3c
Kurs 3c Visa detaljer
6. Cosinussatsen
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 
6. 

Cosinussatsen

Cosinussatsen är en trigonometrisk princip som etablerar en relation mellan sidorna och en av vinklarna i en godtycklig triangel. Den är särskilt användbar när man känner till två sidor och den mellanliggande vinkeln, då man kan beräkna triangelns tredje sida. Om alla sidor är kända, kan cosinussatsen användas för att beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar. Genom att använda Pythagoras sats och definitionen av cosinus kan man härleda cosinussatsen. Denna princip är avgörande för att lösa en mängd problem inom geometri och trigonometri.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
4 sidor teori
15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Cosinussatsen
Sida av 4
Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

Längderna och är triangelns sidor och är den motstående vinkeln till sidan

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.
Bevis

Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel I triangeln ritar man ut en höjd, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser och

Dessa sidor, och kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus.
Man kan sedan ersätta och med dessa uttryck.
Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer:
Eftersom finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.
Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel försöker man skriva om uttrycket så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna och är lika med
Till sist ersätter man med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.

Exempel

Bestäm sidan med cosinussatsen

fullscreen

I en triangel känner man till att sidorna och Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln är Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Visa Lösning expand_more

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.

Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.

Triangelns tredje sida, är alltså ca le.

Exempel

Bestäm vinkeln med cosinussatsen

fullscreen

Bestäm vinkel Avrunda till hela grader.

Visa Lösning expand_more
När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut med hjälp av arccos.
Vinkel är alltså ca
Cosinussatsen
Övningar
Laddar innehåll