6. Cosinussatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
6.
Cosinussatsen
Cosinussatsen är en trigonometrisk princip som etablerar en relation mellan sidorna och en av vinklarna i en godtycklig triangel. Den är särskilt användbar när man känner till två sidor och den mellanliggande vinkeln, då man kan beräkna triangelns tredje sida. Om alla sidor är kända, kan cosinussatsen användas för att beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar. Genom att använda Pythagoras sats och definitionen av cosinus kan man härleda cosinussatsen. Denna princip är avgörande för att lösa en mängd problem inom geometri och trigonometri.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cosinussatsen
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Cosinussatsen
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Limitations of the Law of Sines
The applet below shows two different cases for a triangle with vertices A, B, and C. Case I shows the lengths of two sides and the measure of their included angle. Case II shows the lengths of all three sides.
Is it possible to find the missing side lengths and angle measures by using the Law of Sines? Remember, the Law of Sines gives the following relation between the sides and angles.
sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Cosinussatsen
Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.
a^2=b^2+c^2-2bc cos(A)
Längderna a, b och c är triangelns sidor och A är den motstående vinkeln till sidan a.
Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.
Bevis
För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel ABC. I triangeln ritar man ut en höjd, h, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser x och y.
Dessa sidor, x och y, kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus. cos(A)&=x/b ⇒ & x &= b cos(A) cos(B)&=y/a ⇒ & y &= a cos(B) Man kan sedan ersätta x och y med dessa uttryck.
Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer: b^2 &= h^2+(b cos(A))^2 [0.7em] a^2 &= h^2+(a cos(B))^2. Eftersom h^2 finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.
b^2=h^2+(b cos(A))^2 & (I) a^2=h^2+(a cos(B))^2 & (II)
SubEqn
(I):VL-(b cos(A))^2=HL-(b cos(A))^2
b^2-(b cos(A))^2=h^2 a^2=h^2+(a cos(B))^2
RearrangeEqn
(I):Omarrangera ekvation
h^2=b^2-(b cos(A))^2 a^2=h^2+(a cos(B))^2
Substitute
(II): h^2= b^2-(b cos(A))^2
h^2=b^2-(b cos(A))^2 a^2= b^2-(b cos(A))^2+(a cos(B))^2
Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel A försöker man skriva om uttrycket acos(B) så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna b cos(A) och acos(B) är lika med c.
b cos(A)+acos(B) = c ⇕ acos(B) = c-bcos(A)
Till sist ersätter man acos(B) med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
a^2=b^2-(b cos(A))^2+(a cos(B))^2
Substitute
a cos(B)= c-b cos(A)
a^2=b^2-(b cos(A))^2+( c-b cos(A))^2
ExpandNegPerfectSquare
Utveckla med andra kvadreringsregeln
a^2=b^2-(b cos(A))^2+c^2-2cb cos(A)+(b cos(A))^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2=b^2+c^2-2bc cos(A)
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm sidan med cosinussatsen
I en triangel XYZ känner man till att sidorna XY=8,6 och YZ=5,6. Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln Y är 48^(∘). Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"XZ\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6,4"]}}
Ledtråd
Använd cosinussatsen.
Lösning
Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln XYZ. Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen] kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla a, eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.
Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.
a^2=b^2+c^2-2bc cos(A)
SubstituteValues
Sätt in värden
a^2 = 8,6^2 + 5,6^2 - 2* 8,6 * 5,6 cos(48^(∘))
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
a^2 = 73,96 + 31,36 - 96,32 cos(48^(∘))
AddTerms
Addera termerna
a^2 = 105,32 - 96,32 cos(48^(∘))
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
a = ±sqrt(105,32 - 96,32 cos(48^(∘)))
a > 0
a=sqrt(105,32 - 96,32 cos(48^(∘)))
UseCalc
Slå in på räknare
a = 6,39291...
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
a ≈ 6,4
Triangelns tredje sida, XZ, är alltså ca 6,4 le.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm vinkeln med cosinussatsen
Bestäm vinkel v. Avrunda till hela grader.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["57"]}}
Ledtråd
Använd cosinussatsen.
Lösning
När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här v, vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden 4.5. Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut v med hjälp av arccos.
a^2 = b^2+c^2-2bc cos(A)
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
4,5^2 = 5,2^2 + 4^2 - 2* 5,2* 4 cos(v)
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
20,25 = 27,04 + 16 - 41,6 cos(v)
SimpTerms
Förenkla termerna
20,25 = 43,04 - 41,6 cos(v)
AddEqn
VL+41,6 cos(v)=HL+41,6 cos(v)
20,25 + 41,6 cos(v) = 43,04
SubEqn
VL-20,25=HL-20,25
41,6cos(v) = 22,79
DivEqn
.VL /41,6.=.HL /41,6.
cos(v) = 22,79/41,6
ArcCosEqn
arccos(VL) = arccos(HL)
v = arccos(22,79/41,6)
UseCalc
Slå in på räknare
v = 56,78128... ^(∘)
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
v ≈ 57^(∘)
Vinkel v är alltså ca 57^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Cosinussatsen
Uppgift 1.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["1,6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["2,8"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi känner till två av triangelns sidor och vinkeln mellan dessa kan vi använda cosinussatsen för att lösa ut den sista sidan, x. Notera att x är motstående sida till den kända vinkeln och därför ska stå i vänsterled när vi sätter in värden i satsen.
Den okända sidan är ca 1,6cm.
Samma sak igen. Vi känner till två sidor och dess mellanliggande vinkel så vi kan använda cosinussatsen för att lösa ut den okända sidan.
Den okända sidan är ca 2,8cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Figuren visar triangeln ABC. Beräkna längden av sträckan AC.
Nationella provet HT06 MaD
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["15"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi känner till sidan AB, sidan BC samt den mellanliggande vinkeln till dessa sidor. Med denna information kan vi bestämma den sista sidan, som vi kan kalla b, med cosinussatsen.
Den sista sidan är ca 15cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Paavo ska bestämma sida x i triangeln ABC.
Han använder cosinussatsen för att lösa uppgiften.
Har Paavo räknat rätt? Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
I cosinussatsen är den sida som står i vänsterledet motstående sida till vinkeln i högerledet. I figuren är vinkeln 36^(∘) och sidan 2 motstående, så för att bestämma x måste man alltså ställa upp en ekvation med sidlängden 2 i vänsterledet: 2^2=x^2+3^2-2* x*3cos(36^(∘)). Vi jämför denna korrekta uppställning med första steget i Paavos beräkning. x^2=2^2+3^2-2* 2*3cos(36^(∘)). Han har satt in den okända sidan x i vänsterledet. Detta får följdfel i hans uträkning och är anledningen till att hans svar inte stämmer överens med facit.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"\u2227 C\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["110"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"\u2227 B\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["42"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi känner till tre sidor i triangeln kan vi använda cosinussatsen för att beräkna någon av vinklarna. Vi ska bestämma ∧ C så vi sätter in sidorna a och b i högerledet och c i vänsterledet. Kom ihåg att c är den motstående sidan till vinkel C, dvs. 5 le. i det här fallet.
Vinkel C är alltså ca 110^(∘).
Vi bestämmer ∧ B med cosinussatsen genom att sätta in sidorna a och c i högerledet och b i vänsterledet och löser därefter ut ∧ B.
Vinkel B är alltså ca 42^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"\u2227 A\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["30"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"\u2227 B\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["64"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"\u2227 C\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["86"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ritar en triangel som motsvarar beskrivningen i uppgiften.
Vi känner till triangelns samtliga sidor vilket innebär att man kan beräkna valfri vinkel i triangeln med cosinussatsen. Eftersom vi ska bestämma vinkel A sätter vi in sidorna b och c i högerledet och a i vänsterledet.
Vinkel A är cirka 30^(∘).
Nu kan man använda antingen cosinussatsen eller sinussatsen. Vi väljer cosinussatsen.
Vinkel B är cirka 64^(∘).
Även denna vinkel kan vi beräkna med cosinussatsen eller sinussatsen men eftersom vi vet storleken på de två andra kan vi beräkna den sista vinkeln med hjälp av triangelns vinkelsumma:
C=180^(∘)-64^(∘)-30^(∘)=86^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm triangelns omkrets. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["10,5"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna omkretsen måste vi först bestämma längden på sidan x. Eftersom vi känner till övriga två sidor samt en vinkel kan vi använda cosinussatsen. Notera att x dock inte är motstående sida till den kända vinkeln och därför inte ska skrivas i vänsterledet när vi sätter in värdena i satsen.
Denna andragradsekvation löser vi med pq-formeln. Vi låter koefficienten framför x, dvs. -4,4cos(72^(∘)), stå kvar i exakt form för att undvika avrundningsfel.
Eftersom en sträcka inte kan vara negativ bortser vi från den negativa lösningen. Sida x är alltså ungefär 4,2 le. Omkretsen bestämmer vi genom att summera de tre sidornas längder: O=4,1+2,2+4,20576... ≈ 10,5. Triangelns omkrets är alltså ca 10,5 le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En triangel har sidorna 5,0cm, 6,0cm och 7,0cm. Beräkna triangelns största vinkel. Svara i hela grader.
Nationella provet VT02 MaD
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["78"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi känner till alla sidor i triangeln och kan använda cosinussatsen för att bestämma vinklarna. Men måste vi bestämma alla vinklar för att avgöra vilken som är störst? Nej, det behövs faktiskt inte eftersom en triangels största vinkel alltid är motstående vinkel till dess längsta sida. Vi behöver alltså bara bestämma vinkeln som är motstående till sidan 7cm. Kom ihåg att denna ska stå i vänsterledet när vi sätter in värden.
Triangelns största vinkel är alltså ca 78^(∘). Notera att det också hade varit möjligt att ta reda på denna vinkel genom att bestämma två av trianglarnas vinklar med cosinussatsen, den tredje med triangelns vinkelsumma och till sist jämföra storleken på dem.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll