Cosinussatsen

Det är inte självklart var vi ska börja någonstans, men vi börjar med att skissa en godtycklig triangel.

Sedan ser vi att uttrycken har vissa likheter med cosinussatsen: a^2=b^2+c^2-2bccos(A). Vi provar att skriva om uttrycken så att de blir mer lika cosinussatsen. Vi börjar med det första uttrycket och skriver om det så att a^2 blir ensamt i ena ledet.

Nu liknar uttrycket cosinussatsen ganska mycket. Vi saknar dock 2:an som står multiplicerad med bc, men kan få den genom att faktorisera 0.38 som 2*0.19: a^2=b^2+c^2-2bc * 0.19. Frågan är nu vad värdet 0.19 representerar? Om vi jämför uttrycket med cosinussatsen ser vi att det är faktorn cos(A) som brukar stå på denna plats. Det är därför rimligt att anta att 0.19 är lika med cos(A). Eftersom vi känner till cosinusvärdet för vinkel A kan vi bestämma den med hjälp av arcuscosinus.

Vinkel A är alltså ca 79^(∘), men vi behåller många decimaler eftersom vi ska räkna vidare med ∧ A. Om vi kan bestämma vinkel B på samma sätt kan vi även bestämma den sökta vinkeln C.

Vi provar nu att göra samma typ av omskrivningar på det andra givna uttrycket.

Precis som tidigare faktoriserar vi värdet i högerled för att få den 2:a som saknas. Det ger oss uttrycket b^2=a^2+c^2-2ac * 0.74. Värdet 0.74 motsvarar även nu ett cosinusvärde, men för vilken vinkel? Jo, för den vinkel som är motstående till sidan i vänsterledet, dvs. b. Vi sätter därför 0.74 lika med cos(B) och löser ut vinkel B.

Vinkel B är därför ca 42^(∘). Till sist kan vi med triangelns vinkelsumma bestämma den sökta vinkeln, C: C=180 ^(∘) - 79.047^(∘)-42.269 ≈ 59^(∘). Vinkel C är alltså ca 59^(∘).

Vi börjar med att dra en sträcka mellan punkt A och C så att det bildas en triangel där v utgör en av dess vinklar. Vi kan kalla triangelns sidor a, b och c.

Om vi bestämmer triangelns sidor kommer vi sedan kunna beräkna vinkeln v med cosinussatsen. Vi bestämmer en sida i taget.

Sida a

Vi kan se att sida a är hypotenusa i en rätvinklig triangel där kateterna motsvarar kubens sidlängd, dvs. x le.

Vi bestämmer därför ett uttryck för a med Pythagoras sats.

Sida a kan alltså uttryckas som xsqrt(2) le.

Sida b

Sida b är också hypotenusa i en rätvinklig triangel, så vi kan bestämma även denna sida med Pythagoras sats.

Notera att den ena kateten är halva kubens sida, dvs. x2.

Sida b är alltså xsqrt(5)2 le.

Sida c

Den tredje sidan, c, utgör också hypotenusa i en rätvinklig triangel. Genom att rita en diagonal, som vi kallar d, på kubens botten ser vi det tydligare.

Så hur lång är d? Notera att vi redan bestämt längden på en diagonal längs en sida i kuben: sida a, som är xsqrt(2) le. Och eftersom alla diagonaler längs sidorna i en kub är lika långa kommer även d att vara xsqrt(2) le.

Nu har vi uttryck för båda kateterna och kan sätta in dessa i Pythagoras sats för att bestämma c.

Sida c är alltså 3x2 le. Nu känner vi till samtliga sidor i triangeln och kan bestämma vinkel v.

Vinkel v

Som tidigare nämnts är det cosinussatsen vi ska använda för att bestämma v. Tänk på att det är motstående sida till vinkel v, dvs. sida c, som ska skrivas i vänsterled när vi sätter in uttrycken för sidorna i satsen.

Nu använder vi arccos för att lösa ut v.

Vinkel v är alltså ca 72^(∘).