4. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
4.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion ger en djupgående förståelse för avståndsformeln och mittpunktsformeln. Den förklarar hur man kan använda dessa formler för att lösa geometriska problem, som att beräkna avståndet mellan två punkter eller bestämma mittpunkten mellan två punkter i ett koordinatsystem. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 9
Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Koordinatgeometri
- Avståndsformeln
- Mittpunkt
- Mittpunktsformeln
Förkunskaper
Koncept
Koordinatgeometri
I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.
Regel
Avståndsformeln
För två punkter (x1,y1) och (x2,y2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Bevis
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta d) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δx och Δy.
d2=(Δx)2+(Δy)2,
där Δx och Δy är differensen mellan punkternas koordinater. Δx är alltså x2−x1 och Δy är y2−y1. Detta sätts in i uttrycket och d löses ut för att få avståndsformeln.
d2=(Δx)2+(Δy)2
SubstituteII
Δx=x2−x1 och Δy=y2−y1
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SqrtEqn
VL=HL
d=±(x2−x1)2+(y2−y1)2
d>0
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Q.E.D.
Exempel
Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln
Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet. Svara i exakt form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{340}","2\\sqrt{85}"]}}
Ledtråd
Använd avståndsformeln.
Lösning
För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SubstitutePoints
Sätt in (8,8) & (−6,−4)
d=(8−(−6))2+(8−(−4))2
SubNeg
a−(−b)=a+b
d=142+122
CalcPow
Beräkna potens
d=196+144
AddTerms
Addera termer
d=340
Övning
Öva på att hitta avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem
Använd avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.
Koncept
Mittpunkt
Mittpunkten av en linjesegment är den punkt som delar segmentet i två segment av lika längd.
Punkten M är mittpunkten av segmentet AB eftersom avståndet från A till M är detsamma som avståndet från M till B.
Regel
Mittpunktsformeln
Mittpunkten (xm,ym) mellan två punkter, (x1,y1) och (x2,y2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas x- respektive y-koordinater.
xm=2x1+x2 och ym=2y1+y2
Bevis
För enkelhetens skull kommer punkterna A(x1,y1) och B(x2,y2) att godtyckligt placeras i första kvadranten. Betrakta också sträckan som förbinder dessa punkter. Mittpunkten M mellan A och B är mittpunkten på denna sträcka. Observera att punkternas position i planet inte påverkar beviset.
Betrakta det horisontella avståndet Δx och det vertikala avståndet Δy mellan A och B. Eftersom M är mittpunkten, delar M varje avstånd, Δx och Δy, i hälften. Därför är de horisontella och vertikala avstånden från varje ändpunkt till mittpunkten 2Δx och 2Δy. Låt xm och ym vara koordinaterna för M.
Fokusera nu på x-koordinaterna. Skillnaden mellan de motsvarande x-koordinaterna ger de horisontella avstånden mellan mittpunkten och ändpunkterna.
x-koordinaten för M är xm=2x1+x2. På samma sätt kan man visa att y-koordinaten för M är ym=2y1+y2. Med denna information kan koordinaterna för M uttryckas med hjälp av koordinaterna för A och B.
xm−x1andx2−xm
Grafen ovan visar att dessa avstånd båda är lika med 2Δx. Därför är de lika enligt den transitiva lagen för likhet.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧xm−x1=2Δx21x2−xm=2Δx21⇓xm−x1=x2−xm
Denna ekvation kan lösas för att hitta xm, x-koordinaten för mittpunkten M.
xm−x1=x2−xm
xm=2x1+x2
M(2x1+x2,2y1+y2)
Exempel
Bestäm mittpunkten mellan punkterna
Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
Ledtråd
För att hitta mittpunkten, ta medelvärdet av punkternas x-koordinater och y-koordinater.
Lösning
Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.
xm=2x1+x2
SubstituteII
x1=−6 och x2=6
xm=2−6+6
AddTerms
Addera termer
xm=20
CalcQuot
Beräkna kvot
xm=0
ym=2y1+y2
SubstituteII
y1=4 och y2=−8
ym=24+(−8)
AddNeg
a+(−b)=a−b
ym=24−8
SubTerm
Subtrahera term
ym=2−4
CalcQuot
Beräkna kvot
ym=−2
Övning
Öva på att hitta mittpunkter med hjälp av mittpunktsformeln
Använd mittpunktsformeln för att beräkna koordinaterna för mittpunkten mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Övningar
En triangel ABC har hörn i punkterna
A=(−2,2),B=(6,6),C=(−6,10).
Är triangeln rätvinklig? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
För att avgöra om triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats. Om den gäller är triangeln rätvinklig. Men för att använda den behöver vi triangelns sidlängder. Vi beräknar dem med avståndsformeln.
Sträckan AB
Sträckan AB är sqrt(80) le.
Sträckan AC
Sträckan AC är också sqrt(80) le.
Sträckan BC
Hypotenusan i en rätvinklig triangel är alltid den längsta sidan så om triangeln är rätvinklig är sqrt(160) le. hypotenusan. Vi sätter in våra värden i Pythagoras sats och undersöker om likheten stämmer.
När vi sätter in sidlängderna i Pythagoras sats blir leden lika stora, så triangeln måste vara rätvinklig.
security
report
code
Vad är avståndet mellan (4,f(4)) och (7,f(7)) om
f(x)=2x+3?
Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["6.7"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kunna räkna ut avståndet mellan de två punkterna på grafen måste vi först bestämma deras koordinater. Vi har fått x-koordinaterna givna, och vi får de motsvarande y-koordinaterna genom att sätta in dessa i f(x) och räkna ut funktionsvärdet. För x = 4 får vi f(4) = 2 * 4 + 3 = 11 och för x = 7 får vi f(7) = 2 * 7 + 3 = 17. De två punkterna är alltså (4, 11) och (7,17). För att räkna ut avståndet mellan dem sätter vi in koordinaterna i avståndsformeln.
Avståndet mellan de två punkterna är 6.7 le.
security
report
code
En sträcka går mellan punkterna (−20,5) och (32,17). Bestäm mittpunkten.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"6","text2":"11"}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att att hitta den punkt som delar in sträckan på mitten, alltså mittpunkten. Vi sätter in punkterna (- 20, 5) och (32, 17) i mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.
Vi gör samma sak för y-koordinaten.
Mittpunkten finns är (6,11), vilket är punkten som delar sträckan på mitten.
security
report
code
Sträckorna d1 och d2 är lika långa. Bestäm a exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{73}{16}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ta fram ett uttryck för d_1, dvs. avståndet mellan punkten (- 4,a) och origo. Det gör vi med hjälp av avståndsformeln.
Avståndet mellan origo och (- 4,a) kan uttryckas som sqrt(16+a^2). Detta ska vara lika med avståndet mellan (- 4,a) och (1,8), dvs. d_2. Vi tar fram ett uttryck för det också.
Eftersom avstånden ska vara lika ställer vi upp ekvationen d_1=d_2 och löser ut a.
a ska alltså vara 7316.
security
report
code
Bestäm ett uttryck för mittpunktens koordinater mellan punkterna (a−3,7a) och (3−a,35a), där a är en konstant.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"21a"}}
security
report
code
security
report
code
Vi sätter in de två x-koordinaterna, alltså a - 3 och 3 - a, i mittpunktsformeln för att räkna ut x_m och förenklar.
Mittpunkten har alltså x-koordinaten 0. Vi bestämmer nu ett uttryck för y-koordinaten för mittpunkten.
Nu har vi mittpunktens x- och y-koordinater, uttryckta i a. Mittpunkten är (0,21a).
security
report
code
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll