9. Avstånds- och mittpunktsformlerna
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
9.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion ger en djupgående förståelse för avståndsformeln och mittpunktsformeln. Den förklarar hur man kan använda dessa formler för att lösa geometriska problem, som att beräkna avståndet mellan två punkter eller bestämma mittpunkten mellan två punkter i ett koordinatsystem. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 9 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 9
Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Koordinatgeometri
- Avståndsformeln
- Mittpunkt
- Mittpunktsformeln
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Koordinatgeometri
I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Avståndsformeln
För två punkter (x_1, y_1) och (x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
Bevis
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta d) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δ x och Δ y.
Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som d^2 = (Δ x)^2 + (Δ y)^2, där Δ x och Δ y är differensen mellan punkternas koordinater. Δ x är alltså x_2 - x_1 och Δ y är y_2 - y_1. Detta sätts in i uttrycket och d löses ut för att få avståndsformeln.
d^2 = (Δ x)^2 + (Δ y)^2
SubstituteII
Δ x= x_2 - x_1 och Δ y= y_2 - y_1
d^2 = ( x_2 - x_1 )^2 + ( y_2 - y_1 )^2
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
d = ± sqrt(( x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2)
d > 0
d = sqrt(( x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2)
Eftersom d är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln
Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet. Svara i exakt form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{340}","2\\sqrt{85}"]}}
Ledtråd
Använd avståndsformeln.
Lösning
För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 6, - 4) och (8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
SubstitutePoints
Sätt in ( 8,8) & ( - 6, - 4)
d = sqrt(( 8-( - 6))^2 + ( 8-( - 4))^2)
SubNeg
a-(- b)=a+b
d = sqrt(14^2+12^2)
CalcPow
Beräkna potens
d = sqrt(196+144)
AddTerms
Addera termerna
d = sqrt(340)
Avståndet mellan punkterna är sqrt(340) le.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att hitta avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem
Använd avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Mittpunkt
Mittpunkten av en linjesegment är den punkt som delar segmentet i två segment av lika längd.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Mittpunktsformeln
Mittpunkten (x_m,y_m) mellan två punkter, (x_1, y_1) och (x_2, y_2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas x- respektive y-koordinater.
x_m=x_1+x_2/2 och y_m=y_1+y_2/2
Bevis
För enkelhetens skull kommer punkterna A(x_1,y_1) och B(x_2,y_2) att godtyckligt placeras i första kvadranten. Betrakta också sträckan som förbinder dessa punkter. Mittpunkten M mellan A och B är mittpunkten på denna sträcka. Observera att punkternas position i planet inte påverkar beviset.
Betrakta det horisontella avståndet Δ x och det vertikala avståndet Δ y mellan A och B. Eftersom M är mittpunkten, delar M varje avstånd, Δ x och Δ y, i hälften. Därför är de horisontella och vertikala avstånden från varje ändpunkt till mittpunkten Δ x2 och Δ y2. Låt x_m och y_m vara koordinaterna för M.
Fokusera nu på x-koordinaterna. Skillnaden mellan de motsvarande x-koordinaterna ger de horisontella avstånden mellan mittpunkten och ändpunkterna. x_m - x_1 and x_2 - x_m Grafen ovan visar att dessa avstånd båda är lika med Δ x2. Därför är de lika enligt den transitiva lagen för likhet. x_m-x_1= Δ x2 x_2-x_m= Δ x2 ⇓ x_m-x_1= x_2-x_m Denna ekvation kan lösas för att hitta x_m, x-koordinaten för mittpunkten M.
x_m - x_1 = x_2 - x_m
x_m = x_1+x_2/2
x-koordinaten för M är x_m = x_1+x_22. På samma sätt kan man visa att y-koordinaten för M är y_m = y_1+y_22. Med denna information kan koordinaterna för M uttryckas med hjälp av koordinaterna för A och B.
M(x_1 + x_2/2,y_1 + y_2/2 )
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm mittpunkten mellan punkterna
Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
Ledtråd
För att hitta mittpunkten, ta medelvärdet av punkternas x-koordinater och y-koordinater.
Lösning
Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 6,4) och (6, - 8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater x_m och y_m.
x_m = x_1 + x_2/2
SubstituteII
x_1= - 6 och x_2= 6
x_m=- 6+ 6/2
AddTerms
Addera termerna
x_m=0/2
CalcQuot
Beräkna kvot
x_m=0
Mittpunktens x-koordinat är 0.
y_m = y_1 + y_2/2
SubstituteII
y_1= 4 och y_2= - 8
y_m=4+( - 8)/2
AddNeg
a+(- b)=a-b
y_m=4-8/2
SubTerm
Subtrahera term
y_m=- 4/2
CalcQuot
Beräkna kvot
y_m=- 2
Mittpunktens y-koordinat är - 2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0, - 2).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att hitta mittpunkter med hjälp av mittpunktsformeln
Använd mittpunktsformeln för att beräkna koordinaterna för mittpunkten mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Uppgift 3.1
Beräkna avståndet mellan punkterna A och B. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["\\sqrt{320}","8\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna sträckan mellan A och B använder vi avståndsformeln. Vi ser att A har x-koordinaten - 2 och B har y-koordinaten - 13. För att använda avståndsformeln behöver vi veta punkternas båda koordinater.
