Cosinusekvationer

Intervallet 180^(∘) ≤ x ≤ 270^(∘) motsvarar hela tredje kvadranten i enhetscirkeln. Eftersom cosinusvärden motsvarar x-värden i enhetscirkeln finns det en lösning till ekvationen inom intervallet om det i tredje kvadranten finns en punkt på enhetscirkeln med x-koordinaten -0,65. När vi ritar upp enhetscirkeln ser vi att en sådan punkt finns.

För att bestämma just den sökta lösningen behöver vi först lösa ekvationen fullständigt, och sedan hitta lösningen som ligger i tredje kvadranten.

Lösningarna x ≈ 131^(∘) + n * 360^(∘) ligger i andra kvadranten, medan lösningarna x ≈ -131^(∘) + n * 360^(∘) ligger i tredje kvadranten och därmed innehåller den sökta lösningen. För att få lösningen inom intervallet 180^(∘) ≤ x ≤ 270^(∘) behöver vi sätta in n = 1.

Ekvationen har alltså en lösning på intervallet: x ≈ 229^(∘).

Vi avgör hur intervallet 11π/4 ≤ x ≤ 3π ser ut genom att först dra bort ett varv från gränserna, vilket inte påverkar var i enhetscirkeln intervallet är. Vi får då 3π/4 ≤ x ≤ π, som börjar vid tre fjärdedelar av ett halvt varv och slutar vid ett halvt varv. Intervallet finns alltså i andra kvadranten. För att lättare kunna jämföra intervallet mot ekvationen skriver vi om ekvationen. 0,32 - cos(x)=0 ⇔ cos(x) = 0,32 Lösningarna till ekvationen hittas alltså där x-värdet i enhetscirkeln är 0,32, dvs. i första och fjärde kvadranten.

Det finns alltså inga lösningar till ekvationen som ligger i det specificerade intervallet.

För att lösa cosinusekvationen använder vi arcuscosinus, och kommer ihåg att lägga till spegellösningen och perioden. Vi använder sedan tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar för att förenkla arccos-termen i högerledet.

Nu är det lättast att dela upp ekvationen på två rader, eftersom vi får olika resultat när vi subtraherar 30^(∘) från 150^(∘) respektive -150^(∘).

Lösningarna till ekvationen är alltså x=30^(∘)+n* 90^(∘) och x=-45^(∘)+n* 90^(∘).

Det finns många ekvationer som har en lösning v ≈ 560^(∘). Vi kan försöka hitta en cosinusekvation som har den lösningen genom att först ta reda på cosinusvärdet för vinkeln 560^(∘). cos(560^(∘)) ≈ - 0,94 Vi kan nu gömma vinkeln 560^(∘) bakom variabeln v, och får då ekvationen cos(v) = - 0,94 som har en lösning v ≈ 560^(∘).

Vi väljer att börja från lösningen och går baklänges. Två saker bör först noteras:

• Lösningsmängden innehåller ett ±.
• Lösningsmängden har perioden π.

Den första innebär att det är lösningen till en cosinusekvation. Den andra innebär att likheten först måste multipliceras med 2, eftersom cosinus har perioden 2π. Vi får då 2v = ± 2π/3 + n * 2π. Vi kan nu ta cosinus av båda led för att komma närmare ekvationen vi söker. Det som tillkommer när man tar arccos av båda leden i en ekvationslösning är perioden och ±. Vi kan därför nu ta bort dessa eftersom de inte påverkar cosinusvärden. cos(2v) = cos(2π/3) Vi får den slutgiltiga ekvationen genom att beräkna värdet av högerledet. Vinkeln 2π/3 är en trigonometrisk standardvinkel vars cosinusvärde är - 0,5. Då får vi ekvationen cos(2v) = - 0,5.

Alla termer i den här ekvationen är delbara med cos(x). Det innebär att vi kan använda nollproduktmetoden för lösa ekvationen. Det gör vi genom att först bryta ut cos(x) ur båda termerna och sedan dela upp i två ekvationer.

Vi har nu hittat alla lösningar till ekvationen. Den som är uppmärksam kan se att lösningen x = ± π/2 + n * 2π kan slås ihop till x = π/2 + n * π. Detta eftersom vinklarna π/2 och - π/2 är π ifrån varandra, vilket ger en period på π. Omskrivningen är dock inte obligatorisk, men föredras eftersom det är mer kompakt.

Den här ekvationen kan också lösas med hjälp av nollproduktmetoden. Dock vill vi först flytta över båda termer på samma sida, så att vi kan bryta ut faktorn cos(x).

Vi har nu hittat lösningarna x = ± π/2 + n * 2π, som vi skriver om till x = π/2 + n * π på samma sätt som i förra deluppgiften. Vi får däremot inte någon lösning från ekvationen cos(x) = 3, eftersom cosinusvärden alltid ligger mellan -1 och 1. Det finns alltså ingen vinkel som har cosinusvärdet 3.

Eftersom värdemängden för cosinus är - 1 ≤ cos(v) ≤ 1 måste kvoten i högerledet vara inom detta intervall för att det ska finnas lösningar till ekvationen. Vi ska alltså undersöka för vilka x som - 1 ≤ 4x + 3/2 ≤ 1. Det gör vi genom att undersöka för vilka x de två olikheterna - 1 ≤ 4x + 3/2 och 4x + 3/2 ≤ 1 är uppfyllda. Vi löser olikheter på liknande sätt som ekvationer och börjar med den vänstra olikheten.

Vi har nu hittat en nedre gräns för x. Vi hittar en övre gräns genom att lösa den andra olikheten.

Vi kan nu lägga ihop den övre och nedre gränsen i samma uttryck för att få intervallet - 5/4 ≤ x ≤ - 1/4, vilket beskriver de värden på x som gör att ekvationen har minst en lösning.