Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
4.
Cosinusekvationer
Cosinusekvationer är en typ av trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, vilket innebär att cosinusekvationer ofta har oändligt många lösningar. För att hitta alla lösningar till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när vinkeln blir mindre än 0 eller större än 360 grader. Det finns ingen övre eller undre gräns för storleken på vinkeln, så det finns oändligt många vinklar med samma cosinusvärde. Denna kunskap är användbar inom många områden, inklusive geometri och fysik.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cosinusekvationer
Sida av 4
Cosinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, och därför har cosinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Genom att utnyttja periodiciteten för cosinus kan man bestämma alla dessa.
Regel
Period för cosinus
För att hitta samtliga rötter till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när den blir mindre än 0∘ eller större än 360∘.
I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360∘, medan den andra har roterat två varv, 2⋅360∘=720∘.
Det finns ingen övre eller undre gräns för storleken på vinkeln, så det finns oändligt många med samma cosinusvärde.
Regel
Vinklar utanför intervallet 0∘−360∘
Vilka värden kan en vinkel ha? Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0∘ och 360∘. I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns "riktning" — positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.
Men om den nedre gränsen 0∘ kan passeras, hur är det då med den övre? Kan en vinkel vara större än 360∘? Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360∘ beskriver ett varvs rotation i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.
Regel
Perioden 360∘
Eftersom det är samma punkt är cosinusvärdet också samma. Det betyder att man kan lägga till eller dra bort 360∘ från en vinkel utan att cosinusvärdet förändras. Man säger att cosinus har perioden 360∘, eller 2π om man använder radianer. I enhetscirkeln nedan är punkten som motsvarar 60∘ markerad. Genom att lägga till eller dra ifrån 360∘ hittar man fler vinklar för samma punkt och som därmed har samma cosinusvärde.
Återställ
Metod
Lösa cosinusekvationer
I en cosinusekvation av typen
Ibland används begreppet lösningsmängd när man samlar ihop alla, eller en delmängd av, en ekvations lösningar. Det är särskilt användbart för trigonometriska ekvationer där man ofta vill beskriva oändligt många lösningar. I det här fallet är v=arccos(0.4)+n⋅360∘ en lösningsmängd och v=−arccos(0.4)+n⋅360∘ en annan.
cos(v)=0.4
är man ute efter alla vinklar v som har cosinusvärdet 0.4. Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkeln finns oändligt många fler eftersom cosinusfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår tre moment, men när man själv löser ekvationen bör alla tre göras i samma beräkningssteg.
1
Hitta en lösning med arccos
expand_more 2
Lägg till spegellösningen med ±
expand_more Arcuscosinus ger alltid en positiv vinkel, men som bilden visar bör det även finnas en negativ lösning. Den får man genom att spegla vinkeln i x-axeln. För att ange båda lösningarna samtidigt används tecknet ±.
±arccos(0.4)
3
Lägg till perioder
expand_more Nu har man hittat de två lösningar som syns i enhetscirkeln. Men cosinus har perioden 360∘ (eller 2π) så genom att lägga till ett varv hittar man ytterligare två:
arccos(0.4)+360∘och−arccos(0.4)+360∘.
På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas
v=±arccos(0.4)+n⋅360∘,
där n är ett heltal. Exempel
Lös cosinusekvationen fullständigt
Lös ekvationen cos(2v)=21. Svara i grader.
Visa Lösning expand_more
Vi använder arcuscosinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden 360∘.
Nu har vi blivit av med cosinusuttrycket, men det står ju 2v i vänsterledet. Vi dividerar därför med 2 på båda sidor. Tänk på att både 60∘ och n⋅360∘ delas med 2.
Det finns alltså oändligt många lösningar till ekvationen och de kan alla beskrivas med formeln
v=±30∘+n⋅180∘,
där n är ett heltal. Det är en sammanslagning av lösningsmängderna
v=−30∘+n⋅180∘ochv=30∘+n⋅180∘.
Nu är vi egentligen klara, men för att visa några vinklar som löser ekvationen kan vi genom sätta in olika värden på n. | n | −30∘+n⋅180∘ | v1 | 30∘+n⋅180∘ | v2 |
|---|---|---|---|---|
| −2 | −30∘−2⋅180∘ | −390∘ | 30∘−2⋅180∘ | −330∘ |
| −1 | −30∘−1⋅180∘ | −210∘ | 30∘−1⋅180∘ | −150∘ |
| 0 | −30∘+0⋅180∘ | −30∘ | 30∘+0⋅180∘ | 30∘ |
| 1 | −30∘+1⋅180∘ | 150∘ | 30∘+1⋅180∘ | 210∘ |
| 2 | −30∘+2⋅180∘ | 330∘ | 30∘+2⋅180∘ | 390∘ |
Cosinusekvationer
Cosinusekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll