1 .$ Eftersom alla exponenter minskar lika mycket kommer den exponent som var högst före deriveringen även att vara högst efter. Den högsta exponenten bestämmer även gradtalet, och eftersom den minskat med $1$ blir derivatans gradtal $1$ lägre än funktionens. Man kan t.ex. se att det gäller för följande funktion: $f (x) = 3 x^{4} - 7 x \Rightarrow f^{'} (x) = 12 x^{3} - 7 .$ Funktionen har grad $4$ medan derivatan har grad $3,$ dvs. $1$ grad lägre. Denna regel gäller för alla polynomfunktioner utom de av grad $0,$ dvs. konstanter, eftersom deras derivata är $0 .$

Beskriv funktionen utifrån derivatans graf

fullscreen

Uppgift

I figuren visas grafen till derivatan $g^{'} (x) .$

Svara på följande frågor om funktionen $g (x)$ med hjälp av grafen.

För vilket $x$ -värde har grafen till $g (x)$ en stationär punkt?
På vilket intervall är grafen till $g (x)$ växande respektive avtagande?
Vad har den stationära punkten för karaktär?
Vilket gradtal har $g (x) ?$

Visa Lösning

Lösning

Funktionens stationära punkt

Generellt gäller att en funktion har stationära punkter, dvs. extrempunkter eller terrasspunkter, för de $x$ -värden där dess derivata är $0 .$ Grafen till $g^{'} (x)$ skär $x$ -axeln i $x = - 3,$ vilket innebär att derivatan är $0$ där. Funktionen $g (x)$ har alltså en stationär punkt för $x = - 3 .$

Var är funktionen växande och avtagande?

Vi vet att en funktion är avtagande där dess derivata är negativ och växande där derivatan är positiv. Derivatan $g^{'} (x)$ är positiv när dess graf ligger ovanför $x$ -axeln, dvs. för alla $x$ mindre än $- 3 .$

När man anger intervall där en funktion är växande och avtagande brukar man dessutom ta med de $x$ där derivatan är $0,$ vilket för $g^{'} (x)$ är i $x = - 3 .$ Funktionen $g (x)$ är därför växande på intervallet $x \leq - 3 .$ På samma sätt kan vi se att funktionen är avtagande på intervallet $x \geq - 3 .$

Vi sammanfattar informationen i en tabell.

$x$	$x \leq - 3$	$x = - 3$	$x \geq - 3$
Graf till $g^{'} (x)$	ovanför $x$ -axeln (+)	skär $x$ -axeln (0)	nedanför $x$ -axeln (–)
Graf till $g (x)$	växande $↗$		avtagande $↘$

Stationära punktens karaktär

För att ta reda på vilken typ av stationär punkt som finns i $x = - 3,$ dvs. dess karaktär, måste vi undersöka hur grafen till $g (x)$ ser ut till höger och vänster om punkten. Vi vet sedan tidigare att funktionen är växande fram till $x = - 3$ och avtar sedan, så $g (x)$ måste ha ett maximum i $x = - 3 .$ Vi uppdaterar tabellen.

$x$	$x \leq - 3$	$x = - 3$	$x \geq - 3$
Graf till $g^{'} (x)$	ovanför $x$ -axeln (+)	skär $x$ -axeln (0)	nedanför $x$ -axeln (–)
Graf till $g (x)$	växande $↗$	maximum $⌢$	avtagande $↘$

Funktionens gradtal

Grafen till derivatan $g^{'} (x)$ är en rät linje, alltså en polynomfunktion av grad $1 .$ För polynomfunktioner vet vi att derivatans gradtal alltid är 1 lägre än funktionens gradtal, vilket innebär att $g (x)$ måste ha grad $2 .$ Funktionen $g (x)$ är alltså en andragradsfunktion med ett maximum. Till sist visar vi hur funktionen skulle kunna se ut.

Notera att detta dock bara är ett exempel. Maximipunkten skulle kunna vara placerad var som helst i $y$ -led, så länge den har $x$ -värdet $- 3 .$

Regel

Exempel

Beskriv funktionen utifrån derivatans graf

Funktionens stationära punkt

Var är funktionen växande och avtagande?

Stationära punktens karaktär

Funktionens gradtal