Area mellan kurvor

Vi kan bestämma arean med hjälp av integraler, men då måste vi veta vilken funktion som är överst. Det är givet att kurvorna skär varandra när x=0.5 och x=2, men kan de skära varandra på fler ställen? Vi undersöker det genom att likställa funktionsuttrycken. x^3 - 2.5x^2 + 2.5= 1x Vi kommer att lösa denna ekvationen genom att multiplicera med x på båda sidor. Då måste vi vara försiktiga med de lösningar vi får. Eftersom 1x inte är definierad för x=0 kan inte det vara en lösning. Om vi ändå får den är den falsk.

En fjärdegradsekvation! Vad roligt. Vi vet att x=0.5 och x=2 löser ekvationen eftersom de är x-värdena för två av skärningspunkterna. Enligt faktorsatsen är därför (x-0.5) och (x-2) faktorer i vänsterledet. Det betyder att vi kan dividera vänsterledet med (x-0.5)(x-2) för att reducera fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation. Vi multiplicerar först ihop parenteserna.

Nu dividerar vi båda led i ekvationen med x^2 -2.5x+1, vilket går bra så länge x^2 -2.5x+1 inte är 0. Uttrycket är det för x=0.5 och x=2. Det gör inget eftersom vi endast är intresserade av eventuella lösningar mellan x=0.5 och x=2. Vi får x^4 - 2.5x^3 + 2.5x-1/x^2 -2.5x+1=0. Nu polynomdividerar vi vänsterledet.

Nu har vi dividerat, och kvoten är x^2-1. Det betyder att vi ska lösa x^2-1=0 för att hitta fler lösningar på ekvationen.

Vi får två nya rötter, men eftersom vi enbart är intresserade av skärningspunkter mellan 0.5 och 2 bryr vi oss inte om den negativa lösningen. Kurvorna skär alltså varandra när x=1, men vi vet inte vilken som är överst. Vi väljer därför något x-värde i varje intervall för att avgöra det.

På intervallet 0.5 < x < 1 är f(x) ovanför g(x) och tvärtom på intervallet 1 < x < 2.

För att beräkna arean måste vi alltså beräkna två integraler och sedan summera dem: A= ∫_(0.5)^1(f(x)-g(x) ) d x + ∫_1^2(g(x)-f(x) ) d x Vi beräknar dem, en i taget.

Första integralen

Integranden i den första integralen är h(x)=f(x)-g(x). Vi hittar en primitiv funktion till den.

Vi använder denna primitiva funktion för att integrera.

Vi behåller ganska många decimaler för att inte få för stort avrundningsfel när vi lägger ihop denna arean med den andra.

Andra integralen

Den här integralen har integranden q(x)=g(x)-f(x). Vi kan notera att integranden q(x) är identisk med h(x), fast med omvänt tecken.

Vi kan därför hitta en primitiv funktion till q(x) med hjälp av H(x), som vi redan bestämt.

Nu integrerar vi.

Den andra integralens värde är alltså cirka 0.2765.

Sammanlagda arean

Nu lägger vi ihop integralernas värden för att bestämma den totala arean: 0.0621+0.2765≈ 0.34 a.e.

Vi delar först in området i tre delområden, utifrån vilken funktion som är den övre och studerar dem var för sig.

Vi kan konstatera att funktionen f(x) är symmetrisk kring x-axeln och de räta linjerna är speglingar av varandra i x-axeln. Hela figuren har alltså en symmetri kring x-axeln, och därmed har områdena (I) och (III) samma area. Det räcker alltså att hitta uttryck för (I) och (II), eftersom vi kan beräkna den sökta arean med A(k) = (I) + (II) + (III) = 2 * (I) + (II).

Område (I)

Vi börjar med (I), men för det behöver vi den räta linjens ekvation. Vi vet att den har lutningen k, alltså y = kx + m, men vad är m? Vi sätter in skärningspunkten med x-axeln, (- 1, 0), för att kunna bestämma ett uttryck för m.

Vi har nu att den räta linjen är y = kx + k. Arean av (I) kan alltså beräknas med en integral av differensen mellan y = kx + k och f(x): (I) = ∫_(C(k))^(- 1)(kx + k - ( - x^2/2 - 2 ) ) d x , där C(k) är x-värdet för skärningspunkten mellan y = kx + k och f(x). Vi kallar den nedre gränsen till C(k) eftersom den beror på vilket värde k har. Vi bestämmer C(k) genom att likställa den räta linjen och f(x) för att hitta skärningspunkten.

Vilken av dessa skärningspunkter är det då som är den intressanta för oss? I bilden kan vi se att y = kx + k inte skär f(x) till höger om skärningspunkten vi söker, och om vi skulle titta på kurvorna längre till vänster skulle vi se den andra skärningspunkten. Det är skärningspunkten längst till höger vi är intresserade av, alltså är C(k) = - k + sqrt(k^2 - 2k - 4). Vi har redan ställt upp integralen för arean (I), men nu har vi också ett uttryck för C(k). Vi kan därför gå vidare och bestämma arean (II).

Område (II)

Arean av område (II) motsvarar den negativa integralen av f(x) från - 1 till 1: (II) = - ∫_(- 1)^1(- x^2/2 - 2 ) d x . Vi skulle ju använda precis en integral för att uttrycka den totala arean, alltså måste vi först beräkna den här integralen. Vi flyttar in minustecknet i integralen, och får (II) = ∫_(- 1)^1(x^2/2 + 2 ) d x . Vi bestämmer nu en primitiv funktion till integranden, som vi kallar g(x).

Nu beräknar vi integralen som motsvarar arean (II).

Området (II) har arean 13/3 a.e.

Total area

Vi kan nu ställa upp ett uttryck för den totala arean utifrån A(k) = 2 * (I) + (II). Vi får då A(k) = 2 ∫_(C(k))^(- 1)(kx + k - ( - x^2/2 - 2 ) ) d x + 13/3, där C(k) = - k + sqrt(k^2 - 2k - 4). Vi kan dock göra oss av med parentesen i integranden för att få vårt slutgiltiga svar A(k) = 2 ∫_(C(k))^(- 1)(x^2/2 + kx + k + 2 ) d x + 13/3, som har precis en integral.

Vi bestämmer först den nedre gränsen genom att sätta in k = 4 i C(k).

Vi förenklar nu integranden, som vi kallar h(x), och bestämmer sedan en primitiv funktion.

Vi får alltså integranden h(x) = x^22 + 4x + 6 med en primitiv funktion H(x) = x^36 + 2x^2 + 6x när k = 4. Vi är nu redo att beräkna arean för k = 4.

Arean då k = 4 är alltså A(4) = 20/3 a.e.

För att området ska ha en ändlig area krävs det att området är helt omslutet. Detta sker så länge skärningspunkten som hittas med C(k) existerar. Vi är alltså intresserade för vilka värden på k som C(k) = - k + sqrt(k^2 - 2k - 4) är reellt, vilket sker precis då uttrycket under roten inte är negativt: k^2 - 2k - 4 ≥ 0. Den här olikheten har en term av grad 2, vilket vi inte riktigt vet hur vi ska hantera algebraiskt. Vi väljer därför att istället lösa ekvationen k^2 - 2k - 4 = 0 och undersöka vad som händer mellan de lösningar vi hittar.

Vi kan direkt avfärda den negativa lösningen, k=1-sqrt(5), som ointressant, eftersom k måste vara positivt. Vid k = 1 + sqrt(5) övergår alltså arean från att vara ändlig till att vara obegränsad, men kan k vara större eller mindre än det här värdet? Vi vet sedan tidigare att C(k) är reellt för k = 4, som är större än 1 + sqrt(5). Vi får därför kravet k ≥ 1 + sqrt(5) för att arean ska vara ändlig.