Cosinussatsen

För att bestämma omkretsen på ABCD måste vi ta reda på sidorna AB och AD. Vi kan se att triangel ABD har lika stora vinklar, vilket innebär att den även har lika långa sidor. Genom att bestämma en av denna triangels sidor får vi alltså reda på både AB och AD. Vi ser att sida BD är gemensam för trianglarna ABD och BCD och eftersom övriga sidor i triangel BCD, samt en vinkel, är kända så kan vi beräkna BD med cosinussatsen.

Eftersom den omkrets vi ska visa är uttryckt på exakt form behåller vi även det exakta värdet på sida a. Som redan konstaterats är BD=AB=AD.

För att bestämma fyrhörningens omkrets adderar vi sidlängderna och förenklar: sqrt(4.75)+sqrt(4.75)+1+2.5= 2sqrt(4.75)+3.5 le..

Stavarna bör vara lika långa, och då bildar de en likbent triangel mot backen. Eftersom ena staven är lodrät är den precis vinkelrät mot horisontalplanet som markerats med den streckade linjen. Vinkeln v motsvarar då backens lutning.

Eftersom triangelns alla sidlängder är kända kan vi bestämma vinkeln u med cosinussatsen. Tänk på att 1.5 är motstående sida till vinkeln u, och därför ska 1.5 stå på andra sidan likhetstecknet.

I bilden ser vi att u och v tillsammans bildar en rät vinkel, dvs. u + v = 90^(∘) ⇔ v = 90^(∘) - u. Nu när vi vet att u≈ 71^(∘) får vi v ≈ 90^(∘) - 71^(∘) = 19^(∘). Backen lutar alltså ungefär 19^(∘).

Vi kan bestämma cos(v) genom att först ta reda på den gröna triangelns sidor och sedan sätta in längden på dessa i cosinussatsen och lösa ut cos(v). Vi kallar den motstående sidan till vinkel v för a och övriga för b och c, enligt figuren.

Vi bestämmer en sida i taget.

Sida a

Vi kan se att sidan a är gemensam för den gröna och gula triangeln, och eftersom vi känner till den gula triangelns area samt vinkeln mellan sidorna 1.5 och a kan vi använda areasatsen för att bestämma a. Vi sätter in de kända värdena och löser ut a. Tänk på att sin(60^(∘)) ska ersättas med sitt exakta värde eftersom vi ska bestämma värdet på cos(v) exakt.

Sidan a är alltså 163 le. Nu avgör vi längden på sida b.

Sida b

För att bestämma sida b tar vi istället hjälp av den blå triangeln. Vi känner till en sida och dess motstående vinkel samt den vinkel som är motstående till sida b. Med denna information kan vi använda sinussatsen. Vi sätter in de värden vi känner till och löser ut b.

Nu har vi bestämt sida b, vilken alltså är lika med 4sqrt(2) le. Nu till sista sidan, c.

Sida c

Vi kan se att sidan c utgör diameter i den röda halvcirkeln, och eftersom vi känner till arean av halvcirkeln kan vi använda areaformeln för en cirkel, A=π r^2, för att bestämma c. Vi dividerar dock formeln med 2 eftersom vi har en halvcirkel: A_(halvcirkel)=π r^2/2. Radien r kan vi skriva som c2. Vi sätter in den kända arean i formeln och löser ut c.

Radien är 1.5 så diametern c är 3 le. Nu kan vi bestämma cos(v).

cos(v)

Vi sätter in längderna på sidorna a, b och c i cosinussatsen och löser ut cos(v). Tänk på att den sida som är motstående till vinkel v, dvs. sida a, ska stå i vänsterledet.

Det exakta värdet på cos(v) är alltså - 103sqrt(2)216.

Eftersom vi redan känner till cos(v) kan vi direkt med hjälp av arccos bestämma vinkel v.

Vinkel v är alltså ungefär 132^(∘).

Eftersom vi vill att vinkel C ska vara 60^(∘) kan vi sätta in det direkt. Vi kommer då hitta de längder på a och b som gäller när vinkel C har just den storleken.

Med cosinussatsen kan vi ställa upp följande samband mellan triangelns sidor och vinkeln: (sqrt(31))^2=a^2+b^2-2abcos(60^(∘)). Eftersom vi har två okända sidor behöver vi ytterligare ett samband för att kunna bestämma dem. triangelns omkretsen är 11+sqrt(31) vilket innebär att a+b+sqrt(31)=11+sqrt(31). Från detta kan vi lösa ut a eller b och sedan sätta in det i sambandet vi fick med hjälp av cosinussatsen. Här löser vi ut a.

Nu sätter vi in detta uttryck i (sqrt(31))^2=a^2+b^2-2abcos(60^(∘)), vilket gör att vi kan bestämma längden på b.

Denna andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln.

Sidan b kan alltså vara 6 le. eller 5 le.. Till sist bestämmer vi a genom att sätta in värdena på b i sambandet a=11-b. Vi får då två möjliga längder även på a: a=11&-6=5le. &eller a=11&-5=6le. Slutsatsen är alltså att det finns två möjliga situationer: antingen är a=5 le. och b=6 le. eller tvärtom.

Vi ritar en triangel som bildas av staget, flaggstången och väggen när vinkeln v är 30^(∘). Triangelns hörn vid väggfästet kallar vi för V, stagets fäste i flaggstången för F och den motstående sidan till F för f som nedan.

Med hjälp av cosinussatsen kan vi lösa ut f.

Nu använder vi pq-formeln för att lösa ut f.

Avståndet kan alltså vara både 0.24 m och 1.84 m.

Vi kan även använda sinussatsen för att bestämma den okända sidan. Genom att beräkna vinkeln vid väggfästet, dvs. V kan vi beräkna vinkel F och därefter sidan f.

Genom att subtrahera de kända vinklarna från 180^(∘) kan vi beräkna F: F=180^(∘)-30^(∘)-37^(∘) = 113^(∘). Nu används sinussatsen för att beräkna f.

Sidan f är ca 1.84 m. Men enligt sambandet sin(v)=sin(180^(∘)-v) måste vi även undersöka om vinkeln vid väggfästet skulle kunna vara 180^(∘)-37^(∘) = 143^(∘). Eftersom 143^(∘)+30^(∘)=173^(∘) finns det "grader över" till vinkeln F vilket innebär att vi kan skapa två olika trianglar. Om summan av P och V är 173^(∘) kan vi beräkna F genom att subtrahera detta från 180^(∘). F=180^(∘)-173^(∘) = 7^(∘). Vi kan nu beräkna f med sinussatsen.

Sidan f skulle alltså även kunna vara 0.24 m.

Vi börjar med att rita fyrhörningen i ett koordinatsystem.

För att bestämma arean delar vi upp figuren i två trianglar. Vi bestämmer varje enskild triangels area, A_1 och A_2, och summerar dem sedan för att få hela fyrhörningens area. Vi börjar med att bestämma trianglarnas sidlängder, här benämnda a-e.

Sida a

Längden på sida a kan vi avläsa i figuren eftersom sidan ligger längs y-axeln. Den startar i origo och slutar där y=3, vilket innebär att a är 3 le. Övriga sidor kan vi bestämma med avståndsformeln.

Sida b

Vi sätter in sida b:s ändpunkter, dvs. (0,0) och (2,-1), i avståndsformeln.

Sida b är alltså sqrt(5) le.

Sida c

Nu sätter vi istället in punkterna (2,-1) och (5,2).

Längden på sida c är alltså sqrt(18) le.

Sida d

Ändpunkterna på sida d är (5,2) och (0,3).

Sida d är sqrt(26) le.

Sida e

Den sista sidan bestämmer vi med hjälp av punkterna (5,2) och (0,0).

Sida e är alltså sqrt(29) le.

Area av trianglarna

Eftersom vi känner till trianglarnas sidor kan vi nu bestämma en vinkel i varje triangel med cosinussatsen och sedan bestämma trianglarnas respektive area med areasatsen. Exempelvis kan vi bestämma de markerade vinklarna u och v.

Vi börjar med vinkel u. Tänk på att sidan sqrt(26) är motstående sida till vinkel u och ska därför stå i vänsterled när vi sätter in värden i cosinussatsen.

Eftersom storleken på vinkel u ska användas för att bestämma arean A_1 behåller vi det exakta värdet på vinkeln för att undvika avrundningsfel. Vi sätter in u samt de intilliggande sidorna 3 och sqrt(29) i areasatsen och slår in på räknaren. Det ger oss arean A_1=3sqrt(29)sin(arccos( 2sqrt(29)))/2=7.5a.e. Nu bestämmer vi vinkel v.

För att bestämma A_2 så exakt som möjligt behåller vi även denna gång det exakta värdet på vinkeln. Arean blir A_2=sqrt(5)sqrt(29)sin(arccos( 8sqrt(145)))/2=4.5a.e. Till sist summerar vi arean av de två trianglarna för att få den totala arean av fyrhörningen. A_1+A_2=7.5+4.5=12 a.e. Fyrhörningens area är alltså 12 a.e.