Avstånds- och mittpunktsformlerna

För att beräkna avstånd mellan två punkter använder vi avståndsformeln. Den ena punktens koordinater vet vi, A=(5,6). Men vilka koordinater har B? Vi vet att den ligger på linjen y=3x+5, så varje punkt på linjen kan skrivas som (x,3x+5). Vi sätter in detta uttryck och A i avståndsformeln.

Vi får alltså en funktion d som beskriver avståndet mellan (5,6) och linjen y=3x-1. Det är detta avstånd vi vill minimera. Det gör vi genom att bestämma det minsta värdet på det som står under rottecknet dvs. y=10x^2-16x+26. Eftersom x^2termen i andragradsfunktionen är positiv har y ett minimivärde.

Vi minimerar funktionen genom att hitta symmetrilinjen. Vi sätter funktionen lika med 0 och börjar lösa ekvationen med pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen så den är x_s=0,8. Avståndet är alltså kortast när x=0,8. Vi sätter in det i y=3x+5 för att bestämma y-koordinaten.

Punkten B har koordinaterna (0,8,7,4).

Vi kan använda oss av att den kortaste sträckan mellan A och linjen y=3x+5 kommer att vara den sträcka som bildar en rät vinkel med med linjen.

Alla andra sträckor man drar kan ses som hypotenusor i en rätvinklig triangel, där AB är en av kateterna. En katet i en rätvinklig triangel är alltid kortare än hypotenusan.

Vi vill därför hitta ekvationen för den linje som är vinkelrät mot y=3x+5 och som går genom (5,6). För två vinkelräta linjer gäller att produkten av deras lutningar är -1. För y=3x+5 är lutningen 3 så lutningen k för den vinkelräta linjen mellan A och B är k* 3=-1 ⇔ k=-1/3. Det betyder att linjens ekvation kommer bli på formen y=- 13x+m. Eftersom linjen går genom punkten (5,6) använder vi den för att bestämma m.

Linjen som går genom A och B är alltså y=-1/3x+23/3. Punkten B är skärningspunkten mellan den och y=3x+5. Vi hittar koordinaterna för den punkten genom att lösa ekvationssystemet y=3x+5 y=- 13x+ 233. Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.

Punkten B har alltså koordinaterna (0,8,7,4).