Avstånds- och mittpunktsformlerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Koordinatgeometri

I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.

Regel

Avståndsformeln

För två punkter (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2)(x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.

Bevis

d=(x2x1)2+(y2y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta dd) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δx\Delta x och Δy.\Delta y.

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som d2=(Δx)2+(Δy)2, d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2, där Δx\Delta x och Δy\Delta y är differensen mellan punkternas koordinater. Δx\Delta x är alltså x2x1x_2 - x_1 och Δy\Delta y är y2y1y_2 - y_1. Detta sätts in i uttrycket och dd löses ut för att få avståndsformeln.
d2=(Δx)2+(Δy)2d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2
d2=(x2x1)2+(y2y1)2d^2 = \left({\color{#0000FF}{x_2 - x_1}} \right)^2 + \left({\color{#009600}{y_2 - y_1}} \right)^2
d=±(x2x1)2+(y2y1)2d = \pm \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left(y_2 - y_1 \right)^2}
d>0 d \gt 0
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left(y_2 - y_1 \right)^2}

Eftersom dd är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

Q.E.D.
Uppgift

Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet.

Lösning

För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.

Punkterna ligger i koordinaterna (-6,-4)(\text{-} 6, \text{-} 4) och (8,8).(8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.

d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(8(-6))2+(8(-4))2d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{8}}-\left({\color{#009600}{\text{-} 6}}\right)\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{8}}-\left({\color{#009600}{\text{-} 4}}\right)\right)^2}
d=142+122d = \sqrt{14^2+12^2}
d=196+144d = \sqrt{196+144}
d=340d = \sqrt{340}

Avståndet mellan punkterna är 340\sqrt{340} le.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Mittpunktsformeln

Mittpunkten (xm,ym)(x_m,y_m) mellan två punkter, (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2),(x_2, y_2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas xx- respektive yy-koordinater.

Regel

xm=x1+x22ochym=y1+y22x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{och} \quad y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}

För att bestämma mittpunkten mellan två punkter kan man börja med att se sträckan dd mellan punkterna som hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunkten kommer då att halvera denna. Eftersom hypotenusan halveras kommer även de två kateterna att delas på hälften.

Rätvinklig triangel med hypotenusan delad i två lika stora delar

I koordinatsystemet kan avstånden i xx-led mellan punkterna (-3,-2),(\text{-} 3, \text{-} 2), mittpunkten (xm,ym)(x_m,y_m) och (5,6)(5, 6) uttryckas som skillnaden mellan xx-koordinaterna.

Eftersom (xm,ym)(x_m,y_m) är mittpunkt på den tänkta hypotenusan blir de två avstånden i xx-led, xm(-3)x_m - (\text{-} 3) och 5xm,5 - x_m, lika stora. Man kan därför sätta dessa lika för att få en ekvation som man kan lösa ut xmx_m ur.

xm(-3)=5xmx_m - (\text{-} 3) = 5 - x_m
2xm(-3)=52x_m - (\text{-} 3) = 5
2xm+3=52x_m + 3 = 5
2xm=-3+52x_m = \text{-}3 + 5
xm=-3+52x_m = \dfrac{\text{-}3 + 5}{2}

Med mittpunktsformeln blir xx-koordinaten xm=x1+x22=-3+52, x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{\text{-} 3 + 5}{2}, dvs. samma som med resonemanget ovan. På motsvarande sätt kan man motivera att mittpunkten i yy-led är ym=y1+y22.y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}.

Uppgift

Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.

Lösning

Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.

Punkterna ligger i koordinaterna (-6,4)(\text{-} 6,4) och (6,-8).(6, \text{-} 8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater xmx_m och ym.y_m.

xm=x1+x22x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}
xm=-6+62x_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-} 6}}+{\color{#009600}{6}}}{2}
xm=02x_m=\dfrac{0}{2}
xm=0x_m=0

Mittpunktens xx-koordinat är 0.0.

ym=y1+y22y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}
ym=4+(-8)2y_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}+({\color{#009600}{\text{-} 8}})}{2}
ym=482y_m=\dfrac{4-8}{2}
ym=-42y_m=\dfrac{\text{-} 4}{2}
ym=-2y_m=\text{-} 2

Mittpunktens yy-koordinat är -2\text{-} 2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0,-2).(0, \text{-} 2).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}