Derivatans graf

I en minimipunkt är funktionens lutning 0. Eftersom grafen visar funktionens derivata, som anger funktionens lutning, kan vi se att funktionen har stationära punkter i x=- 2 och x=4 eftersom f'(x) är 0 där.

Hur kan vi avgöra vilken av punkterna som utgör minimipunkt? Vi kan göra det genom att titta på derivatans tecken kring minimipunkten. En funktions lutning är avtagande till vänster om en minimipunkt och växande till höger om den, som i grafen nedan.

Derivatans tecken till vänster om en minimipunkt måste därför vara negativt (funktionen avtar) och positivt (funktionen ökar) till höger om den. Den enda extrempunkten som stämmer in på denna beskrivning är den i x=4.

En funktion är avtagande för alla x där funktionens derivata är negativ. Detta sker då derivatans graf är under x-axeln vilket den är mellan -2 och 4.

När man anger intervall där funktionen är växande/avtagande brukar man även ta med de x där derivatan är 0, vilket betyder att funktionen är avtagande på intervallet - 2≤ x≤4.

Vi börjar med att titta på hur många extrempunkter respektive funktion har. Vi ser att det bara är funktion 2 som har två extrempunkter, så dess derivata måste ha två nollställen. Det finns bara en derivata som har det: C.

För att para ihop funktionerna 1 och 3 med rätt derivata undersöker vi var A och B är positiva respektive negativa. Det ger information om var motsvarande funktion är växande och avtagande. Vi kollar på derivata A.

Derivatan är negativ där x<0 och positiv där x>0. Motsvarande funktion är alltså avtagande för negativa x och växande för positiva x. Detta passar in på funktion 3.

Funktion 3 hör alltså ihop med derivata A. Uteslutningsmetoden ger då att funktion 1 hör ihop med derivata B. Man kan bekräfta det genom att se att derivatan är positiv på det intervall där funktionen är växande och negativ där funktionen är avtagande.

En funktion är avtagande på intervall där derivatan är negativ. Eftersom vi har derivatans graf kan vi använda den för att avgöra derivatans tecken.

Grafen är under x-axeln för alla x mindre än -1. När man anger intervall där funktionen är växande/avtagande brukar man även ta med de x där derivatan är 0. Detta betyder att funktionen är avtagande för x≤ -1. På motsvarande sätt är funktionen växande för x≥ -1.

Vi gör på samma sätt och tittar på när derivatans graf befinner sig under respektive över x-axeln.

Derivatan är positiv mellan x=-3 och x=5. Det betyder att g(x) är växande på intervallet -3≤ x≤ 5. På motsvarande sätt är den avtagande för x≤ -3 och x≥ 5.

När derivatan är 0 är funktionens lutning 0, dvs. h(x) når en stationär punkt. Från grafen ser vi att derivatan skär x-axeln i x=2.

Funktionen når alltså en stationär punkt i x=2. Från grafen ser vi även att derivatan befinner sig under x-axeln (negativ derivata) när x<2 och ovanför x-axeln (positiv derivata) när x>2.

Funktionens lutning måste alltså vara avtagande innan den stationära punkten och växande efter vilket betyder att h(x) har en minimipunkt i x=2. Vi kan dock inte säga något om skärningspunkten med y-axeln eller den exakta formen på kurvan, men den skulle t.ex. kunna se ut så här.

Grafen visar derivatan till f(x), dvs. f(x):s lutning för olika x. Eftersom derivatan antar värdet 2 för alla x måste funktionens lutning vara konstant 2. Den enda grafen som har en konstant lutning är en rät linje med k-värdet 2. Funktionen kan alltså skrivas på formen f(x)=2x+m. Kan vi även bestämma linjens m-värde, dvs. skärningspunkten med y-axeln? Nej, derivatan anger enbart funktionens lutning. Två räta linjer med samma lutning har alltså samma derivata även om de har olika m-värden. Sammanfattningsvis kan vi alltså beskriva grafen till f(x) som en linjär funktion med lutningen k=2.

Tecknet på derivatans graf talar om hur funktionens graf beter sig.

Vi kan börja med att undersöka g:s nollställen för att se om de sammanfaller med f:s stationära punkter. Det verkar inte så.

Vi undersöker istället om f:s nollställen sammanfaller med g:s stationära punkter. Vi ser att de gör det.

Utifrån detta kan vi dra slutsatsen att om någon graf är derivata till den andra så är det f som är derivata till g. Men vi bör också undersöka om f:s tecken stämmer med g:s utseende utöver nollställena. Grafen g följer utseendet avtagande – växande – avtagande – växande.

Om vi undersöker när f:s graf ligger över respektive under x-axeln, dvs. när den antar positiva respektive negativa y-värden, ser vi att teckenväxlingen är positiv – negativ – positiv – negativ.

f:s teckenväxling är alltså omvänd mot funktionsgrafens utseende, dvs. positiv när grafen avtar och negativ där den växer. Grafen till f är därför inte derivata till g. Slutsatsen är alltså att ingen av graferna är den andras derivata.