Cosinussatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)

Längderna a,a, bb och cc är triangelns sidor och AA är den motstående vinkeln till sidan a.a.

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel ABC.ABC. I triangeln ritar man ut en höjd, h,h, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser xx och y.y.

Dessa sidor, xx och y,y, kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus. cos(A)=xbx=bcos(A)cos(B)=yay=acos(B)\begin{aligned} &\cos(A)=\dfrac{x}{b}\quad \Rightarrow \quad x=b \cos(A) \\ \\ &\cos(B)=\dfrac{y}{a}\quad \Rightarrow \quad y=a \cos(B) \end{aligned} Man kan sedan ersätta xx och yy med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer: b2=h2+(bcos(A))2a2=h2+(acos(B))2.\begin{aligned} b^2&=h^2+(b \cos(A))^2\\[0.7em] a^2&=h^2+(a \cos(B))^2. \end{aligned} Eftersom h2h^2 finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

{b2=h2+(bcos(A))2(I)a2=h2+(acos(B))2(II)\begin{cases}b^2=h^2+(b \cos(A))^2 & \, \text {(I)}\\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 & \text {(II)}\end{cases}
{b2(bcos(A))2=h2a2=h2+(acos(B))2\begin{cases}b^2-(b \cos(A))^2=h^2 \\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 \end{cases}
{h2=b2(bcos(A))2a2=h2+(acos(B))2\begin{cases}h^2=b^2-(b \cos(A))^2 \\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 \end{cases}
{h2=b2(bcos(A))2a2=b2(bcos(A))2+(acos(B))2\begin{cases}h^2=b^2-(b \cos(A))^2 \\ a^2={\color{#0000FF}{b^2-(b \cos(A))^2}}+(a \cos(B))^2 \end{cases}
Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel AA försöker man skriva om uttrycket acos(B)a\cos(B) så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna bcos(A)b \cos(A) och acos(B)a\cos(B) är lika med c.c. bcos(A)+acos(B)=cacos(B)=cbcos(A)\begin{gathered} b \cos(A)+a\cos(B)=c\\ \Leftrightarrow\\ a\cos(B)=c-b\cos(A) \end{gathered} Till sist ersätter man acos(B)a\cos(B) med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
a2=b2(bcos(A))2+(acos(B))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+(a \cos(B))^2
a2=b2(bcos(A))2+(cbcos(A))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+({\color{#0000FF}{c-b \cos(A)}})^2
a2=b2(bcos(A))2+c22cbcos(A)+(bcos(A))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+c^2-2cb \cos(A)+(b \cos(A))^2
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.
Uppgift

I en triangel XYZXYZ känner man till att sidorna XY=8.6XY=8.6 och YZ=5.6.YZ=5.6. Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln YY är 48.48^\circ. Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Lösning

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln XYZ.XYZ. Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla a,a, eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.

Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
a2=8.62+5.6228.65.6cos(48)a^2=8.6^2+5.6^2-2\cdot8.6\cdot5.6\cos(48^\circ)
a2=73.96+31.3696.32cos(48)a^2=73.96+31.36-96.32\cos(48^\circ)
a2=105.3296.32cos(48)a^2=105.32-96.32\cos(48^\circ)
a=±105.3296.32cos(48)a=\pm\sqrt{105.32-96.32\cos(48^\circ)}
a>0 a \gt 0
a=105.3296.32cos(48)a=\sqrt{105.32-96.32\cos(48^\circ)}
a=6.39291a=6.39291\ldots
a6.4a\approx6.4
Triangelns tredje sida, XZ,XZ, är alltså ca 6.46.4 le.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm vinkel v.v. Avrunda till hela grader.

Lösning
När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här v,v, vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden 4.5.4.5. Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut vv med hjälp av arccos.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
4.52=5.22+4225.24cos(v)4.5^2=5.2^2+4^2-2\cdot5.2\cdot4 \cos(v)
20.25=27.04+1641.6cos(v)20.25=27.04+16-41.6 \cos(v)
20.25=43.0441.6cos(v)20.25=43.04-41.6 \cos(v)
20.25+41.6cos(v)=43.0420.25+41.6 \cos(v)=43.04
41.6cos(v)=22.7941.6\cos(v)=22.79
cos(v)=22.7941.6\cos(v)=\dfrac{22.79}{41.6}
v=arccos(22.7941.6)v=\arccos\left(\dfrac{22.79}{41.6}\right)
v=56.78128v = 56.78128\ldots ^\circ
Avrunda till närmaste heltal
v57v \approx 57^\circ
Vinkel vv är alltså ca 57.57^\circ.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den okända sidan i respektive triangel. Avrunda till 11 decimal.


a


b
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar triangeln ABC.ABC. Beräkna längden av sträckan AC.AC.

Nationella provet HT06 MaD
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Paavo ska bestämma sida xx i triangeln ABC.ABC.

Han använder cosinussatsen för att lösa uppgiften.

Uppställning av cosinussatsen

När han kontrollerar sitt svar märker han dock att det är fel. Vad kan ha gått snett?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm C\wedge C. Avrunda till heltal.



b

Bestäm B\wedge B. Avrunda till heltal.


1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangeln ABCABC är a,ba, \, b och cc motstående sidor till vinklarna A,BA, \, B respektive CC. Man vet att a=2,a=2, b=3.6b=3.6 och c=4.c=4.


a

Beräkna vinkeln A. A. Avrunda till heltal.

b

Beräkna vinkeln B.B. Avrunda till heltal.

c

Beräkna vinkeln C.C. Avrunda till heltal.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm triangelns omkrets. Avrunda till en decimal.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En triangel har sidorna 5.05.0 cm, 6.06.0 cm och 7.07.0 cm. Beräkna triangelns största vinkel.

Nationella provet VT02 MaD
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att ABCDABCD har omkretsen 24.75+3.52\sqrt{4.75}+3.5 le.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Thorvald är på skidtur och vill lista ut hur brant det är där han står. Han sätter då ena staven, på 1.51.5 m, lodrätt ner i backen (inte vinkelrätt!). Den andra sätts lite högre upp i backen så att handtagen precis möts. Sedan mäter han avståndet mellan stavarnas spetsar och får 1.01.0 m. Hur brant är backen (i grader)?

Skidstavar.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Arean av den gula triangeln är 232\sqrt{3} ae. och arean av halvcirkeln är 9π8\frac{9\pi}{8} ae.


a

Bestäm det exakta värdet på cos(v).\cos(v).

b

Bestäm vinkel v.v. Avrunda till heltal.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Triangeln har omkretsen 11+3111+\sqrt{31} le. Hur långa måste sidorna aa och bb vara för att vinkel CC ska vara 60?60^\circ?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
NP-flagga.svg

Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden 1.01.0 m. Butiksägaren ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln 3030^\circ med väggen. Väggfästet placeras rakt ovanför punkten P.P. Bestäm avståndet mellan PP och väggfästets nya läge.

Nationella provet VT02 MaD
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den exakta arean av fyrhörningen vars hörn ligger i koordinaterna (0,0),(0,0), (0,3),(0,3), (2,-1)(2,\text{-}1) och (5,2).(5,2).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en triangel ABCABC gäller det att aa är motstående sida till vinkel A,A, att bb är motstående sida till vinkel BB och att cc är motstående sida till vinkel C.C. Bestäm vinkel CC givet att b2+c2a2bc=0.38ocha2+c2b2ac=1.48.\begin{aligned} &\dfrac{b^2+c^2-a^2}{bc}=0.38 \quad \text{och} \quad \dfrac{a^2+c^2-b^2}{ac}=1.48.\\%[1.6em] \end{aligned} Avrunda till heltal.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kuben har sidlängden xx le. Punkterna AA och BB är placerade i två av kubens hörn och punkt CC är placerad mitt på en av kubens kanter. Bestäm storleken på vinkel vv. Avrunda till heltal.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}