Punkt A
Vi sätter in x=- 2 i funktionen och förenklar.
Första punkten ligger i koordinaterna (- 2,3).
Punkt B
Vi likställer y med - 13 och löser ut x.
Eftersom punkten ligger till höger om y-axeln är x positiv.
Avståndet mellan punkterna är sqrt(320) le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
På linjen y = 2x finns en punkt P vars avstånd till origo är 24 längdenheter. Beräkna punkten P:s x-koordinat, x > 0. Svara exakt.
Nationella provet HT98 MaB
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{24}{\\sqrt{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Avståndet från origo till P är 24 längdenheter. Vi vet även att P ligger på linjen y=2x . Det betyder att för varje x-koordinat kan man beräkna y-koordinaten genom att multiplicera x med 2. Koordinaterna för P kan därför skrivas (x,2x).
Vi sätter in punkterna (x, 2x) och (0, 0) i avståndsformeln och förenklar.
Eftersom avståndet till P är 24 le. är d=24. Vi sätter in det och löser ut x.
x-koordinaten är alltså 24sqrt(5).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En cirkel med radien 4 le. är inskriven i ett koordinatsystem. En godtycklig punkt (x,y) på cirkelns rand är markerad.
Gäller likheten x^2 + y^2 = 16? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi vet att cirkelns radie är 4 le. följer att avståndet mellan origo och alla punkter på randen är lika med 4. Det betyder alltså att avståndet från origo till den generella punkten (x,y) också är lika med 4.
Då kan vi ställa upp ett samband genom att använda avståndsformeln för punkterna (0,0) och (x,y).
likheten gäller alltså.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Två tåg åker lika snabbt mot varandra på en raksträcka i närheten av Norrköping. Det ena tåget befinner sig 58km norr och 22km väster om Norrköping samtidigt som det andra tåget befinner sig 36km öster och 10km söder om staden. Vad är avståndet från Norrköping när de två tågen möts?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["25"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att tolka tågens position som punkter i ett koordinatsystem. Vi låter Norrköping vara i origo och väljer sedan att norr är uppåt längs med y-axeln. Då kommer platser norr om Norrköping ha positiva y-värden och platser till söder ha negativa y-värden. På samma sätt blir platser till öster och väster om staden positiva respektive negativa på x-axeln.
Vi vet att det första tåget är 58km norr och 22km väster om Norrköping, vilket kan tolkas som koordinaterna (- 22, 58) medan det andra tåget är 36km öster och 10km söder om staden, vilket ger koordinaten (36, - 10). Om de färdas mot varandra med samma hastighet på en raksträcka kommer de att mötas i mittpunkten mellan dessa punkter. Den kan vi räkna ut den med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.
Vi räknar sedan ut y-koordinaten.
Vi får mittpunkten (7,24). Tågen kommer alltså att mötas 7km norr och 24km öster om Norrköping.
Vi vill nu veta avståndet från den punkten till Norrköping. Vi definierade koordinatsystemet så att staden ligger i origo, så vi använder avståndsformeln för de två punkterna (0,0) och (7,24).
Tågen möts alltså 25km från Norrköping.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En cirkel med radien a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.
Bestäm den mindre cirkelns radie.
Nationella provet VT15 2a/2b/2c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a(\\sqrt{2}-1)"]}}
security
report
code
security
report
code
Mittpunkten på den stora cirkeln ligger i punkten (a,a). Genom att beräkna avståndet från origo till denna punkt kan vi bestämma summan av radierna.
Vi skapar ett uttryck för avståndet genom att sätta in (0,0) och (a,a) i avståndsformeln.
Summan av cirklarnas radier är alltså sqrt(2)a. Den mindre cirkelns radie är denna summa minus den stora cirkelns radie, dvs. a. Vi ställer upp denna differens och förenklar.
Den mindre cirkelns radie kan alltså uttryckas a(sqrt(2)- 1).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
På linjen y=2x-5 ligger en punkt P i första kvadranten. Avståndet mellan punkten P och origo är 10 längdenheter. Bestäm x-koordinaten för punkten P. Svara exakt.
Nationella provet VT12 kurs 2b/2c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2+\\sqrt{19}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi känner inte till koordinaterna för punkten P men vi vet att den ligger någonstans på linjen y=2x-5. Om vi kallar x-koordinaten för a så måste alltså y-koordinaten vara y=2a-5. Vi vet också att den ska ligga i första kvadranten och på avståndet 10 längdenheter från origo. Vi skissar denna situation.
Vi vet alltså att avståndet mellan punkten (a, 2a-5) och (0,0) ska vara 10 längdenheter. Vi sätter in detta i avståndsformeln och förenklar den ekvation vi får.
Nu kan vi lösa ekvationen med pq-formeln.
Både a=2-sqrt(19) och a=2+sqrt(19) löser ekvationen. Utför man beräkningen visar det dock sig att den första lösningen är ett negativt tal. a=2-sqrt(19)=-2,35889... Detta kan alltså inte vara den x-koordinat vi söker eftersom vi vet att punkten P ligger i första kvadranten, och där finns bara positiva x-värden. Punkten P måste alltså ha x-koordinaten 2+sqrt(19).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll