body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

4. Derivatans graf

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 3

4.

Derivatans graf

Den här lektionenen handlar om att förstå derivatans graf och dess betydelse. Den förklarar hur värdet på en funktions derivata i en punkt beskriver hur funktionens graf beter sig där, dvs. om den växer, avtar eller har en stationär punkt, och hur snabbt den förändras. Den hjälper till att identifiera när en funktion är växande eller avtagande baserat på om dess derivata är positiv eller negativ. Dessutom visar den hur man bestämmer karaktären av stationär punkt genom att undersöka hur grafen ser ut till höger och vänster om punkten. Slutligen förklaras det att gradtalet för en funktion är alltid 1 högre än gradtalet för dess derivata.

Inställningar & verktyg för lektion

	3 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Derivatans graf

Sida av 3

Värdet på en funktions derivata i en punkt beskriver hur funktionens graf beter sig där, dvs. om den växer, avtar eller har en stationär punkt, och hur snabbt den förändras. Förutom att studera derivatans värde i enskilda punkter kan man också se derivatan som en funktion. Deriverar man t.ex. tredjegradsfunktionen

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1.5

får man andragradsfunktionen

f^{'} (x)

som beskriver derivatan till

f (x) .

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Det finns användbara samband mellan grafen till en funktion och grafen till dess derivata, och för att undersöka dessa kan man börja med att rita ut grafen till

f (x) .

Från den kan man se hur lutningen varierar med

x .

Man kan se att grafen har en maximipunkt där $x = 1$ och en minimipunkt vid $x = 3 .$ I båda dessa extrempunkter är lutningen $0 .$ Utöver detta kan man också se att grafen är avtagande mellan extrempunkterna och växande till vänster och höger om detta område, vilket markeras med rött respektive grönt i figuren. Detta kan man sedan jämföra med grafen till derivatan.

Man ser då att $f^{'} (x)$ är $0$ då $x = 1$ och $x = 3,$ alltså på samma ställe som maximi- och minimipunkterna för $f (x) .$ Detta överensstämmer med att derivatan är $0$ i stationära punkter. Man ser även att $f^{'} (x)$ ligger under $x$ -axeln mellan extrempunkterna och alltså är negativ där. Resten av grafen ligger ovanför $x$ -axeln och är då positiv.

Det går alltså att använda utseendet på grafen till $f^{'} (x)$ för att bestämma det generella utseendet på grafen till $f (x)$ och vice versa.

Graf till $f (x)$	Graf till $f^{'} (x)$
Växande ( $↗$ )	Ovanför $x$ -axeln (+)
Avtagande ( $↘$ )	Nedanför $x$ -axeln (–)
Stationär ( $⟶$ )	Skär $x$ -axeln ( $0$ )

I figuren nedan visas en andragradsfunktion och dess derivata, och genom att ändra på funktionen kan man se hur det påverkar derivatan.

Funktion

Derivata

Regel

Derivatans gradtal

För en polynomfunktion $f (x)$ gäller att derivatans gradtal är $1$ lägre än funktionens gradtal.

Regel

grad (f^{'} (x)) = grad (f (x)) - 1

Polynomfunktioner deriveras termvis med hjälp av deriveringsregeln för potensfunktioner:

D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1} .

Alla variabeltermers exponenter kommer då att minska med

1 .

Eftersom alla exponenter minskar lika mycket kommer den exponent som var högst före deriveringen även att vara högst efter. Den högsta exponenten bestämmer även gradtalet, och eftersom den minskat med

1

blir derivatans gradtal

1

lägre än funktionens. Man kan t.ex. se att det gäller för följande funktion:

f (x) = 3 x^{4} - 7 x \Rightarrow f^{'} (x) = 12 x^{3} - 7 .

Funktionen har grad

4

medan derivatan har grad

3,

dvs.

1

grad lägre. Denna regel gäller för alla polynomfunktioner utom de av grad

0,

dvs. konstanter, eftersom deras derivata är

0 .

Beskriv funktionen utifrån derivatans graf

fullscreen

I figuren visas grafen till derivatan $g^{'} (x) .$

Svara på följande frågor om funktionen $g (x)$ med hjälp av grafen.

För vilket $x$ -värde har grafen till $g (x)$ en stationär punkt?
På vilket intervall är grafen till $g (x)$ växande respektive avtagande?
Vad har den stationära punkten för karaktär?
Vilket gradtal har $g (x) ?$

Visa Lösning

Funktionens stationära punkt

Generellt gäller att en funktion har stationära punkter, dvs. extrempunkter eller terrasspunkter, för de $x$ -värden där dess derivata är $0 .$ Grafen till $g^{'} (x)$ skär $x$ -axeln i $x = - 3,$ vilket innebär att derivatan är $0$ där. Funktionen $g (x)$ har alltså en stationär punkt för $x = - 3 .$

Var är funktionen växande och avtagande?

Vi vet att en funktion är avtagande där dess derivata är negativ och växande där derivatan är positiv. Derivatan $g^{'} (x)$ är positiv när dess graf ligger ovanför $x$ -axeln, dvs. för alla $x$ mindre än $- 3 .$

När man anger intervall där en funktion är växande och avtagande brukar man dessutom ta med de $x$ där derivatan är $0,$ vilket för $g^{'} (x)$ är i $x = - 3 .$ Funktionen $g (x)$ är därför växande på intervallet $x \leq - 3 .$ På samma sätt kan vi se att funktionen är avtagande på intervallet $x \geq - 3 .$

Vi sammanfattar informationen i en tabell.

$x$	$x \leq - 3$	$x = - 3$	$x \geq - 3$
Graf till $g^{'} (x)$	ovanför $x$ -axeln (+)	skär $x$ -axeln (0)	nedanför $x$ -axeln (–)
Graf till $g (x)$	växande $↗$		avtagande $↘$

Stationära punktens karaktär

För att ta reda på vilken typ av stationär punkt som finns i $x = - 3,$ dvs. dess karaktär, måste vi undersöka hur grafen till $g (x)$ ser ut till höger och vänster om punkten. Vi vet sedan tidigare att funktionen är växande fram till $x = - 3$ och avtar sedan, så $g (x)$ måste ha ett maximum i $x = - 3 .$ Vi uppdaterar tabellen.

$x$	$x \leq - 3$	$x = - 3$	$x \geq - 3$
Graf till $g^{'} (x)$	ovanför $x$ -axeln (+)	skär $x$ -axeln (0)	nedanför $x$ -axeln (–)
Graf till $g (x)$	växande $↗$	maximum $⌢$	avtagande $↘$

Funktionens gradtal

Grafen till derivatan $g^{'} (x)$ är en rät linje, alltså en polynomfunktion av grad $1 .$ För polynomfunktioner vet vi att derivatans gradtal alltid är 1 lägre än funktionens gradtal, vilket innebär att $g (x)$ måste ha grad $2 .$ Funktionen $g (x)$ är alltså en andragradsfunktion med ett maximum. Till sist visar vi hur funktionen skulle kunna se ut.

Notera att detta dock bara är ett exempel. Maximipunkten skulle kunna vara placerad var som helst i $y$ -led, så länge den har $x$ -värdet $- 3 .$

Derivatans graf

Övningar

Grafen visar en bils acceleration, $a,$ under tiden $t$ sekunder.

En rät linje som beskriver en bils acceleration.

När når bilen sin högsta hastighet under de första

10

sekunderna?

Vi vill hitta tidpunkten för den maximala hastigheten, dvs. för vilket t som hastighetsfunktionen v(t) har en maximipunkt. Eftersom accelerationen är derivatan av hastigheten kan grafen i uppgiften också tolkas som v'(t).

Vi ser att v'(t) har ett nollställe vid t=5 dvs. derivatan är 0 där. Det innebär att funktionen v(t) har en stationär punkt för t=5 som kan vara maximipunkt.

Vi bestämmer vilken sorts stationär punkt det är genom att undersöka derivatans tecken till höger och vänster om den. Till vänster ligger v'(t) ovanför t-axeln, vilket innebär att derivatan är positiv, och till höger ligger den under t-axeln, vilket innebär att derivatan är negativ.

Alltså har v(t) positiv lutning (↗) före punkten och negativ (↘) efter, vilket ger att den stationära punkten är ett maximum. Funktionen v(t) är alltså som störst när t = 5 vilket betyder att bilen har sin högsta hastighet efter 5 sekunder.

I koordinatsystemet syns grafen till $y = f (x) .$

En funktionsgraf med max, min och terrasspunkt.

I vilka intervall är $f (x) > 0$ samtidigt som $f^{'} (x) > 0 ?$

I vilka intervall är $f (x) < 0$ samtidigt som $f^{'} (x) > 0 ?$

Först reder vi ut vad olikheterna betyder. Olikheten f(x) > 0 innebär att funktionsvärdet är större än noll, dvs. grafen befinner sig ovanför x-axeln. Liknande så innebär f(x) < 0 att funktionsvärdet är mindre än noll och grafen befinner sig då under x-axeln. Vi markerar de delar av kurvan där f(x)>0 som gröna och delar där f(x)<0 som röda.

Olikheten f'(x)<0 betyder att funktionens derivata är mindre än noll, dvs. funktionen är avtagande. Liknande innebär f'(x)>0 att derivatan är större än noll, dvs. funktionen växer. Vi markerar de områden på kurvan där funktionen är växande med grönt samt de områden på kurvan där kurvan avtar med rött.

f(x)>0 och f'(x)>0 gäller samtidigt när kurvan är ovanför x-axeln och lutar uppåt, dvs. både grafen och bakgrunden ska vara grön. Detta stämmer för intervallen 113, dvs. mellan x=1 och x=3, samt höger om x=13.

Precis som i a) ska kurvan luta uppåt, men nu befinna sig under x-axeln eftersom f(x) < 0. Det är områden där grafen är röd och bakgrunden grön. De intervall som passar in på detta är x<1 och 11

Gäller följande likhet för polynomfunktionen

f (x) ?

grad (f (x) - f^{'} (x)) = grad (f (x))

Det vi ska undersöka är om graden för ett polynom inte ändras om vi subtraherar derivatan från polynomet. Vi börjar med att ställa upp en generell polynomfunktion f(x) vars term med högst grad är a* x^n. Funktionen har då grad n. Eftersom vi inte vet något om hur funktionen ser ut i övrigt skriver vi punkter för att markera eventuella andra termer. f(x) = a * x^n + ... Deriverar man f(x) får man f'(x) = a * nx^(n-1) + ... vilket gör att den högsta exponent i derivatan, och dess gradtal, är n-1. Subtraherar man derivatan från funktionen kommer a * x^n fortfarande vara termen med högst potens. Gradtalet för det nya polynomet f(x)-f'(x) kommer därför också vara n. f(x) - f'(x) = a * x^n - a * nx^(n-1) + ... - ... Att n är gradtal både för f(x) och f(x)-f'(x) kan skrivas grad ( f(x) - f'(x) ) = grad( f(x) ).

Derivatans graf

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll