Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)

Längderna a,a, bb och cc är triangelns sidor och AA är den motstående vinkeln till sidan a.a.

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

info
Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel ABC.ABC. I triangeln ritar man ut en höjd, h,h, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser xx och y.y.

Dessa sidor, xx och y,y, kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus. cos(A)=xbx=bcos(A)cos(B)=yay=acos(B)\begin{aligned} &\cos(A)=\dfrac{x}{b}\quad \Rightarrow \quad x=b \cos(A) \\ \\ &\cos(B)=\dfrac{y}{a}\quad \Rightarrow \quad y=a \cos(B) \end{aligned} Man kan sedan ersätta xx och yy med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer: b2=h2+(bcos(A))2a2=h2+(acos(B))2.\begin{aligned} b^2&=h^2+(b \cos(A))^2\\[0.7em] a^2&=h^2+(a \cos(B))^2. \end{aligned} Eftersom h2h^2 finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

{b2=h2+(bcos(A))2(I)a2=h2+(acos(B))2(II)\begin{cases}b^2=h^2+(b \cos(A))^2 & \, \text {(I)}\\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 & \text {(II)}\end{cases}
{b2(bcos(A))2=h2a2=h2+(acos(B))2\begin{cases}b^2-(b \cos(A))^2=h^2 \\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 \end{cases}
{h2=b2(bcos(A))2a2=h2+(acos(B))2\begin{cases}h^2=b^2-(b \cos(A))^2 \\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 \end{cases}
{h2=b2(bcos(A))2a2=b2(bcos(A))2+(acos(B))2\begin{cases}h^2=b^2-(b \cos(A))^2 \\ a^2={\color{#0000FF}{b^2-(b \cos(A))^2}}+(a \cos(B))^2 \end{cases}
Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel AA försöker man skriva om uttrycket acos(B)a\cos(B) så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna bcos(A)b \cos(A) och acos(B)a\cos(B) är lika med c.c. bcos(A)+acos(B)=cacos(B)=cbcos(A)\begin{gathered} b \cos(A)+a\cos(B)=c\\ \Leftrightarrow\\ a\cos(B)=c-b\cos(A) \end{gathered} Till sist ersätter man acos(B)a\cos(B) med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
a2=b2(bcos(A))2+(acos(B))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+(a \cos(B))^2
a2=b2(bcos(A))2+(cbcos(A))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+({\color{#0000FF}{c-b \cos(A)}})^2
a2=b2(bcos(A))2+c22cbcos(A)+(bcos(A))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+c^2-2cb \cos(A)+(b \cos(A))^2
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.
Uppgift

I en triangel XYZXYZ känner man till att sidorna XY=8.6XY=8.6 och YZ=5.6.YZ=5.6. Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln YY är 48.48^\circ. Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Lösning

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln XYZ.XYZ. Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla a,a, eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.

Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
a2=8.62+5.6228.65.6cos(48)a^2=8.6^2+5.6^2-2\cdot8.6\cdot5.6\cos(48^\circ)
a2=73.96+31.3696.32cos(48)a^2=73.96+31.36-96.32\cos(48^\circ)
a2=105.3296.32cos(48)a^2=105.32-96.32\cos(48^\circ)
a=±105.3296.32cos(48)a=\pm\sqrt{105.32-96.32\cos(48^\circ)}
a>0 a \gt 0
a=105.3296.32cos(48)a=\sqrt{105.32-96.32\cos(48^\circ)}
a=6.39291a=6.39291\ldots
a6.4a\approx6.4
Triangelns tredje sida, XZ,XZ, är alltså ca 6.46.4 le.
info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm vinkel v.v. Avrunda till hela grader.

Lösning
När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här v,v, vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden 4.5.4.5. Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut vv med hjälp av arccos.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
4.52=5.22+4225.24cos(v)4.5^2=5.2^2+4^2-2\cdot5.2\cdot4 \cos(v)
20.25=27.04+1641.6cos(v)20.25=27.04+16-41.6 \cos(v)
20.25=43.0441.6cos(v)20.25=43.04-41.6 \cos(v)
20.25+41.6cos(v)=43.0420.25+41.6 \cos(v)=43.04
41.6cos(v)=22.7941.6\cos(v)=22.79
cos(v)=22.7941.6\cos(v)=\dfrac{22.79}{41.6}
v=arccos(22.7941.6)v=\arccos\left(\dfrac{22.79}{41.6}\right)
v=56.78128v = 56.78128\ldots ^\circ
v57v \approx 57^\circ
Vinkel vv är alltså ca 57.57^\circ.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward