mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometri

Cosinussatsen


Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

Längderna och är triangelns sidor och är den motstående vinkeln till sidan

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel I triangeln ritar man ut en höjd, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser och

Dessa sidor, och kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus. Man kan sedan ersätta och med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer: Eftersom finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel försöker man skriva om uttrycket så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna och är lika med Till sist ersätter man med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

I en triangel känner man till att sidorna och Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln är Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Visa Lösning
Lösning

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.

Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.
Triangelns tredje sida, är alltså ca le.
fullscreen
Uppgift

Bestäm vinkel Avrunda till hela grader.

Visa Lösning
Lösning
När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut med hjälp av arccos.
Vinkel är alltså ca
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward