Cosinusekvationer

Vid första anblick kanske inte denna ekvation ser lösbar ut, men om man tänker på cos(x) som en egen variabel blir det en vanlig andragradsekvation. Man kan kalla cos(x) för t så blir det tydligare. Vi utför alltså variabelsubstitutionen cos(x)=t. Ekvationen blir då istället 2t^2 + t - 1 = 0, som kan lösas med pq-formeln.

Nu har vi hittat de två värden på t som löser ekvationen 2t^2 + t - 1 = 0 men det som söks är de värden på x som löser ekvationen 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0. Vi måste därmed återgå från variabeln t till variabeln x, vilket vi gör genom substitutionen t = cos(x). Vi får då de två nya ekvationerna cos(x) = 0.5 och cos(x) = - 1 som vi kan lösa. Vi börjar med den första ekvationen.

Vidare hittar vi en lösningsmängd till genom att lösa den andra ekvationen.

Eftersom vinklarna π och - π representerar samma punkt i enhetscirkeln kan man skriva denna lösningsmängd som x = π + n * 2π. Vi har nu hittat två lösningsmängder till den ursprungliga ekvationen, och de beskriver samtliga lösningar till ekvationen. Det slutgiltiga svaret är alltså x = ± π/3 + n * 2π och x = π + n * 2π.

Den här ekvationen består av två faktorer vars produkt är 0. Vi kan därmed använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i två. Vi får då ekvationerna sin(x)/tan(x) = 0 och 1/2 - cos(3x) = 0, som vi kan undersöka var för sig. Vi börjar med den andra eftersom den innehåller endast en trigonometrisk funktion.

Vi har nu hittat en lösningsmängd som löser den ena delekvationen. Vidare undersöker vi nu sin(x)/tan(x) = 0. En kvot kan endast anta värdet 0 om täljaren är 0 . I det här fallet är det då sin(x) = 0. Dock uppstår det då ett problem. Eftersom tangens kan skrivas som sin(x)cos(x) blir även tan(x) = 0 om sin(x)=0. Vi får då en nolldivision. Delekvationen sin(x)/tan(x) = 0 har därmed inga lösningar. Det finns en risk att inte alla lösningar i lösningsmängden x = ± π9 + n * 2π3 löser ursprungsekvationen. Anledningen är att om tan(x) antar värdet 0 är det ingen giltig lösning, eftersom det ger en nolldivision. Vi sätter in några n i lösningsmängden och markerar lösningarna i enhetscirkeln för att undersöka om så är fallet.

För övriga n kommer vinklarna att representera samma punkter. Inga av dessa lösningar motsvarar tan(x) = 0 eftersom sin(x) aldrig blir 0. Lösningsmängden x = ± π9 + n * 2π3 löser därmed ursprungsekvationen fullständigt.

Ett tänkbart lösningsförsök för ekvationen .sin(x) /tan(x). = 0 vore att först förenkla uttrycket. Det gäller dock att vara väldigt försiktig när man gör det, eftersom det finns fallgropar som lätt kan leda till fel svar. Vi genomför förenklingen nedan och diskuterar sedan vad den får för konsekvenser.

Vi kommer då fram till att .sin(x) /tan(x). = cos(x), men den här likheten stämmer inte för alla x. Steget då uttrycket förkortas med sin(x) gäller endast om sin(x) ≠ 0. Detta eftersom en nolldivision genomförs i vänsterledet i likheten sin(x)/.sin(x) /cos(x). = 1/.1 /cos(x)., om sin(x) = 0. På samma sätt gäller steget då cos(x) flyttas upp i täljaren endast om cos(x) ≠ 0. Detta eftersom en nolldivision genomförs i vänsterledet i likheten 1/.1 /cos(x). = cos(x), om cos(x) = 0. Sammanslaget innebär det här att förenklingen sin(x)/tan(x) = cos(x) endast gäller om sin(x) ≠ 0 och cos(x) ≠ 0. cos(x) = 0 kan därmed omöjligen ge giltiga lösningar för ekvationen.