Avstånds- och mittpunktsformlerna

För att beräkna sträckan mellan A och B använder vi avståndsformeln. Vi ser att A har x-koordinaten - 2 och B har y-koordinaten - 13. För att använda avståndsformeln behöver vi veta punkternas båda koordinater.

Punkt A

Vi sätter in x=- 2 i funktionen och förenklar.

Första punkten ligger i koordinaterna (- 2,3).

Punkt B

Vi likställer y med - 13 och löser ut x.

Eftersom punkten ligger till höger om y-axeln är x positiv.

Avståndet mellan punkterna är sqrt(320) le.

Avståndet från origo till P är 24 längdenheter. Vi vet även att P ligger på linjen y=2x . Det betyder att för varje x-koordinat kan man beräkna y-koordinaten genom att multiplicera x med 2. Koordinaterna för P kan därför skrivas (x,2x).

Vi sätter in punkterna (x, 2x) och (0, 0) i avståndsformeln och förenklar.

Eftersom avståndet till P är 24 le. är d=24. Vi sätter in det och löser ut x.

x-koordinaten är alltså 24sqrt(5).

Eftersom vi vet att cirkelns radie är 4 le. följer att avståndet mellan origo och alla punkter på randen är lika med 4. Det betyder alltså att avståndet från origo till den generella punkten (x,y) också är lika med 4.

Då kan vi ställa upp ett samband genom att använda avståndsformeln för punkterna (0,0) och (x,y).

likheten gäller alltså.

Vi börjar med att tolka tågens position som punkter i ett koordinatsystem. Vi låter Norrköping vara i origo och väljer sedan att norr är uppåt längs med y-axeln. Då kommer platser norr om Norrköping ha positiva y-värden och platser till söder ha negativa y-värden. På samma sätt blir platser till öster och väster om staden positiva respektive negativa på x-axeln.

Vi vet att det första tåget är 58km norr och 22km väster om Norrköping, vilket kan tolkas som koordinaterna (- 22, 58) medan det andra tåget är 36km öster och 10km söder om staden, vilket ger koordinaten (36, - 10). Om de färdas mot varandra med samma hastighet på en raksträcka kommer de att mötas i mittpunkten mellan dessa punkter. Den kan vi räkna ut den med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.

Vi räknar sedan ut y-koordinaten.

Vi får mittpunkten (7,24). Tågen kommer alltså att mötas 7km norr och 24km öster om Norrköping.

Vi vill nu veta avståndet från den punkten till Norrköping. Vi definierade koordinatsystemet så att staden ligger i origo, så vi använder avståndsformeln för de två punkterna (0,0) och (7,24).

Tågen möts alltså 25km från Norrköping.

Mittpunkten på den stora cirkeln ligger i punkten (a,a). Genom att beräkna avståndet från origo till denna punkt kan vi bestämma summan av radierna.

Vi skapar ett uttryck för avståndet genom att sätta in (0,0) och (a,a) i avståndsformeln.

Summan av cirklarnas radier är alltså sqrt(2)a. Den mindre cirkelns radie är denna summa minus den stora cirkelns radie, dvs. a. Vi ställer upp denna differens och förenklar.

Den mindre cirkelns radie kan alltså uttryckas a(sqrt(2)- 1).

Vi känner inte till koordinaterna för punkten P men vi vet att den ligger någonstans på linjen y=2x-5. Om vi kallar x-koordinaten för a så måste alltså y-koordinaten vara y=2a-5. Vi vet också att den ska ligga i första kvadranten och på avståndet 10 längdenheter från origo. Vi skissar denna situation.

Vi vet alltså att avståndet mellan punkten (a, 2a-5) och (0,0) ska vara 10 längdenheter. Vi sätter in detta i avståndsformeln och förenklar den ekvation vi får.

Nu kan vi lösa ekvationen med pq-formeln.

Både a=2-sqrt(19) och a=2+sqrt(19) löser ekvationen. Utför man beräkningen visar det dock sig att den första lösningen är ett negativt tal. a=2-sqrt(19)=-2,35889... Detta kan alltså inte vara den x-koordinat vi söker eftersom vi vet att punkten P ligger i första kvadranten, och där finns bara positiva x-värden. Punkten P måste alltså ha x-koordinaten 2+sqrt(19).