4. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion ger en djupgående förståelse för avståndsformeln och mittpunktsformeln. Den förklarar hur man kan använda dessa formler för att lösa geometriska problem, som att beräkna avståndet mellan två punkter eller bestämma mittpunkten mellan två punkter i ett koordinatsystem. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 6
Videolektion Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt
Minispelare aktiv
Begrepp
Koordinatgeometri
I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.
Regel
Avståndsformeln
För två punkter (x1,y1) och (x2,y2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.
Bevis
Bevis för avståndsformeln
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta d) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δx och Δy.
d2=(Δx)2+(Δy)2,
där Δx och Δy är differensen mellan punkternas koordinater. Δx är alltså x2−x1 och Δy är y2−y1. Detta sätts in i uttrycket och d löses ut för att få avståndsformeln.
d2=(Δx)2+(Δy)2
SubstituteII
Δx=x2−x1 och Δy=y2−y1
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SqrtEqn
VL=HL
d=±(x2−x1)2+(y2−y1)2
d>0
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Eftersom d är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.
Q.E.D.
Exempel
Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln
Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet.
Visa Lösning expand_more
För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.
Punkterna ligger i koordinaterna (−6,−4) och (8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SubstitutePoints
Sätt in (8,8) & (−6,−4)
d=(8−(−6))2+(8−(−4))2
SubNeg
a−(−b)=a+b
d=142+122
CalcPow
Beräkna potens
d=196+144
AddTerms
Addera termer
d=340
Avståndet mellan punkterna är 340 le.
Regel
Mittpunktsformeln
Mittpunkten (xm,ym) mellan två punkter, (x1,y1) och (x2,y2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas x- respektive y-koordinater.
Regel
xm=2x1+x2ochym=2y1+y2För att bestämma mittpunkten mellan två punkter kan man börja med att se sträckan d mellan punkterna som hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunkten kommer då att halvera denna. Eftersom hypotenusan halveras kommer även de två kateterna att delas på hälften.
I koordinatsystemet kan avstånden i x-led mellan punkterna (−3,−2), mittpunkten (xm,ym) och (5,6) uttryckas som skillnaden mellan x-koordinaterna.
Eftersom (xm,ym) är mittpunkt på den tänkta hypotenusan blir de två avstånden i x-led, xm−(−3) och 5−xm, lika stora. Man kan därför sätta dessa lika för att få en ekvation som man kan lösa ut xm ur.
xm−(−3)=5−xm
AddEqn
VL+xm=HL+xm
2xm−(−3)=5
SubNeg
a−(−b)=a+b
2xm+3=5
SubEqn
VL−3=HL−3
2xm=−3+5
DivEqn
VL/2=HL/2
xm=2−3+5
xm=2x1+x2=2−3+5,
dvs. samma som med resonemanget ovan. På motsvarande sätt kan man motivera att mittpunkten i y-led är ym=2y1+y2.
Exempel
Bestäm mittpunkten mellan punkterna
Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.
Visa Lösning expand_more
Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.
Punkterna ligger i koordinaterna (−6,4) och (6,−8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater xm och ym.
xm=2x1+x2
SubstituteII
x1=−6 och x2=6
xm=2−6+6
AddTerms
Addera termer
xm=20
CalcQuot
Beräkna kvot
xm=0
Mittpunktens x-koordinat är 0.
ym=2y1+y2
SubstituteII
y1=4 och y2=−8
ym=24+(−8)
AddNeg
a+(−b)=a−b
ym=24−8
SubTerm
Subtrahera term
ym=2−4
CalcQuot
Beräkna kvot
ym=−2
Mittpunktens y-koordinat är −2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0,−2).
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Uppgift 3.1
Beräkna avståndet mellan punkterna A och B. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["\\sqrt{320}","8\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna sträckan mellan A och B använder vi avståndsformeln. Vi ser att A har x-koordinaten - 2 och B har y-koordinaten - 13. För att använda avståndsformeln behöver vi veta punkternas båda koordinater.
Punkt A
Vi sätter in x=- 2 i funktionen och förenklar.
Första punkten ligger i koordinaterna (- 2,3).
Punkt B
Vi likställer y med - 13 och löser ut x.
Eftersom punkten ligger till höger om y-axeln är x positiv.
Avståndet mellan punkterna är sqrt(320) le.
security
report
code
På linjen y=2x finns en punkt P vars avstånd till origo är 24 längdenheter. Beräkna punkten P:s x-koordinat, x>0. Svara exakt.
Nationella provet HT98 MaB
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{24}{\\sqrt{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Avståndet från origo till P är 24 längdenheter. Vi vet även att P ligger på linjen y=2x. Det betyder att för varje x-koordinat kan man beräkna y-koordinaten genom att multiplicera x med 2. Koordinaterna för P kan därför skrivas (x,2x).
Vi sätter in punkterna (x, 2x) och (0, 0) i avståndsformeln och förenklar.
Eftersom avståndet till P är 24 le. är d=24. Vi sätter in det och löser ut x.
x-koordinaten är alltså 24sqrt(5).
security
report
code
En cirkel med radien 4 le. är inskriven i ett koordinatsystem. En godtycklig punkt (x,y) på cirkelns rand är markerad.
x2+y2=16?
Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi vet att cirkelns radie är 4 le. följer att avståndet mellan origo och alla punkter på randen är lika med 4. Det betyder alltså att avståndet från origo till den generella punkten (x,y) också är lika med 4.
Då kan vi ställa upp ett samband genom att använda avståndsformeln för punkterna (0,0) och (x,y).
likheten gäller alltså.
security
report
code
Två tåg åker lika snabbt mot varandra på en raksträcka i närheten av Norrköping. Det ena tåget befinner sig 58 km norr och 22 km väster om Norrköping samtidigt som det andra tåget befinner sig 36 km öster och 10 km söder om staden. Vad är avståndet från Norrköping när de två tågen möts?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["25"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att tolka tågens position som punkter i ett koordinatsystem. Vi låter Norrköping vara i origo och väljer sedan att norr är uppåt längs med y-axeln. Då kommer platser norr om Norrköping ha positiva y-värden och platser till söder ha negativa y-värden. På samma sätt blir platser till öster och väster om staden positiva respektive negativa på x-axeln.
Vi vet att det första tåget är 58 km norr och 22 km väster om Norrköping, vilket kan tolkas som koordinaterna (- 22, 58) medan det andra tåget är 36 km öster och 10 km söder om staden, vilket ger koordinaten (36, - 10). Om de färdas mot varandra med samma hastighet på en raksträcka kommer de att mötas i mittpunkten mellan dessa punkter. Den kan vi räkna ut den med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.
Vi räknar sedan ut y-koordinaten.
Vi får mittpunkten (7,24). Tågen kommer alltså att mötas 7 km norr och 24 km öster om Norrköping.
Vi vill nu veta avståndet från den punkten till Norrköping. Vi definierade koordinatsystemet så att staden ligger i origo, så vi använder avståndsformeln för de två punkterna (0,0) och (7,24).
Tågen möts alltså 25 km från Norrköping.
security
report
code
En cirkel med radien a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.
Bestäm den mindre cirkelns radie.
Nationella provet VT15 2a/2b/2c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a(\\sqrt{2}-1)"]}}
security
report
code
security
report
code
Mittpunkten på den stora cirkeln ligger i punkten (a,a). Genom att beräkna avståndet från origo till denna punkt kan vi bestämma summan av radierna.
Vi skapar ett uttryck för avståndet genom att sätta in (0,0) och (a,a) i avståndsformeln.
Summan av cirklarnas radier är alltså sqrt(2)a. Den mindre cirkelns radie är denna summa minus den stora cirkelns radie, dvs. a. Vi ställer upp denna differens och förenklar.
Den mindre cirkelns radie kan alltså uttryckas a(sqrt(2)- 1).
security
report
code
På linjen y=2x−5 ligger en punkt P i första kvadranten. Avståndet mellan punkten P och origo är 10 längdenheter. Bestäm x-koordinaten för punkten P. Svara exakt.
Nationella provet VT12 kurs 2b/2c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2+\\sqrt{19}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi känner inte till koordinaterna för punkten P men vi vet att den ligger någonstans på linjen y=2x-5. Om vi kallar x-koordinaten för a så måste alltså y-koordinaten vara y=2a-5. Vi vet också att den ska ligga i första kvadranten och på avståndet 10 längdenheter från origo. Vi skissar denna situation.
Vi vet alltså att avståndet mellan punkten (a, 2a-5) och (0,0) ska vara 10 längdenheter. Vi sätter in detta i avståndsformeln och förenklar den ekvation vi får.
Nu kan vi lösa ekvationen med pq-formeln.
Både a=2-sqrt(19) och a=2+sqrt(19) löser ekvationen. Utför man beräkningen visar det dock sig att den första lösningen är ett negativt tal. a=2-sqrt(19)=-2.35889... Detta kan alltså inte vara den x-koordinat vi söker eftersom vi vet att punkten P ligger i första kvadranten, och där finns bara positiva x-värden. Punkten P måste alltså ha x-koordinaten 2+sqrt(19).
security
report
code
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll