Logga in
| 3 sidor teori |
| 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Arean mellan två kurvor kan beräknas genom att man subtraherar integralen av den övre funktionen med den undre. Om integralerna har samma gränser kan de läggas ihop till en enda integral.
A=∫ab(f(x)−g(x))dx
Den här regeln gäller alltid, men härledningen ser lite olika ut beroende på hur kurvorna befinner sig i förhållande till x−axeln. Det beror på att man måste ta hänsyn till att integraler för funktioner under x−axeln är negativa.
a+(−b)=a−b
Slå ihop integraler
a−(−b)=a+b
Omarrangera termer
Slå ihop integraler
I koordinatsystemet är kurvorna till f(x)=−x+10 och g(x)=x2−2x+4 utritade.
Bestäm arean av det markerade området.
VL−10=HL−10
VL+x=HL+x
Använd pq-formeln: p=−1,q=−6
−b-a=ba
(ba)c=bcac
a−(−b)=a+b
a=44⋅a
Addera bråk
ba=ba
Ange lösningar
Beräkna kvot
Sätt in uttryck
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
Bestäm en primitiv funktion
D-1(xn)=n+1xn+1
D-1(x)=2x2
D-1(a)=ax
∫abh(x)dx=[H(x)]ab
[H(x)]03=H(3)−H(0)
Beräkna potens & produkt
Beräkna kvot
Addera termer
Sätt in uttryck
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
Bestäm en primitiv funktion
D-1(xn)=n+1xn+1
D-1(x)=2x2
D-1(a)=ax
∫abp(x)dx=[P(x)]ab
[H(x)]34=H(4)−H(3)
Beräkna potens & produkt
Ta bort parentes & byt tecken
Beräkna kvot
Addera och subtrahera termer
I figuren är ett område mellan kurvorna f(x)=−0.1x2+0.3x+15 och g(x)=−0.5x+8.5 markerat.
Vi börjar med att konstatera att området kan tolkas som arean mellan två kurvor. Detta innebär att arean representeras av integralen av differensen mellan funktionerna, där den undre subtraheras från den övre: A = ∫_a^b(g(x) - f(x) ) d x . Konstanterna a och b är områdets undre respektive övre gräns, dvs. -5 och 13. Vi bestämmer integranden, som vi kan kalla h(x), genom att sätta in funktionsuttrycken för f(x) och g(x) och sedan förenkla.
Integralen som beskriver arean av det markerade området är alltså ∫_(-5)^(13)(-0.1x^2+0.8x+6.5 ) d x .
Eftersom integralen vi ställde upp i föregående deluppgift motsvarar just arean av området kan vi beräkna denna integral för att bestämma arean. Till att börja med bestämmer vi en primitiv funktion till integranden.
Nu använder vi denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Arean av det markerade området är alltså 97.2a.e.
Beräkna den totala arean av de markerade områdena i figuren.
För att beräkna arean mellan två kurvor subtraherar man den undre funktionen från den övre och sedan integrerar man differensen. Men här varierar det ju vilken som är överst. Vi måste därför dela upp problemet i två integraler: en för det vänstra området och en för det högra.
Vi känner redan till den vänstra och högra gränsen, men vi måste hitta skärningspunktens x-värde.
Vi likställer funktionsuttrycken och löser ekvationen för att hitta detta x.
Graferna skär alltså varandra när x=1. Detta x-värde kommer att vara den övre gränsen för det vänstra området och den undre gränsen för det högra.
Arean av det vänstra området begränsas av x=-2 och x=1. Den övre funktionen är g(x).
Detta betyder att arean kan beräknas med integralen ∫_(-2)^1(g(x)-f(x) ) d x . Vi börjar med att ta fram ett uttryck för integranden, som vi kan kalla h(x).
För att beräkna integralen behöver vi hitta en primitiv funktion till h(x).
Nu när vi har en primitiv funktion kan vi beräkna integralen.
Det vänstra området har alltså arean 13.5 a.e.
Här är f(x) den övre funktionen och ytan begränsas av x=1 och x=2.
Arean kan beräknas med integralen ∫_1^2(f(x)-g(x) ) d x . Vi kan kalla integranden p(x) när vi nu sätter in funktionsuttrycken för f(x) och g(x) och förenklar.
Nu bestämmer vi en primitiv funktion till p(x).
Och nu integrerar vi.
Arean för det högra området är alltså 1.5 a.e.
Den totala arean får vi genom att summera den högra och vänstra arean: 1.5+13.5=15. Områdets totala area är alltså 15 a.e.
Beräkna arean av det markerade området. Avrunda till två decimaler.
Vi kan bestämma arean med en integral, men först måste vi ta reda på vilka x-värden som avgränsar området. I det här fallet motsvaras dessa av funktioneras skärningspunkter så vi börjar med att bestämma x-värdena för dem.
Nu vet vi att området begränsas av x-värdena x=-sqrt(2) och x=sqrt(2). Ytan ligger mellan funktionerna så vi kan beräkna arean genom att subtrahera den undre funktionen från den övre och integrera differensen. Den övre kurvan representeras av f(x)=-3x+6 så vi ska integrera över h(x)=f(x)-g(x).
För att integrera behöver vi en primitiv funktion till integranden h(x).
Nu har vi en primitiv funktion och kan beräkna integralen av h(x) mellan x=-sqrt(2) och x=sqrt(2) för att bestämma områdets area.
Arean är ungefär 7.54 a.e.
Detta är också en area mellan två kurvor och vi börjar med att bestämma x-värdena för skärningspunkterna.
Nu har vi integrationsgränserna så nästa steg är att bestämma integranden. Den övre funktionen är f(x) så vi bestämmer h(x)=f(x)-g(x).
För att integrera behöver vi en primitiv funktion till h(x). Vi bestämmer en sådan.
Nu integrerar vi!
Arean är alltså ungefär 83.34 a.e.
Vi gör på samma sätt igen och börjar med att bestämma x-värdena för funktionernas skärningspunkter.
Kurvorna skär varandra oändligt många gånger men vi är bara intresserade av skärningspunkterna precis till höger och vänster om y-axeln. De får vi om n=0 och n=-1, så skärningspunkternas x-värden är x=-3π/8 och x=π/8. Nu när vi har integralens gränser behöver vi integranden. Vi ser att f(x) är den övre kurvan för hela området så integranden är h(x)=cos(2x)-sin(2x). Vi bestämmer en primitiv funktion till den.
Nu kan vi integrera.
Områdets area är cirka 1.41 a.e.
Vi kan se att integranden är en differens mellan två olika funktioner, där y=x^2-5 har subtraherats från y=- x+1. Det verkar alltså som att den givna integralen, ∫_(-3)^2((- x+1)-(x^2-5) ) d x , följer mönstret för hur man kan beskriva arean av ett område mellan två kurvor: A= ∫_a^b(f(x) - g(x) ) d x . För att integralen faktiskt ska motsvara arean mellan y = - x + 1 och y = x^2 - 5 måste kurvan y = - x + 1 vara överst i hela intervallet. Vi ritar kurvorna med ett grafiskt hjälpmedel för att avgöra om det verkar stämma.
Vi ser här att y = - x + 1 verkar vara överst precis från x = - 3 till x = 2. Att det faktiskt är så kan vi bekräfta algebraiskt genom att likställa kurvorna och lösa ekvationen som fås.
Den givna integralen kan alltså tolkas som arean mellan kurvorna y=- x + 1 och y=x^2-5, från x=-3 till x=2.
Istället för att tänka på integranden som differensen mellan två funktioner kan vi förenkla den.
Integralen kan alltså skrivas som ∫_(-3)^2(- x^2 - x + 6 ) d x . Vi ritar integrandens kurva för att få oss en idé om hur integralen kan tolkas grafiskt.
Här ser det ut som om x = - 3 och x = 2 är nollställen till integranden. Det kan bekräftas genom att lösa ekvationen - x^2 - x + 6 = 0, men vi har redan löst en ekvation som är ekvivalent med denna i huvudlösningen. Då fick vi just lösningarna x = - 3 och x = 2. Integralen kan därför även tolkas som arean under kurvan y = - x^2 - x + 6 mellan dess nollställen x = - 3 och x = 2.
Vi undersöker ett lite enklare exempel där två räta linjer korsar varandra och skapar ett område som finns på båda sidor av skärningspunkten.
Det markerade området är två trianglar: den vänstra med basen 2 och höjden 1 och den högra med basen 4 och höjden 2. Det betyder att den totala arean blir 2*1/2+4*2/2=1+4=5 ae. Nu testar vi Armins metod och ställer upp en integral. Funktionen y = - x + 2 ligger överst först, så vi låter den vara först i formeln för arean mellan två kurvor, ∫_a^b(f(x)-g(x) ) d x . Vi ska alltså bestämma integralen ∫_0^3(- x+2 - x ) d x . Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden h(x) = - x + 2 - x innan vi integrerar.
Nu kan vi integrera.
Nu fick vi ett negativt resultat, och enligt Armin ska det räcka med att vi byter tecken för att få arean. Då får vi dock 3 a.e., vilket inte stämmer. Vi fick ju 5 a.e. tidigare, så vad har hänt? Om vi tar en till titt på de två triangulära områdena blir det lite klarare.
För den vänstra triangeln ligger grafen till y = - x + 2 överst, vilket var det vi räknade med i vår integral. Integralen från 0 till 1 kommer då att bli positiv och vi får resultatet 1. När integralen sedan fortsätter över den högra triangeln har graferna bytt plats. Då blir resultatet negativt och vi får - 4, som läggs till det tidigare resultatet, vilket ger 1 - 4 = -3.
Hade vi bara integrerat över den vänstra eller den högra triangeln hade det gått bra att byta tecken på resultatet, men när vi integrerar över båda kommer "positiv area" och "negativ area" att läggas ihop. Då kommer positiva delar att tas ut av negativa delar och vi får en för liten area. Armins metod fungerar alltså inte.