Derivatans graf
{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}Kanaler
Direktmeddelanden
Man kan se att grafen har en maximipunkt där x=1 och en minimipunkt vid x=3. I båda dessa extrempunkter är lutningen 0. Utöver detta kan man också se att grafen är avtagande mellan extrempunkterna och växande till vänster och höger om detta område, vilket markeras med rött respektive grönt i figuren. Detta kan man sedan jämföra med grafen till derivatan.
Man ser då att är 0 då x=1 och x=3, alltså på samma ställe som maximi- och minimipunkterna för f(x). Detta överensstämmer med att derivatan är 0 i stationära punkter. Man ser även att ligger under x-axeln mellan extrempunkterna och alltså är negativ där. Resten av grafen ligger ovanför x-axeln och är då positiv.
Det går alltså att använda utseendet på grafen till för att bestämma det generella utseendet på grafen till f(x) och vice versa.
| Graf till f(x) | Graf till |
|---|---|
| Växande ( ) | Ovanför x-axeln (+) |
| Avtagande ( ) | Nedanför x-axeln (–) |
| Stationär () | Skär x-axeln (0) |
Regel
Derivatans gradtal
För en polynomfunktion f(x) gäller att derivatans gradtal är 1 lägre än funktionens gradtal.
I figuren visas grafen till derivatan
Svara på följande frågor om funktionen g(x) med hjälp av grafen.
- För vilket x-värde har grafen till g(x) en stationär punkt?
- På vilket intervall är grafen till g(x) växande respektive avtagande?
- Vad har den stationära punkten för karaktär?
- Vilket gradtal har g(x)?
Funktionens stationära punkt
Generellt gäller att en funktion har stationära punkter, dvs. extrempunkter eller terrasspunkter, för de x-värden där dess derivata är 0. Grafen till skär x-axeln i x=-3, vilket innebär att derivatan är 0 där. Funktionen g(x) har alltså en stationär punkt för x=-3.
Var är funktionen växande och avtagande?
Vi vet att en funktion är avtagande där dess derivata är negativ och växande där derivatan är positiv. Derivatan är positiv när dess graf ligger ovanför x-axeln, dvs. för alla x mindre än -3.
När man anger intervall där en funktion är växande och avtagande brukar man dessutom ta med de x där derivatan är 0, vilket för är i x=-3. Funktionen g(x) är därför växande på intervallet x≤-3. På samma sätt kan vi se att funktionen är avtagande på intervallet x≥-3.
Vi sammanfattar informationen i en tabell.
| x | x≤-3 | x=-3 | x≥-3 |
|---|---|---|---|
| Graf till | ovanför x-axeln (+) | skär x-axeln (0) | nedanför x-axeln (–) |
| Graf till g(x) | växande | avtagande |
Stationära punktens karaktär
För att ta reda på vilken typ av stationär punkt som finns i x=-3, dvs. dess karaktär, måste vi undersöka hur grafen till g(x) ser ut till höger och vänster om punkten. Vi vet sedan tidigare att funktionen är växande fram till x=-3 och avtar sedan, så g(x) måste ha ett maximum i x=-3. Vi uppdaterar tabellen.
| x | x≤-3 | x=-3 | x≥-3 |
|---|---|---|---|
| Graf till | ovanför x-axeln (+) | skär x-axeln (0) | nedanför x-axeln (–) |
| Graf till g(x) | växande | maximum | avtagande |
Funktionens gradtal
Grafen till derivatan är en rät linje, alltså en polynomfunktion av grad 1. För polynomfunktioner vet vi att derivatans gradtal alltid är 1 lägre än funktionens gradtal, vilket innebär att g(x) måste ha grad 2. Funktionen g(x) är alltså en andragradsfunktion med ett maximum. Till sist visar vi hur funktionen skulle kunna se ut.
Notera att detta dock bara är ett exempel. Maximipunkten skulle kunna vara placerad var som helst i y-led, så länge den har x-värdet -3.