Avståndsformeln och Mittpunktsformeln: Beräkna Avstånd Mellan Två Punkter

Figuren visar en rätvinklig triangel, bildad av de två punkterna med koordinaterna $A = (0, 0)$ och $B = (4, 8)$ samt punkten $C .$ Bestäm koordinaterna för punkten $C,$ givet att hypotenusan har längden $10$ och $A C$ har längden $20 .$

En rätvinklig triangel i ett koordinatsystem, med hörn i (0,0), (4,8) och C.

Vi vet att sträckan BC är 10 le. och att AC är sqrt(20) le. Med avståndsformeln kan vi skapa två olika ekvationer som båda använder punkten C=(x,y). Vi får då ett ekvationssystem med två okända som kan lösas.

Sträckan AC

Vi sätter in A=(0,0) och C=(x,y) i formeln och likställer med sqrt(20).

Nu har vi en ekvation med x och y. Vi använder avståndsformeln på BC för att hitta en till.

Sträckan BC

Vi sätter in B=(4,8) och C=(x,y) i formeln och likställer med 10.

Nu har vi två ekvationer med x och y, vilket ger oss ett icke-linjärt ekvationssystem: x^2 + y^2=20 & (I) x^2+y^2-8x-16y=20. & (II) Vi kan lösa det t.ex. med substitutionsmetoden, men istället för att ersätta en bara variabel kan vi ersätta hela uttrycket x^2 + y^2 med 20 i ekvation (II). Vi sätter in detta och löser ut y. För enkelhetens skull behandlar vi ekvation (II) separat.

Nu har vi ett uttryck för y som kan sättas in i ekvation (I). Det ger oss koordinaten x.

Vi får två lösningar, x=- 4 och x=4. Men från figuren ser vi att C ligger i den andra kvadranten, dvs. på den negativa delen av x-axeln. Vi kan alltså bortse från den positiva lösningen. Vi sätter därför in x=- 4 i uttrycket för y för att bestämma y-koordinaten för C.

Punkten C finns alltså i koordinaterna (- 4, 2).

Den markerade sträckan visar det minsta avståndet mellan punkten $A = (5, 6)$ och den räta linjen $y = 3 x + 5 .$ Vilka är koordinaterna till punkten $B$ ?

För att beräkna avstånd mellan två punkter använder vi avståndsformeln. Den ena punktens koordinater vet vi, A=(5,6). Men vilka koordinater har B? Vi vet att den ligger på linjen y=3x+5, så varje punkt på linjen kan skrivas som (x,3x+5). Vi sätter in detta uttryck och A i avståndsformeln.

Vi får alltså en funktion d som beskriver avståndet mellan (5,6) och linjen y=3x-1. Det är detta avstånd vi vill minimera. Det gör vi genom att bestämma det minsta värdet på det som står under rottecknet dvs. y=10x^2-16x+26. Eftersom x^2-termen i andragradsfunktionen är positiv har y ett minimivärde.

Vi minimerar funktionen genom att hitta symmetrilinjen. Vi sätter funktionen lika med 0 och börjar lösa ekvationen med pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen så den är x_s=0.8. Avståndet är alltså kortast när x=0.8. Vi sätter in det i y=3x+5 för att bestämma y-koordinaten.

Punkten B har koordinaterna (0.8,7.4).

Vi kan använda oss av att den kortaste sträckan mellan A och linjen y=3x+5 kommer att vara den sträcka som bildar en rät vinkel med med linjen.

Alla andra sträckor man drar kan ses som hypotenusor i en rätvinklig triangel, där AB är en av kateterna. En katet i en rätvinklig triangel är alltid kortare än hypotenusan.

Vi vill därför hitta ekvationen för den linje som är vinkelrät mot y=3x+5 och som går genom (5,6). För två vinkelräta linjer gäller att produkten av deras lutningar är -1. För y=3x+5 är lutningen 3 så lutningen k för den vinkelräta linjen mellan A och B är k* 3=-1 ⇔ k=-1/3. Det betyder att linjens ekvation kommer bli på formen y=- 13x+m. Eftersom linjen går genom punkten (5,6) använder vi den för att bestämma m.

Linjen som går genom A och B är alltså y=-1/3x+23/3. Punkten B är skärningspunkten mellan den och y=3x+5. Vi hittar koordinaterna för den punkten genom att lösa ekvationssystemet y=3x+5 y=- 13x+ 233.

Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.

Punkten B har alltså koordinaterna (0.8,7.4).

Avstånds- och mittpunktsformlerna

Förkunskaper

Koordinatgeometri