Logga in
| 4 sidor teori |
| 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
a2=b2+c2−2bccos(A)
Längderna a, b och c är triangelns sidor och A är den motstående vinkeln till sidan a.
För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel ABC. I triangeln ritar man ut en höjd, h, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser x och y.
(I): VL−(bcos(A))2=HL−(bcos(A))2
(I): Omarrangera ekvation
(II): h2=b2−(bcos(A))2
acos(B)=c−bcos(A)
Utveckla med andra kvadreringsregeln
Förenkla termer
I en triangel XYZ känner man till att sidorna XY=8.6 och YZ=5.6. Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln Y är 48∘. Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.
Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln XYZ. Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla a, eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.
Sätt in värden
Beräkna potens & produkt
Addera termer
VL=HL
a>0
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
Bestäm vinkel v. Avrunda till hela grader.
Sätt in uttryck
Beräkna potens & produkt
Förenkla termer
VL+41.6cos(v)=HL+41.6cos(v)
VL−20.25=HL−20.25
VL/41.6=HL/41.6
arccos(VL)=arccos(HL)
Slå in på räknare
Avrunda till närmaste heltal
Bestäm den okända sidan i triangeln. Avrunda till 1 decimal.
Eftersom vi känner till två av triangelns sidor och vinkeln mellan dessa kan vi använda cosinussatsen för att lösa ut den sista sidan, x. Notera att x är motstående sida till den kända vinkeln och därför ska stå i vänsterled när vi sätter in värden i satsen.
Den okända sidan är ca 1.6 cm.
Samma sak igen. Vi känner till två sidor och dess mellanliggande vinkel så vi kan använda cosinussatsen för att lösa ut den okända sidan.
Den okända sidan är ca 2.8 cm.
Figuren visar triangeln ABC. Beräkna längden av sträckan AC.
Vi känner till sidan AB, sidan BC samt den mellanliggande vinkeln till dessa sidor. Med denna information kan vi bestämma den sista sidan, som vi kan kalla b, med cosinussatsen.
Den sista sidan är ca 15 cm.
Paavo ska bestämma sida x i triangeln ABC.
Han använder cosinussatsen för att lösa uppgiften.
I cosinussatsen är den sida som står i vänsterledet motstående sida till vinkeln i högerledet. I figuren är vinkeln 36^(∘) och sidan 2 motstående, så för att bestämma x måste man alltså ställa upp en ekvation med sidlängden 2 i vänsterledet: 2^2=x^2+3^2-2* x*3cos(36^(∘)). Vi jämför denna korrekta uppställning med första steget i Paavos beräkning. x^2=2^2+3^2-2* 2*3cos(36^(∘)).
Han har satt in den okända sidan x i vänsterledet. Detta får följdfel i hans uträkning och är anledningen till att hans svar inte stämmer överens med facit.
Bestäm ∧C. Avrunda till heltal.
Bestäm ∧B. Avrunda till heltal.
Eftersom vi känner till tre sidor i triangeln kan vi använda cosinussatsen för att beräkna någon av vinklarna. Vi ska bestämma ∧ C så vi sätter in sidorna a och b i högerledet och c i vänsterledet. Kom ihåg att c är den motstående sidan till vinkel C, dvs. 5 le. i det här fallet.
Vinkel C är alltså ca 110^(∘).
Vi bestämmer ∧ B med cosinussatsen genom att sätta in sidorna a och c i högerledet och b i vänsterledet och löser därefter ut ∧ B.
Vinkel B är alltså ca 42^(∘).
I triangeln ABC är a,b och c motstående sidor till vinklarna A,B respektive C. Man vet att a=2, b=3.6 och c=4.
Vi ritar en triangel som motsvarar beskrivningen i uppgiften.
Vi känner till triangelns samtliga sidor vilket innebär att man kan beräkna valfri vinkel i triangeln med cosinussatsen. Eftersom vi ska bestämma vinkel A sätter vi in sidorna b och c i högerledet och a i vänsterledet.
Vinkel A är cirka 30^(∘).
Nu kan man använda antingen cosinussatsen eller sinussatsen. Vi väljer cosinussatsen.
Vinkel B är cirka 64^(∘).
Även denna vinkel kan vi beräkna med cosinussatsen eller sinussatsen men eftersom vi vet storleken på de två andra kan vi beräkna den sista vinkeln med hjälp av triangelns vinkelsumma:
C=180^(∘)-64^(∘)-30^(∘)=86^(∘).
Bestäm triangelns omkrets. Avrunda till en decimal.
För att beräkna omkretsen måste vi först bestämma längden på sidan x. Eftersom vi känner till övriga två sidor samt en vinkel kan vi använda cosinussatsen. Notera att x dock inte är motstående sida till den kända vinkeln och därför inte ska skrivas i vänsterledet när vi sätter in värdena i satsen.
Denna andragradsekvation löser vi med pq-formeln. Vi låter koefficienten framför x, dvs. -4.4cos(72^(∘)), stå kvar i exakt form för att undvika avrundningsfel.
Eftersom en sträcka inte kan vara negativ bortser vi från den negativa lösningen. Sida x är alltså ungefär 4.2 le. Omkretsen bestämmer vi genom att summera de tre sidornas längder:
O=4.1+2.2+4.20576... ≈ 10.5.
Triangelns omkrets är alltså ca 10.5 le.
En triangel har sidorna 5.0 cm, 6.0 cm och 7.0 cm. Beräkna triangelns största vinkel. Svara i hela grader.
Vi känner till alla sidor i triangeln och kan använda cosinussatsen för att bestämma vinklarna. Men måste vi bestämma alla vinklar för att avgöra vilken som är störst? Nej, det behövs faktiskt inte eftersom en triangels största vinkel alltid är motstående vinkel till dess längsta sida. Vi behöver alltså bara bestämma vinkeln som är motstående till sidan 7 cm. Kom ihåg att denna ska stå i vänsterledet när vi sätter in värden.
Triangelns största vinkel är alltså ca 78^(∘). Notera att det också hade varit möjligt att ta reda på denna vinkel genom att bestämma två av trianglarnas vinklar med cosinussatsen, den tredje med triangelns vinkelsumma och till sist jämföra storleken på dem.