Cosinussatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)

Längderna a,a, bb och cc är triangelns sidor och AA är den motstående vinkeln till sidan a.a.

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel ABC.ABC. I triangeln ritar man ut en höjd, h,h, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser xx och y.y.

Dessa sidor, xx och y,y, kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus. cos(A)=xbx=bcos(A)cos(B)=yay=acos(B)\begin{aligned} &\cos(A)=\dfrac{x}{b}\quad \Rightarrow \quad x=b \cos(A) \\ \\ &\cos(B)=\dfrac{y}{a}\quad \Rightarrow \quad y=a \cos(B) \end{aligned} Man kan sedan ersätta xx och yy med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer: b2=h2+(bcos(A))2a2=h2+(acos(B))2.\begin{aligned} b^2&=h^2+(b \cos(A))^2\\[0.7em] a^2&=h^2+(a \cos(B))^2. \end{aligned} Eftersom h2h^2 finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

{b2=h2+(bcos(A))2(I)a2=h2+(acos(B))2(II)\begin{cases}b^2=h^2+(b \cos(A))^2 & \, \text {(I)}\\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 & \text {(II)}\end{cases}
{b2(bcos(A))2=h2a2=h2+(acos(B))2\begin{cases}b^2-(b \cos(A))^2=h^2 \\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 \end{cases}
{h2=b2(bcos(A))2a2=h2+(acos(B))2\begin{cases}h^2=b^2-(b \cos(A))^2 \\ a^2=h^2+(a \cos(B))^2 \end{cases}
{h2=b2(bcos(A))2a2=b2(bcos(A))2+(acos(B))2\begin{cases}h^2=b^2-(b \cos(A))^2 \\ a^2={\color{#0000FF}{b^2-(b \cos(A))^2}}+(a \cos(B))^2 \end{cases}
Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel AA försöker man skriva om uttrycket acos(B)a\cos(B) så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna bcos(A)b \cos(A) och acos(B)a\cos(B) är lika med c.c. bcos(A)+acos(B)=cacos(B)=cbcos(A)\begin{gathered} b \cos(A)+a\cos(B)=c\\ \Leftrightarrow\\ a\cos(B)=c-b\cos(A) \end{gathered} Till sist ersätter man acos(B)a\cos(B) med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
a2=b2(bcos(A))2+(acos(B))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+(a \cos(B))^2
a2=b2(bcos(A))2+(cbcos(A))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+({\color{#0000FF}{c-b \cos(A)}})^2
a2=b2(bcos(A))2+c22cbcos(A)+(bcos(A))2a^2=b^2-(b \cos(A))^2+c^2-2cb \cos(A)+(b \cos(A))^2
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.
Uppgift

I en triangel XYZXYZ känner man till att sidorna XY=8.6XY=8.6 och YZ=5.6.YZ=5.6. Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln YY är 48.48^\circ. Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Lösning

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln XYZ.XYZ. Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla a,a, eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.

Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
a2=8.62+5.6228.65.6cos(48)a^2=8.6^2+5.6^2-2\cdot8.6\cdot5.6\cos(48^\circ)
a2=73.96+31.3696.32cos(48)a^2=73.96+31.36-96.32\cos(48^\circ)
a2=105.3296.32cos(48)a^2=105.32-96.32\cos(48^\circ)
a=±105.3296.32cos(48)a=\pm\sqrt{105.32-96.32\cos(48^\circ)}
a>0 a \gt 0
a=105.3296.32cos(48)a=\sqrt{105.32-96.32\cos(48^\circ)}
a=6.39291a=6.39291\ldots
a6.4a\approx6.4
Triangelns tredje sida, XZ,XZ, är alltså ca 6.46.4 le.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm vinkel v.v. Avrunda till hela grader.

Lösning
När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här v,v, vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden 4.5.4.5. Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut vv med hjälp av arccos.
a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)
4.52=5.22+4225.24cos(v)4.5^2=5.2^2+4^2-2\cdot5.2\cdot4 \cos(v)
20.25=27.04+1641.6cos(v)20.25=27.04+16-41.6 \cos(v)
20.25=43.0441.6cos(v)20.25=43.04-41.6 \cos(v)
20.25+41.6cos(v)=43.0420.25+41.6 \cos(v)=43.04
41.6cos(v)=22.7941.6\cos(v)=22.79
cos(v)=22.7941.6\cos(v)=\dfrac{22.79}{41.6}
v=arccos(22.7941.6)v=\arccos\left(\dfrac{22.79}{41.6}\right)
v=56.78128v = 56.78128\ldots ^\circ
Avrunda till närmaste heltal
v57v \approx 57^\circ
Vinkel vv är alltså ca 57.57^\circ.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}