4. Cosinusekvationer
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
4.
Cosinusekvationer
Cosinusekvationer är en typ av trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, vilket innebär att cosinusekvationer ofta har oändligt många lösningar. För att hitta alla lösningar till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när vinkeln blir mindre än 0 eller större än 360 grader. Det finns ingen övre eller undre gräns för storleken på vinkeln, så det finns oändligt många vinklar med samma cosinusvärde. Denna kunskap är användbar inom många områden, inklusive geometri och fysik.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 6 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cosinusekvationer
Sida av 6
Cosinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, och därför har cosinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Genom att utnyttja periodiciteten för cosinus kan man bestämma alla dessa.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Trigonometrisk ekvation
- Period för cosinus
- Lösa cosinusekvationer
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Vinklar utanför intervallet 0^(∘) - 360^(∘)
Vilka värden kan en vinkel ha?
Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0^(∘) och 360^(∘).
I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns riktning
— positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.
Exempel från verkligheten
Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360^(∘) beskriver ett varvs rotation
i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.
Fil:Cosinusekvationer Kurs 4 U1 C4 Explore1 0201.webp
I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360^(∘), medan den andra har roterat två varv, 2* 360^(∘)=720^(∘).
Snowboardåkarnas tolkning av dessa vinklar kan överföras till enhetscirkeln.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Period för cosinus
För att hitta samtliga rötter till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när den blir mindre än 0^(∘) eller större än 360^(∘).
Regel
Vinklar utanför intervallet 0^(∘) - 360^(∘)
Vilka värden kan en vinkel ha? Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0^(∘) och 360^(∘). I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns "riktning" — positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.
Men om den nedre gränsen 0^(∘) kan passeras, hur är det då med den övre? Kan en vinkel vara större än 360^(∘)? Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360^(∘) beskriver ett varvs rotation i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.
I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360^(∘), medan den andra har roterat två varv, 2* 360^(∘)=720^(∘).
Regel
Perioden 360^(∘)
Eftersom det är samma punkt är cosinusvärdet också samma. Det betyder att man kan lägga till eller dra bort 360^(∘) från en vinkel utan att cosinusvärdet förändras. Man säger att cosinus har perioden 360^(∘), eller 2π om man använder radianer. I enhetscirkeln nedan är punkten som motsvarar 60^(∘) markerad. Genom att lägga till eller dra ifrån 360^(∘) hittar man fler vinklar för samma punkt och som därmed har samma cosinusvärde.
Återställ
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Cosinusekvationer
När vi har en ekvation där vi känner till det trigonometriska värdet och vill hitta motsvarande vinkel, har vi en trigonometrisk ekvation.
När cosinus för en okänd vinkel v är lika med ett känt värde c, löser vi en grundläggande cosinusekvation.
cos v = c
Eftersom cosinus representerar x-koordinaten för en punkt på enhetscirkeln är det samma sak att hitta alla vinklar där cos v = c som att hitta alla punkter på cirkeln med x-koordinaten c.
Dra punkten för att utforska:
En vertikal linje x = c skär cirkeln i exakt två punkter, symmetriska över x-axeln. Detta ger två lösningar:
v_1 = cos^(-1)c och - v_1.
Eftersom cosinus har perioden 360^(∘) upprepas varje lösning oändligt många gånger, vilket ger de allmänna lösningarna:
v = ± v_1 + n * 360^(∘) eller v = ± v_1 + n * 2π
där v_1 = cos^(-1)c och n är ett heltal.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa cosinusekvationer
I en cosinusekvation av typen
cosv = 0,4
är man ute efter alla vinklar v som har cosinusvärdet 0,4.
Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkeln finns oändligt många fler eftersom cosinusfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår tre moment, men när man själv löser ekvationen bör alla tre göras i samma beräkningssteg.
1
Hitta en lösning med arccos
expand_more 2
Lägg till spegellösningen med ±
expand_more Arcuscosinus ger alltid en positiv vinkel, men som bilden visar bör det även finnas en negativ lösning. Den får man genom att spegla vinkeln i x-axeln. För att ange båda lösningarna samtidigt används tecknet ±.
± cos^(-1)0,4
± cos^(-1)0,4
3
Lägg till perioder
expand_more Nu har man hittat de två lösningar som syns i enhetscirkeln. Men cosinus har perioden 360^(∘) (eller 2π) så genom att lägga till ett varv hittar man ytterligare två:
cos^(-1)0,4 + 360^(∘) och -cos^(-1)0,4 + 360^(∘).
På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas
v = ± cos^(-1)0,4 + n* 360^(∘),
där n är ett heltal.
cos^(-1)0,4 + 360^(∘) och -cos^(-1)0,4 + 360^(∘).
På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas
v = ± cos^(-1)0,4 + n* 360^(∘),
där n är ett heltal.
Tänk på
Ibland används begreppet lösningsmängd när man samlar ihop alla, eller en delmängd av, en ekvations lösningar. Det är särskilt användbart för trigonometriska ekvationer där man ofta vill beskriva oändligt många lösningar.
I det här fallet är v=cos^(-1)0,4+ n* 360^(∘) en lösningsmängd och v=- cos^(-1)0,4 + n* 360^(∘) en annan.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös cosinusekvationen fullständigt
Lös ekvationen cos(2v)=1/2. Svara i grader.
Svar
v = ± 30^(∘) + n * 180^(∘), där n är ett heltal.
Ledtråd
För vilka vinklar är cosinus lika med 1/2, och hur hanterar du att argumentet är 2v?
Lösning
Vi använder arcuscosinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden 360^(∘).
cos(2v) = 1/2
ArcCosEqn
arccos(VL) = arccos(HL)
2v = ±arccos(1/2) + n * 360^(∘)
ArcCos
600arccos(1)=0^(∘) 6030arccos(sqrt(3)/2)=30^(∘) 6045arccos(sqrt(2)/2)=45^(∘) 6060arccos(1/2)=60^(∘) 6090arccos(0)=90^(∘) 60120arccos(- 1/2)=120^(∘) 60135arccos(- sqrt(2)/2)=135^(∘) 60150arccos(- sqrt(3)/2)=150^(∘) 60180arccos(- 1)=180^(∘)
2v = ± 60^(∘) + n * 360^(∘)
Nu har vi blivit av med cosinusuttrycket, men det står ju 2v i vänsterledet. Vi dividerar därför med 2 på båda sidor. Tänk på att både 60^(∘) och n * 360^(∘) delas med 2.
2v = ± 60^(∘) + n * 360^(∘)
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
v = ± 60^(∘)/2 + n * 360^(∘)/2
CalcQuot
Beräkna kvot
v = ± 30^(∘) + n * 180^(∘)
Det finns alltså oändligt många lösningar till ekvationen och de kan alla beskrivas med formeln v = ± 30^(∘) + n* 180^(∘), där n är ett heltal. Det är en sammanslagning av lösningsmängderna v = - 30^(∘) + n * 180^(∘) och v = 30^(∘) + n * 180^(∘). Nu är vi egentligen klara, men för att visa några vinklar som löser ekvationen kan vi genom sätta in olika värden på n.
| n | - 30^(∘) + n * 180^(∘) | v_1 | 30^(∘) + n * 180^(∘) | v_2 |
|---|---|---|---|---|
| -2 | -30^(∘) - 2 * 180^(∘) | -390^(∘) | 30^(∘) - 2 * 180^(∘) | -330^(∘) |
| -1 | -30^(∘) - 1 * 180^(∘) | -210^(∘) | 30^(∘) - 1 * 180^(∘) | -150^(∘) |
| 0 | -30^(∘) + 0 * 180^(∘) | -30^(∘) | 30^(∘) + 0 * 180^(∘) | 30^(∘) |
| 1 | -30^(∘) + 1 * 180^(∘) | 150^(∘) | 30^(∘) + 1 * 180^(∘) | 210^(∘) |
| 2 | -30^(∘) + 2 * 180^(∘) | 330^(∘) | 30^(∘) + 2 * 180^(∘) | 390^(∘) |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Cosinusekvationer
Uppgift 3.1
Lös ekvationen sinx/tanx(1/2-cos(3x)) = 0. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{\\pi}{9}+n\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3}","-\\dfrac{\\pi}{9}+n\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Den här ekvationen består av två faktorer vars produkt är 0. Vi kan därmed använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i två. Vi får då ekvationerna sinx/tanx = 0 och 1/2 - cos(3x) = 0, som vi kan undersöka var för sig. Vi börjar med den andra eftersom den innehåller endast en trigonometrisk funktion.
Vi har nu hittat en lösningsmängd som löser den ena delekvationen. Vidare undersöker vi nu sinx/tanx = 0. En kvot kan endast anta värdet 0 om täljaren är 0. I det här fallet är det då sinx = 0. Dock uppstår det då ett problem. Eftersom tangens kan skrivas som sinx/cosx blir även tanx = 0 om sinx=0. Vi får då en nolldivision. Delekvationen sinx/tanx = 0 har därmed inga lösningar. Det finns en risk att inte alla lösningar i lösningsmängden x = ± π/9 + n * 2π/3 löser ursprungsekvationen. Anledningen är att om tanx antar värdet 0 är det ingen giltig lösning, eftersom det ger en nolldivision. Vi sätter in några n i lösningsmängden och markerar lösningarna i enhetscirkeln för att undersöka om så är fallet.
För övriga n kommer vinklarna att representera samma punkter. Inga av dessa lösningar motsvarar tanx = 0 eftersom sinx aldrig blir 0. Lösningsmängden x = ± π/9 + n * 2π/3 löser därmed ursprungsekvationen fullständigt.
Ett tänkbart lösningsförsök för ekvationen .sinx /tanx. = 0 vore att först förenkla uttrycket. Det gäller dock att vara väldigt försiktig när man gör det, eftersom det finns fallgropar som lätt kan leda till fel svar. Vi genomför förenklingen nedan och diskuterar sedan vad den får för konsekvenser.
Vi kommer då fram till att .sinx /tanx. = cosx, men den här likheten stämmer inte för alla x. Steget då uttrycket förkortas med sinx gäller endast om sinx ≠ 0. Detta eftersom en nolldivision genomförs i vänsterledet i likheten sinx/.sinx /cosx. = 1/.1 /cosx., om sinx = 0. På samma sätt gäller steget då cosx flyttas upp i täljaren endast om cosx ≠ 0. Detta eftersom en nolldivision genomförs i vänsterledet i likheten 1/.1 /cosx. = cosx, om cosx = 0. Sammanslaget innebär det här att förenklingen sinx/tanx = cosx endast gäller om sinx ≠ 0 och cosx ≠ 0. cosx = 0 kan därmed omöjligen ge giltiga lösningar för ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen 2cos^2x + cosx - 1 = 0. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln och slå ihop lösningsmängder om möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{\\pi}{3} + n \\cdot 2\\pi","-\\dfrac{\\pi}{3} + n \\cdot 2\\pi","\\pi + n \\cdot 2\\pi"]}}
security
report
code
security
report
code
Vid första anblick kanske inte denna ekvation ser lösbar ut, men om man tänker på cosx som en egen variabel blir det en vanlig andragradsekvation. Man kan kalla cosx för t så blir det tydligare. Vi utför alltså variabelsubstitutionen cosx=t. Ekvationen blir då istället 2t^2 + t - 1 = 0, som kan lösas med pq-formeln.
Nu har vi hittat de två värden på t som löser ekvationen 2t^2 + t - 1 = 0 men det som söks är de värden på x som löser ekvationen 2cos^2x + cosx - 1 = 0. Vi måste därmed återgå från variabeln t till variabeln x, vilket vi gör genom substitutionen t = cosx. Vi får då de två nya ekvationerna cosx = 0,5 och cosx = - 1 som vi kan lösa. Vi börjar med den första ekvationen.
Vidare hittar vi en lösningsmängd till genom att lösa den andra ekvationen.
Eftersom vinklarna π och - π representerar samma punkt i enhetscirkeln kan man skriva denna lösningsmängd som x = π + n * 2π. Vi har nu hittat två lösningsmängder till den ursprungliga ekvationen, och de beskriver samtliga lösningar till ekvationen. Det slutgiltiga svaret är alltså x = ± π/3 + n * 2π och x = π + n * 2π.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi undersöker påståendet med hjälp av enhetscirkeln, där cos v är x-koordinaten och sin v är y-koordinaten för den punkt som motsvarar vinkeln v.
I intervallet 0^(∘) ≤ v ≤ 90^(∘) minskar x-koordinaten när vinkeln ökar. Eftersom v + 2^(∘) alltid är en större vinkel än v är dess x-koordinat alltid mindre, vilket innebär att cos v > cos(v + 2^(∘)) I gränsfallet v = 90^(∘) får vi cos 90^(∘) = 0 och cos 92^(∘) < 0, så olikheten gäller fortfarande. Vi illustrerar detta med v = 50^(∘) och v + 2^(∘) = 52^(∘).
Påståendet är sant.
För att detta ska gälla behöver vi cos v < sin v * cos v , vilket efter division med cos v (giltigt när cos v > 0) ger
1 < sin v
I första kvadranten gäller dock sin v ≤ 1 för alla v, med likhet bara vid v = 90^(∘) där båda sidor är 0. Olikheten uppfylls därför aldrig. Vi illustrerar detta med v = 45^(∘), där sin 45^(∘) < 1 tydligt framgår.
Påståendet är falskt.
Vi resonerar på liknande sätt som i del b) genom att undersöka vilka värden högerledet kan anta. Eftersom sin v ≥ 0 för alla v i första kvadranten gäller
sin v + 1 ≥ 1
x-koordinaten cos v är lika med 1 bara vid v = 0^(∘), där sin 0^(∘) + 1 = 1 också, så den strikta olikheten gäller inte vid v = 0^(∘). För alla andra värden i intervallet gäller cos v < 1 ≤ sin v + 1. Vi visar gränsfallet v = 0^(∘) där båda sidor är lika med 1.
Påståendet är falskt.
På enhetscirkeln motsvarar vinkeln 360^(∘) - v en punkt som är spegelbilden av punkten för vinkeln v speglad i x-axeln. Båda punkterna har samma x-koordinat, så deras cosinusvärden är lika.
cos v = cos(360^(∘) - v)
Vi illustrerar detta med v = 60^(∘) och 360^(∘) - v = 300^(∘).
Påståendet är sant.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
security
report
code
security
report
code
Punkt B är spegelbilden av A speglad i y-axeln. x-koordinaten byter tecken medan y-koordinaten är oförändrad, så B = (- a, b) Punkt C är spegelbilden av B speglad i x-axeln. x-koordinaten är oförändrad medan y-koordinaten byter tecken, så C = (- a, - b)
Från figuren har punkt B vinkeln 180^(∘) - v och punkt C vinkeln 180^(∘) + v. Vi använder detta tillsammans med enhetscirkeln för att avläsa cosinusvärdena direkt, eftersom cosinus är lika med x-koordinaten för den motsvarande punkten. Vinkeln 180^(∘) + v motsvarar punkt C, vars x-koordinat är - a. Därför gäller
cos(180^(∘) + v) = - a
För vinkeln 360^(∘) - v lägger vi till en ny punkt D på enhetscirkeln. Den ligger i fjärde kvadranten som spegelbilden av A speglad i x-axeln.
Punkt D har samma x-koordinat som A men med y-koordinaten speglad, vilket ger D = (a, - b). Eftersom cosinus är lika med x-koordinaten får vi cos(360^(∘) - v) = a
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Cosinusekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll