4. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion ger en djupgående förståelse för avståndsformeln och mittpunktsformeln. Den förklarar hur man kan använda dessa formler för att lösa geometriska problem, som att beräkna avståndet mellan två punkter eller bestämma mittpunkten mellan två punkter i ett koordinatsystem. Lektionenen illustrerar dessa koncept med hjälp av praktiska exempel och grafiska representationer, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 6
Videolektion Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt
Minispelare aktiv
Begrepp
Koordinatgeometri
I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.
Regel
Avståndsformeln
För två punkter (x1,y1) och (x2,y2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.
Bevis
Bevis för avståndsformeln
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta d) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δx och Δy.
d2=(Δx)2+(Δy)2,
där Δx och Δy är differensen mellan punkternas koordinater. Δx är alltså x2−x1 och Δy är y2−y1. Detta sätts in i uttrycket och d löses ut för att få avståndsformeln.
d2=(Δx)2+(Δy)2
SubstituteII
Δx=x2−x1 och Δy=y2−y1
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SqrtEqn
VL=HL
d=±(x2−x1)2+(y2−y1)2
d>0
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Eftersom d är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.
Q.E.D.
Exempel
Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln
Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet.
Visa Lösning expand_more
För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.
Punkterna ligger i koordinaterna (−6,−4) och (8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SubstitutePoints
Sätt in (8,8) & (−6,−4)
d=(8−(−6))2+(8−(−4))2
SubNeg
a−(−b)=a+b
d=142+122
CalcPow
Beräkna potens
d=196+144
AddTerms
Addera termer
d=340
Avståndet mellan punkterna är 340 le.
Regel
Mittpunktsformeln
Mittpunkten (xm,ym) mellan två punkter, (x1,y1) och (x2,y2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas x- respektive y-koordinater.
Regel
xm=2x1+x2ochym=2y1+y2För att bestämma mittpunkten mellan två punkter kan man börja med att se sträckan d mellan punkterna som hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunkten kommer då att halvera denna. Eftersom hypotenusan halveras kommer även de två kateterna att delas på hälften.
I koordinatsystemet kan avstånden i x-led mellan punkterna (−3,−2), mittpunkten (xm,ym) och (5,6) uttryckas som skillnaden mellan x-koordinaterna.
Eftersom (xm,ym) är mittpunkt på den tänkta hypotenusan blir de två avstånden i x-led, xm−(−3) och 5−xm, lika stora. Man kan därför sätta dessa lika för att få en ekvation som man kan lösa ut xm ur.
xm−(−3)=5−xm
AddEqn
VL+xm=HL+xm
2xm−(−3)=5
SubNeg
a−(−b)=a+b
2xm+3=5
SubEqn
VL−3=HL−3
2xm=−3+5
DivEqn
VL/2=HL/2
xm=2−3+5
xm=2x1+x2=2−3+5,
dvs. samma som med resonemanget ovan. På motsvarande sätt kan man motivera att mittpunkten i y-led är ym=2y1+y2.
Exempel
Bestäm mittpunkten mellan punkterna
Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.
Visa Lösning expand_more
Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.
Punkterna ligger i koordinaterna (−6,4) och (6,−8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater xm och ym.
xm=2x1+x2
SubstituteII
x1=−6 och x2=6
xm=2−6+6
AddTerms
Addera termer
xm=20
CalcQuot
Beräkna kvot
xm=0
Mittpunktens x-koordinat är 0.
ym=2y1+y2
SubstituteII
y1=4 och y2=−8
ym=24+(−8)
AddNeg
a+(−b)=a−b
ym=24−8
SubTerm
Subtrahera term
ym=2−4
CalcQuot
Beräkna kvot
ym=−2
Mittpunktens y-koordinat är −2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0,−2).
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Övningar
Vad är avståndet mellan punkterna?
(3,5) och (7,8)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5"]}}
(−3,7) och (5,1)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["10"]}}
security
report
code
security
report
code
Punkterna ligger i koordinaterna (3,5) och (7,8) . Vi sätter in dessa koordinater i avståndsformeln och förenklar.
Avståndet mellan punkterna är 5.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 3,7) och (5,1). Återigen sätter vi in dessa koordinater i avståndsformeln.
Avståndet mellan punkterna är 10.
security
report
code
Bestäm de markerade avstånden mellan punkterna i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5.66"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["11.18"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["7.21"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att läsa av koordinaterna för sträckans ändpunkter. Den blå sträckan går mellan koordinaterna (- 7,- 8) och (- 3,- 4). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
Vi kan nu slå in detta uttryck på miniräknaren direkt. Vi trycker då på sqrt() (2nd+ x^2) för att skriva in ett roten ur-tecken och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Avsluta också med en högerparentes.
Den blå sträckan är alltså cirka 5.66 le.
Vi börjar med att läsa av koordinaterna för sträckans ändpunkter. Den röda sträckan har ändpunkterna (3, - 2) och (6, -6), och vi gör på samma sätt för att räkna ut längden.
Vi kan förenkla ytterligare ett steg, eller så skriver vi in uttrycket direkt på miniräknaren.
Avståndet är alltså 5 le.
Vi gör på samma sätt för den gröna sträckan, som går mellan punkterna (-3, 1) och (7,6).
Som tidigare räknar vi ut rotuttrycket med räknaren.
Sträckan är ~ 11.18 le.
Vi använder avståndsformeln en sista gång för den svarta sträckan som går mellan (- 8,2) och (- 2,6).
Använd räknaren igen.
Den sista sträckan är alltså ~ 7.21 le.
security
report
code
Vad är avståndet mellan punkterna? Svara med två decimaler.
(12,6) och (6,2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["7.21"]}}
(8,10) och (1,−5)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["16.55"]}}
security
report
code
security
report
code
Punkterna ligger i koordinaterna (12,6) och (6,2). Vi sätter in dessa värden i avståndsformeln och förenklar. Det spelar ingen roll vilken punkt som ses som den första, så vi väljer att (6,2) är (x_1, y_1). Det hade gått precis lika bra att välja tvärtom, men man slipper en del negativa tal så här.
Avståndet mellan punkterna är sqrt(52) le., eller ungefär 7.21 avrundat till två decimaler.
Punkterna ligger i koordinaterna (8,10) och (1,- 5). Återigen sätter vi in dessa värden i avståndsformeln, och vi väljer att sätta (1, -5) som (x_1,y_1).
Avståndet mellan punkterna är sqrt(274) le., eller ungefär 16.55 avrundat till två decimaler.
security
report
code
Bestäm mittpunkten mellan punkterna.
(2,3) och (6,7)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"4","text2":"5"}}
(11,9) och (5,15)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"8","text2":"12"}}
(2,2) och (−6,10)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-2","text2":"6"}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer mittpunkten med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaterna.
Vi gör samma sak för y_m.
Mittpunkten är alltså (4,5).
Vi använder mittpunktsformeln igen för punkterna (11, 9) och (5, 15) och börjar med x_m.
Sedan gör vi samma sak för y_m.
Mittpunkten är (8,12).
Vi gör samma sak igen för (2, 2) och (- 6, 10).
Slutligen räknar vi ut y_m.
Den sista mittpunkten är alltså (- 2, 6).
security
report
code
Bestäm mittpunkten mellan punkterna.
(−3,4) och (4,3)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0.5","text2":"3.5"}}
(−6,3) och (−6,−8)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-6","text2":"2.5"}}
(−10,8) och (10,−8)
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"0"}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder mittpunktsformeln för att hitta mittpunkten (x_m, y_m) mellan de två punkterna (- 3, 4) och (4, 3). Vi börjar med x_m.
Nu räknar vi ut y_m.
Mittpunkten finns alltså i koordinaterna (0.5, 3.5).
Vi gör på samma sätt igen för de två punkterna (- 6, 3) och (- 6, - 8). Först räknar vi ut x_m.
Nu räknar vi ut y_m.
Punkterna ligger på en lodrät linje, vilket ger mittpunkten (- 6, - 2.5).
Slutligen räknar vi ut mittpunkten mellan (- 10, 8) och (10, - 8). Först x_m.
Samma sak för y_m.
Mittpunkten hamnar alltså i origo, (0,0).
security
report
code
Bestäm avståndet mellan punkterna.
A=(2,2) och B=(2,10)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["8"]}}
C=(5,4) och D=(9,4)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">D<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln. Men tittar vi på koordinaterna, eller ritar punkterna i ett koordinatsystem, inser vi att avståndet kan bestämmas direkt genom att ta reda på skillnaden i y-led.
Avståndet mellan punkterna A och B är alltså skillnaden mellan y-koordinaterna: AB=10-2=8 le.
Vi kan också använda avståndsformeln.
Sträckan är alltså 8 le.
Eftersom punkterna ligger vågrätt i förhållande till varandra kan vi på motsvarande sätt som i förra deluppgiften direkt bestämma det vågräta avståndet mellan C och D.
Avståndet mellan punkterna är alltså CD=9-5=4 le. Även här skulle vi kunnat använda avståndsformeln på motsvarande sätt som i förra deluppgiften.
security
report
code
Vad är triangelns omkrets? Koordinaterna anges i cm. Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["18.8"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att markera koordinaterna som triangelns hörn ligger i.
Omkretsen är summan av triangelns sidlängder och för att räkna ut dessa sätter vi in hörnens koordinater i avståndsformeln och förenklar.
Sida AB
Vi sätter in koordinaterna (2,4) och (6,9).
Sidan AB har längden sqrt(41) cm.
Sida BC
Vi sätter sedan in koordinaterna (6,9) och (8,3) i avståndsformeln.
Sidan BC är sqrt(40) cm.
Sida AC
Vi räknar ut den sista sidan mellan koordinaterna (2,4) och (8,3).
Sidan AC är sqrt(37) cm. Till sist räknar vi ut omkretsen genom att summera de tre sidorna.
Triangelns omkrets är ungefär 18.8 cm.
security
report
code
Bestäm avståndet från punkten (3,−1) till mittpunkten mellan (3,3) och (−5,3). Svara med två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5.66"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma avståndet mellan punkten (3, - 1) och mittpunkten mellan (3,3) och (- 5,3) måste vi först räkna ut mittpunkten. Det gör vi med mittpunktsformeln, och vi börjar med att bestämma x_m.
Vi bestämmer sedan y_m på samma sätt.
Mittpunkten ligger i koordinaterna (- 2, 3).
Nu bestämmer vi avståndet mellan mittpunkten (- 1, 3) och punkten (3, - 1) med hjälp av avståndsformeln.
Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker på sqrt() (2nd+x^2) för att skriva in ett rottecken och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Avsluta med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när roten ur-tecknet skrivs in.
Avståndet är alltså cirka 5.66 le.
security
report
code
I dataspelet Guldjakten står Dogge och Dagge i röda punkten och ska så fort som möjligt fånga guldklimpen på andra sidan det rektangulära huset. De springer lika snabbt så det gäller att välja den kortaste vägen. Dogge väljer att springa genom huset medan Dagge springer runt huset.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["2.9"]}}
security
report
code
security
report
code
Dogges sträcka är avståndet mellan koordinaterna (0,1.1) och (6.6,5.1). Sätter vi in dessa i avståndsformeln kan vi beräkna hur långt han springer.
Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker då på sqrt() (2nd+x^2) och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Vi avslutar också med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när ett rottecken skrivs in.
Vi avrundar till en decimal och konstaterar att Dogge springer ca 7.7 längdenheter. För att bestämma hur långt Dagge springer behöver vi veta längden på husets lång- och kortsida. Långsidan är skillnaden i x-led mellan koordinaterna och kortsidan är skillnaden i y-led: x-led:& 6.6-0=6.6 le. y-led:& 5.1-1.1=4 le. Dagge springer därför 6.6+4=10.6 längdenheter totalt vilket är 10.6-7.7=2.9 le. längre än Dogge.
security
report
code
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll