9. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
9.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion ger en djupgående förståelse för avståndsformeln och mittpunktsformeln. Den förklarar hur man kan använda dessa formler för att lösa geometriska problem, som att beräkna avståndet mellan två punkter eller bestämma mittpunkten mellan två punkter i ett koordinatsystem. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 9
Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Koordinatgeometri
- Avståndsformeln
- Mittpunkt
- Mittpunktsformeln
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Koordinatgeometri
I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Avståndsformeln
För två punkter (x_1, y_1) och (x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
Bevis
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta d) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δ x och Δ y.
Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som d^2 = (Δ x)^2 + (Δ y)^2, där Δ x och Δ y är differensen mellan punkternas koordinater. Δ x är alltså x_2 - x_1 och Δ y är y_2 - y_1. Detta sätts in i uttrycket och d löses ut för att få avståndsformeln.
d^2 = (Δ x)^2 + (Δ y)^2
SubstituteII
Δ x= x_2 - x_1 och Δ y= y_2 - y_1
d^2 = ( x_2 - x_1 )^2 + ( y_2 - y_1 )^2
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
d = ± sqrt(( x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2)
d > 0
d = sqrt(( x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2)
Eftersom d är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln
Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet. Svara i exakt form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{340}","2\\sqrt{85}"]}}
Ledtråd
Använd avståndsformeln.
Lösning
För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 6, - 4) och (8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
SubstitutePoints
Sätt in ( 8,8) & ( - 6, - 4)
d = sqrt(( 8-( - 6))^2 + ( 8-( - 4))^2)
SubNeg
a-(- b)=a+b
d = sqrt(14^2+12^2)
CalcPow
Beräkna potens
d = sqrt(196+144)
AddTerms
Addera termerna
d = sqrt(340)
Avståndet mellan punkterna är sqrt(340) le.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att hitta avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem
Använd avståndsformeln för att beräkna avståndet mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Mittpunkt
Mittpunkten av en linjesegment är den punkt som delar segmentet i två segment av lika längd.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Mittpunktsformeln
Mittpunkten (x_m,y_m) mellan två punkter, (x_1, y_1) och (x_2, y_2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas x- respektive y-koordinater.
x_m=x_1+x_2/2 och y_m=y_1+y_2/2
Bevis
För enkelhetens skull kommer punkterna A(x_1,y_1) och B(x_2,y_2) att godtyckligt placeras i första kvadranten. Betrakta också sträckan som förbinder dessa punkter. Mittpunkten M mellan A och B är mittpunkten på denna sträcka. Observera att punkternas position i planet inte påverkar beviset.
Betrakta det horisontella avståndet Δ x och det vertikala avståndet Δ y mellan A och B. Eftersom M är mittpunkten, delar M varje avstånd, Δ x och Δ y, i hälften. Därför är de horisontella och vertikala avstånden från varje ändpunkt till mittpunkten Δ x2 och Δ y2. Låt x_m och y_m vara koordinaterna för M.
Fokusera nu på x-koordinaterna. Skillnaden mellan de motsvarande x-koordinaterna ger de horisontella avstånden mellan mittpunkten och ändpunkterna. x_m - x_1 and x_2 - x_m Grafen ovan visar att dessa avstånd båda är lika med Δ x2. Därför är de lika enligt den transitiva lagen för likhet. x_m-x_1= Δ x2 x_2-x_m= Δ x2 ⇓ x_m-x_1= x_2-x_m Denna ekvation kan lösas för att hitta x_m, x-koordinaten för mittpunkten M.
x_m - x_1 = x_2 - x_m
x_m = x_1+x_2/2
x-koordinaten för M är x_m = x_1+x_22. På samma sätt kan man visa att y-koordinaten för M är y_m = y_1+y_22. Med denna information kan koordinaterna för M uttryckas med hjälp av koordinaterna för A och B.
M(x_1 + x_2/2,y_1 + y_2/2 )
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm mittpunkten mellan punkterna
Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
Ledtråd
För att hitta mittpunkten, ta medelvärdet av punkternas x-koordinater och y-koordinater.
Lösning
Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 6,4) och (6, - 8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater x_m och y_m.
x_m = x_1 + x_2/2
SubstituteII
x_1= - 6 och x_2= 6
x_m=- 6+ 6/2
AddTerms
Addera termerna
x_m=0/2
CalcQuot
Beräkna kvot
x_m=0
Mittpunktens x-koordinat är 0.
y_m = y_1 + y_2/2
SubstituteII
y_1= 4 och y_2= - 8
y_m=4+( - 8)/2
AddNeg
a+(- b)=a-b
y_m=4-8/2
SubTerm
Subtrahera term
y_m=- 4/2
CalcQuot
Beräkna kvot
y_m=- 2
Mittpunktens y-koordinat är - 2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0, - 2).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att hitta mittpunkter med hjälp av mittpunktsformeln
Använd mittpunktsformeln för att beräkna koordinaterna för mittpunkten mellan punkterna som är utritade i koordinatsystemet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Uppgift 4.1
Den markerade sträckan visar det minsta avståndet mellan punkten A=(5,6) och den räta linjen y=3x+5. Vilka är koordinaterna till punkten B?
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0,8","text2":"7,4"}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna avstånd mellan två punkter använder vi avståndsformeln. Den ena punktens koordinater vet vi, A=(5,6). Men vilka koordinater har B? Vi vet att den ligger på linjen y=3x+5, så varje punkt på linjen kan skrivas som (x,3x+5). Vi sätter in detta uttryck och A i avståndsformeln.
Vi får alltså en funktion d som beskriver avståndet mellan (5,6) och linjen y=3x-1. Det är detta avstånd vi vill minimera. Det gör vi genom att bestämma det minsta värdet på det som står under rottecknet dvs. y=10x^2-16x+26. Eftersom x^2termen i andragradsfunktionen är positiv har y ett minimivärde.
Vi minimerar funktionen genom att hitta symmetrilinjen. Vi sätter funktionen lika med 0 och börjar lösa ekvationen med pq-formeln.
Symmetrilinjen är den första termen så den är x_s=0,8. Avståndet är alltså kortast när x=0,8. Vi sätter in det i y=3x+5 för att bestämma y-koordinaten.
Punkten B har koordinaterna (0,8,7,4).
Vi kan använda oss av att den kortaste sträckan mellan A och linjen y=3x+5 kommer att vara den sträcka som bildar en rät vinkel med med linjen.
Alla andra sträckor man drar kan ses som hypotenusor i en rätvinklig triangel, där AB är en av kateterna. En katet i en rätvinklig triangel är alltid kortare än hypotenusan.
Vi vill därför hitta ekvationen för den linje som är vinkelrät mot y=3x+5 och som går genom (5,6). För två vinkelräta linjer gäller att produkten av deras lutningar är -1. För y=3x+5 är lutningen 3 så lutningen k för den vinkelräta linjen mellan A och B är k* 3=-1 ⇔ k=-1/3. Det betyder att linjens ekvation kommer bli på formen y=- 13x+m. Eftersom linjen går genom punkten (5,6) använder vi den för att bestämma m.
Linjen som går genom A och B är alltså y=-1/3x+23/3. Punkten B är skärningspunkten mellan den och y=3x+5. Vi hittar koordinaterna för den punkten genom att lösa ekvationssystemet y=3x+5 y=- 13x+ 233. Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.
Punkten B har alltså koordinaterna (0,8,7,4).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll