9. Avstånds- och mittpunktsformlerna
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
9.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion ger en djupgående förståelse för avståndsformeln och mittpunktsformeln. Den förklarar hur man kan använda dessa formler för att lösa geometriska problem, som att beräkna avståndet mellan två punkter eller bestämma mittpunkten mellan två punkter i ett koordinatsystem. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 9 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 9
Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Koordinatgeometri
- Avståndsformeln
- Mittpunkt
- Mittpunktsformeln
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Koordinatgeometri
I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Avståndsformeln
För två punkter (x_1, y_1) och (x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
Bevis
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta d) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δ x och Δ y.
Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som d^2 = (Δ x)^2 + (Δ y)^2, där Δ x och Δ y är differensen mellan punkternas koordinater. Δ x är alltså x_2 - x_1 och Δ y är y_2 - y_1. Detta sätts in i uttrycket och d löses ut för att få avståndsformeln.
d^2 = (Δ x)^2 + (Δ y)^2
SubstituteII
Δ x= x_2 - x_1 och Δ y= y_2 - y_1
d^2 = ( x_2 - x_1 )^2 + ( y_2 - y_1 )^2
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
d = ± sqrt(( x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2)
d > 0
d = sqrt(( x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2)
Eftersom d är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln
Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet. Svara i exakt form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{340}","2\\sqrt{85}"]}}
Ledtråd
Använd avståndsformeln.
Lösning
För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 6, - 4) och (8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
SubstitutePoints
Sätt in ( 8,8) & ( - 6, - 4)
d = sqrt(( 8-( - 6))^2 + ( 8-( - 4))^2)
SubNeg
a-(- b)=a+b
d = sqrt(14^2+12^2)
CalcPow
Beräkna potens
d = sqrt(196+144)
AddTerms
Addera termerna
d = sqrt(340)
Avståndet mellan punkterna är sqrt(340) le.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att hitta avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem
Använd avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Mittpunkt
Mittpunkten av en linjesegment är den punkt som delar segmentet i två segment av lika längd.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Mittpunktsformeln
Mittpunkten (x_m,y_m) mellan två punkter, (x_1, y_1) och (x_2, y_2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas x- respektive y-koordinater.
x_m=x_1+x_2/2 och y_m=y_1+y_2/2
Bevis
För enkelhetens skull kommer punkterna A(x_1,y_1) och B(x_2,y_2) att godtyckligt placeras i första kvadranten. Betrakta också sträckan som förbinder dessa punkter. Mittpunkten M mellan A och B är mittpunkten på denna sträcka. Observera att punkternas position i planet inte påverkar beviset.
Betrakta det horisontella avståndet Δ x och det vertikala avståndet Δ y mellan A och B. Eftersom M är mittpunkten, delar M varje avstånd, Δ x och Δ y, i hälften. Därför är de horisontella och vertikala avstånden från varje ändpunkt till mittpunkten Δ x2 och Δ y2. Låt x_m och y_m vara koordinaterna för M.
Fokusera nu på x-koordinaterna. Skillnaden mellan de motsvarande x-koordinaterna ger de horisontella avstånden mellan mittpunkten och ändpunkterna. x_m - x_1 and x_2 - x_m Grafen ovan visar att dessa avstånd båda är lika med Δ x2. Därför är de lika enligt den transitiva lagen för likhet. x_m-x_1= Δ x2 x_2-x_m= Δ x2 ⇓ x_m-x_1= x_2-x_m Denna ekvation kan lösas för att hitta x_m, x-koordinaten för mittpunkten M.
x_m - x_1 = x_2 - x_m
x_m = x_1+x_2/2
x-koordinaten för M är x_m = x_1+x_22. På samma sätt kan man visa att y-koordinaten för M är y_m = y_1+y_22. Med denna information kan koordinaterna för M uttryckas med hjälp av koordinaterna för A och B.
M(x_1 + x_2/2,y_1 + y_2/2 )
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm mittpunkten mellan punkterna
Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
Ledtråd
För att hitta mittpunkten, ta medelvärdet av punkternas x-koordinater och y-koordinater.
Lösning
Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 6,4) och (6, - 8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater x_m och y_m.
x_m = x_1 + x_2/2
SubstituteII
x_1= - 6 och x_2= 6
x_m=- 6+ 6/2
AddTerms
Addera termerna
x_m=0/2
CalcQuot
Beräkna kvot
x_m=0
Mittpunktens x-koordinat är 0.
y_m = y_1 + y_2/2
SubstituteII
y_1= 4 och y_2= - 8
y_m=4+( - 8)/2
AddNeg
a+(- b)=a-b
y_m=4-8/2
SubTerm
Subtrahera term
y_m=- 4/2
CalcQuot
Beräkna kvot
y_m=- 2
Mittpunktens y-koordinat är - 2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0, - 2).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att hitta mittpunkter med hjälp av mittpunktsformeln
Använd mittpunktsformeln för att beräkna koordinaterna för mittpunkten mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Uppgift 2.1
En triangel ABC har hörn i punkterna A= (- 2,2), B= (6,6), C= (- 6, 10). Är triangeln rätvinklig? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
För att avgöra om triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats. Om den gäller är triangeln rätvinklig. Men för att använda den behöver vi triangelns sidlängder. Vi beräknar dem med avståndsformeln.
Sträckan AB
Sträckan AB är sqrt(80) le.
Sträckan AC
Sträckan AC är också sqrt(80) le.
Sträckan BC
Hypotenusan i en rätvinklig triangel är alltid den längsta sidan så om triangeln är rätvinklig är sqrt(160) le. hypotenusan. Vi sätter in våra värden i Pythagoras sats och undersöker om likheten stämmer.
När vi sätter in sidlängderna i Pythagoras sats blir leden lika stora, så triangeln måste vara rätvinklig.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Figuren visar en rätvinklig triangel, bildad av de två punkterna med koordinaterna A=(0,0) och B=(4,8) samt punkten C. Bestäm koordinaterna för punkten C, givet att hypotenusan har längden 10 och AC har längden sqrt(20).
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":"C=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-4","text2":"2"}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att sträckan BC är 10 le. och att AC är sqrt(20) le. Med avståndsformeln kan vi skapa två olika ekvationer som båda använder punkten C=(x,y). Vi får då ett ekvationssystem med två okända som kan lösas.
Sträckan AC
Vi sätter in A=(0,0) och C=(x,y) i formeln och likställer med sqrt(20).
Nu har vi en ekvation med x och y. Vi använder avståndsformeln på BC för att hitta en till.
Sträckan BC
Vi sätter in B=(4,8) och C=(x,y) i formeln och likställer med 10.
Nu har vi två ekvationer med x och y, vilket ger oss ett icke-linjärt ekvationssystem: x^2 + y^2=20 & (I) x^2+y^2-8x-16y=20. & (II) Vi kan lösa det t.ex. med substitutionsmetoden, men istället för att ersätta en bara variabel kan vi ersätta hela uttrycket x^2 + y^2 med 20 i ekvation (II). Vi sätter in detta och löser ut y. För enkelhetens skull behandlar vi ekvation (II) separat.
Nu har vi ett uttryck för y som kan sättas in i ekvation (I). Det ger oss koordinaten x.
Vi får två lösningar, x=- 4 och x=4. Men från figuren ser vi att C ligger i den andra kvadranten, dvs. på den negativa delen av x-axeln. Vi kan alltså bortse från den positiva lösningen. Vi sätter därför in x=- 4 i uttrycket för y för att bestämma y-koordinaten för C.
Punkten C finns alltså i koordinaterna (- 4, 2).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vad är avståndet mellan (4,f(4)) och (7,f(7)) om f(x) = 2x + 3? Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["6,7"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kunna räkna ut avståndet mellan de två punkterna på grafen måste vi först bestämma deras koordinater. Vi har fått x-koordinaterna givna, och vi får de motsvarande y-koordinaterna genom att sätta in dessa i f(x) och räkna ut funktionsvärdet. För x = 4 får vi f(4) = 2 * 4 + 3 = 11 och för x = 7 får vi f(7) = 2 * 7 + 3 = 17. De två punkterna är alltså (4, 11) och (7,17). För att räkna ut avståndet mellan dem sätter vi in koordinaterna i avståndsformeln.
Avståndet mellan de två punkterna är 6,7 le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En sträcka går mellan punkterna (- 20, 5) och (32, 17). Bestäm mittpunkten.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"6","text2":"11"}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att att hitta den punkt som delar in sträckan på mitten, alltså mittpunkten. Vi sätter in punkterna (- 20, 5) och (32, 17) i mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.
Vi gör samma sak för y-koordinaten.
Mittpunkten finns är (6,11), vilket är punkten som delar sträckan på mitten.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sträckorna d_1 och d_2 är lika långa. Bestäm a exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"a=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{73}{16}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ta fram ett uttryck för d_1, dvs. avståndet mellan punkten (- 4,a) och origo. Det gör vi med hjälp av avståndsformeln.
Avståndet mellan origo och (- 4,a) kan uttryckas som sqrt(16+a^2). Detta ska vara lika med avståndet mellan (- 4,a) och (1,8), dvs. d_2. Vi tar fram ett uttryck för det också.
Eftersom avstånden ska vara lika ställer vi upp ekvationen d_1=d_2 och löser ut a.
a ska alltså vara 7316.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm ett uttryck för mittpunktens koordinater mellan punkterna (a - 3, 7a) och (3 - a, 35a), där a är en konstant.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"21a"}}
security
report
code
security
report
code
Vi sätter in de två x-koordinaterna, alltså a - 3 och 3 - a, i mittpunktsformeln för att räkna ut x_m och förenklar.
Mittpunkten har alltså x-koordinaten 0. Vi bestämmer nu ett uttryck för y-koordinaten för mittpunkten.
Nu har vi mittpunktens x- och y-koordinater, uttryckta i a. Mittpunkten är (0,21a).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll