Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
4.
Cosinusekvationer
Cosinusekvationer är en typ av trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, vilket innebär att cosinusekvationer ofta har oändligt många lösningar. För att hitta alla lösningar till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när vinkeln blir mindre än 0 eller större än 360 grader. Det finns ingen övre eller undre gräns för storleken på vinkeln, så det finns oändligt många vinklar med samma cosinusvärde. Denna kunskap är användbar inom många områden, inklusive geometri och fysik.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cosinusekvationer
Sida av 7
Cosinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, och därför har cosinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Genom att utnyttja periodiciteten för cosinus kan man bestämma alla dessa.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Trigonometrisk ekvation
- Period för cosinus
- Lösa cosinusekvationer
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Trigonometrisk ekvation
En trigonometrisk ekvation kännetecknas av att den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion. Eftersom dessa är periodiska kommer trigonometriska ekvationer ha oändligt många rötter. Exempelvis är rötterna till ekvationen sin(v) = 0,5 samtliga vinklar, v, som uppfyller att sinusvärdet för vinkeln är just 0,5. Nedan illustreras att två sådana vinklar kan hittas genom att studera enhetscirkeln.
Man kan hitta fler genom att lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal varv.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Vinklar utanför intervallet 0^(∘) - 360^(∘)
Vilka värden kan en vinkel ha? Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0^(∘) och 360^(∘). I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns riktning
— positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.
Men om den nedre gränsen 0^(∘) kan passeras, hur är det då med den övre? Kan en vinkel vara större än 360^(∘)? Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360^(∘) beskriver ett varvs rotation
i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.
I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360^(∘), medan den andra har roterat två varv, 2* 360^(∘)=720^(∘). Snowboardåkarnas tolkning av dessa vinklar kan överföras till enhetscirkeln.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Period för cosinus
För att hitta samtliga rötter till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när den blir mindre än 0^(∘) eller större än 360^(∘).
Regel
Vinklar utanför intervallet 0^(∘) - 360^(∘)
Vilka värden kan en vinkel ha? Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0^(∘) och 360^(∘). I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns "riktning" — positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.
Men om den nedre gränsen 0^(∘) kan passeras, hur är det då med den övre? Kan en vinkel vara större än 360^(∘)? Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360^(∘) beskriver ett varvs rotation i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.
I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360^(∘), medan den andra har roterat två varv, 2* 360^(∘)=720^(∘).
Regel
Perioden 360^(∘)
Eftersom det är samma punkt är cosinusvärdet också samma. Det betyder att man kan lägga till eller dra bort 360^(∘) från en vinkel utan att cosinusvärdet förändras. Man säger att cosinus har perioden 360^(∘), eller 2π om man använder radianer. I enhetscirkeln nedan är punkten som motsvarar 60^(∘) markerad. Genom att lägga till eller dra ifrån 360^(∘) hittar man fler vinklar för samma punkt och som därmed har samma cosinusvärde.
Återställ
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Cosinusekvationer
När vi har en ekvation där vi känner till det trigonometriska värdet och vill hitta motsvarande vinkel, har vi en trigonometrisk ekvation. När cosinus för en okänd vinkel v är lika med ett känt värde c, löser vi en grundläggande cosinusekvation:
cos v = c
Eftersom cosinus representerar x-koordinaten för en punkt på enhetscirkeln är det samma sak att hitta alla vinklar där cos v = c som att hitta alla punkter på cirkeln med x-koordinaten c. Dra punkten för att utforska:
v = ± v_1 + n * 360^(∘) eller
v = ± v_1 + n * 2π
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa cosinusekvationer
I en cosinusekvation av typen cos(v) = 0,4 är man ute efter alla vinklar v som har cosinusvärdet 0,4.
Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkeln finns oändligt många fler eftersom cosinusfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår tre moment, men när man själv löser ekvationen bör alla tre göras i samma beräkningssteg.
1
Hitta en lösning med arccos
expand_more Med funktionen arcuscosinus bestämmer man en vinkel som har cosinusvärdet 0,4. arccos(0,4)
2
Lägg till spegellösningen med ±
expand_more Arcuscosinus ger alltid en positiv vinkel, men som bilden visar bör det även finnas en negativ lösning. Den får man genom att spegla vinkeln i x-axeln. För att ange båda lösningarna samtidigt används tecknet ±.
± arccos(0,4)
3
Lägg till perioder
expand_more Nu har man hittat de två lösningar som syns i enhetscirkeln. Men cosinus har perioden 360^(∘) (eller 2π) så genom att lägga till ett varv hittar man ytterligare två:
arccos(0,4) + 360^(∘) och -arccos(0,4) + 360^(∘).
På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas
v = ± arccos(0,4) + n* 360^(∘),
där n är ett heltal.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös cosinusekvationen fullständigt
Lös ekvationen cos(2v)=1/2. Svara i grader.
Svar
v = ± 30^(∘) + n * 180^(∘), där n är ett heltal.
Ledtråd
För vilka vinklar är cosinus lika med 1/2, och hur hanterar du att argumentet är 2v?
Lösning
Vi använder arcuscosinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden 360^(∘).
cos(2v) = 1/2
ArcCosEqn
arccos(VL) = arccos(HL)
2v = ±arccos(1/2) + n * 360^(∘)
ArcCos
600arccos(1)=0^(∘) 6030arccos(sqrt(3)/2)=30^(∘) 6045arccos(sqrt(2)/2)=45^(∘) 6060arccos(1/2)=60^(∘) 6090arccos(0)=90^(∘) 60120arccos(- 1/2)=120^(∘) 60135arccos(- sqrt(2)/2)=135^(∘) 60150arccos(- sqrt(3)/2)=150^(∘) 60180arccos(- 1)=180^(∘)
2v = ± 60^(∘) + n * 360^(∘)
Nu har vi blivit av med cosinusuttrycket, men det står ju 2v i vänsterledet. Vi dividerar därför med 2 på båda sidor. Tänk på att både 60^(∘) och n * 360^(∘) delas med 2.
2v = ± 60^(∘) + n * 360^(∘)
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
v = ± 60^(∘)/2 + n * 360^(∘)/2
CalcQuot
Beräkna kvot
v = ± 30^(∘) + n * 180^(∘)
Det finns alltså oändligt många lösningar till ekvationen och de kan alla beskrivas med formeln v = ± 30^(∘) + n* 180^(∘), där n är ett heltal. Det är en sammanslagning av lösningsmängderna v = - 30^(∘) + n * 180^(∘) och v = 30^(∘) + n * 180^(∘). Nu är vi egentligen klara, men för att visa några vinklar som löser ekvationen kan vi genom sätta in olika värden på n.
| n | - 30^(∘) + n * 180^(∘) | v_1 | 30^(∘) + n * 180^(∘) | v_2 |
|---|---|---|---|---|
| -2 | -30^(∘) - 2 * 180^(∘) | -390^(∘) | 30^(∘) - 2 * 180^(∘) | -330^(∘) |
| -1 | -30^(∘) - 1 * 180^(∘) | -210^(∘) | 30^(∘) - 1 * 180^(∘) | -150^(∘) |
| 0 | -30^(∘) + 0 * 180^(∘) | -30^(∘) | 30^(∘) + 0 * 180^(∘) | 30^(∘) |
| 1 | -30^(∘) + 1 * 180^(∘) | 150^(∘) | 30^(∘) + 1 * 180^(∘) | 210^(∘) |
| 2 | -30^(∘) + 2 * 180^(∘) | 330^(∘) | 30^(∘) + 2 * 180^(∘) | 390^(∘) |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Cosinusekvationer
Uppgift 3.1
Lös ekvationen 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln och slå ihop lösningsmängder om möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{\\pi}{3} + n \\cdot 2\\pi","-\\dfrac{\\pi}{3} + n \\cdot 2\\pi","\\pi + n \\cdot 2\\pi"]}}
security
report
code
security
report
code
Vid första anblick kanske inte denna ekvation ser lösbar ut, men om man tänker på cos(x) som en egen variabel blir det en vanlig andragradsekvation. Man kan kalla cos(x) för t så blir det tydligare. Vi utför alltså variabelsubstitutionen cos(x)=t. Ekvationen blir då istället 2t^2 + t - 1 = 0, som kan lösas med pq-formeln.
Nu har vi hittat de två värden på t som löser ekvationen 2t^2 + t - 1 = 0 men det som söks är de värden på x som löser ekvationen 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0. Vi måste därmed återgå från variabeln t till variabeln x, vilket vi gör genom substitutionen t = cos(x). Vi får då de två nya ekvationerna cos(x) = 0,5 och cos(x) = - 1 som vi kan lösa. Vi börjar med den första ekvationen.
Vidare hittar vi en lösningsmängd till genom att lösa den andra ekvationen.
Eftersom vinklarna π och - π representerar samma punkt i enhetscirkeln kan man skriva denna lösningsmängd som x = π + n * 2π. Vi har nu hittat två lösningsmängder till den ursprungliga ekvationen, och de beskriver samtliga lösningar till ekvationen. Det slutgiltiga svaret är alltså x = ± π/3 + n * 2π och x = π + n * 2π.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen sin(x)/tan(x)(1/2-cos(3x)) = 0. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{\\pi}{9}+n\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3}","-\\dfrac{\\pi}{9}+n\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Den här ekvationen består av två faktorer vars produkt är 0. Vi kan därmed använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i två. Vi får då ekvationerna sin(x)/tan(x) = 0 och 1/2 - cos(3x) = 0, som vi kan undersöka var för sig. Vi börjar med den andra eftersom den innehåller endast en trigonometrisk funktion.
Vi har nu hittat en lösningsmängd som löser den ena delekvationen. Vidare undersöker vi nu sin(x)/tan(x) = 0. En kvot kan endast anta värdet 0 om täljaren är 0. I det här fallet är det då sin(x) = 0. Dock uppstår det då ett problem. Eftersom tangens kan skrivas som sin(x)/cos(x) blir även tan(x) = 0 om sin(x)=0. Vi får då en nolldivision. Delekvationen sin(x)/tan(x) = 0 har därmed inga lösningar. Det finns en risk att inte alla lösningar i lösningsmängden x = ± π/9 + n * 2π/3 löser ursprungsekvationen. Anledningen är att om tan(x) antar värdet 0 är det ingen giltig lösning, eftersom det ger en nolldivision. Vi sätter in några n i lösningsmängden och markerar lösningarna i enhetscirkeln för att undersöka om så är fallet.
För övriga n kommer vinklarna att representera samma punkter. Inga av dessa lösningar motsvarar tan(x) = 0 eftersom sin(x) aldrig blir 0. Lösningsmängden x = ± π/9 + n * 2π/3 löser därmed ursprungsekvationen fullständigt.
Ett tänkbart lösningsförsök för ekvationen .sin(x) /tan(x). = 0 vore att först förenkla uttrycket. Det gäller dock att vara väldigt försiktig när man gör det, eftersom det finns fallgropar som lätt kan leda till fel svar. Vi genomför förenklingen nedan och diskuterar sedan vad den får för konsekvenser.
Vi kommer då fram till att .sin(x) /tan(x). = cos(x), men den här likheten stämmer inte för alla x. Steget då uttrycket förkortas med sin(x) gäller endast om sin(x) ≠ 0. Detta eftersom en nolldivision genomförs i vänsterledet i likheten sin(x)/.sin(x) /cos(x). = 1/.1 /cos(x)., om sin(x) = 0. På samma sätt gäller steget då cos(x) flyttas upp i täljaren endast om cos(x) ≠ 0. Detta eftersom en nolldivision genomförs i vänsterledet i likheten 1/.1 /cos(x). = cos(x), om cos(x) = 0. Sammanslaget innebär det här att förenklingen sin(x)/tan(x) = cos(x) endast gäller om sin(x) ≠ 0 och cos(x) ≠ 0. cos(x) = 0 kan därmed omöjligen ge giltiga lösningar för ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Cosinusekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll