Area mellan kurvor

Vi ska bestämma arean av ett område som är begränsat av graferna till tre funktioner. Grafen till y = x^2 - 10x + 25 ligger alltid under arean, men för olika delar av området är det y = x + 1 eller y = -1.1x + 9.4 som ligger överst. För att kunna använda regeln för att bestämma arean mellan två kurvor måste vi då dela upp området så att ena grafen ligger överst i det ena delområdet och den andra grafen ligger överst i det andra.

Nu har vi två delområden som går över två olika intervall. För att bestämma dessa intervall söker vi skärningspunkterna mellan graferna. Vi börjar med de två räta linjerna och sätter deras funktionsuttryck lika med varandra.

Slutet på det första intervallet och början på det andra finns alltså vid x = 4. Vi undersöker sedan skärningspunkten mellan andragradsfunktionen y = x^2 - 10x + 25 och y = x + 1.

Här får vi två x-värden där graferna skär varandra. Vi är dock bara ute efter det lägre värdet x = 3, där y = x + 1 skär andragradskurvan första gången, eftersom det är där det första intervallet börjar. Vi fortsätter sedan och undersöker skärningspunkter mellan y = x^2 - 10x + 25 och y = -1.1x + 9.4.

I det här fallet är det x = 6.5 vi är intresserad av, där de två graferna skär varandra andra gången. Det ger slutet på det andra intervallet. Vi kan nu markera de tre gränserna i figuren.

Nu kan vi beräkna areorna för de två delområdena. Vi använder formeln för area mellan kurvor, ∫_a^b(f(x) - g(x) ) d x , där f(x) är den övre funktionen och g(x) är den undre.

Vänstra området

Vi börjar med det vänstra området, där y = x + 1 är den övre funktionen och y = x^2 - 10x + 25 är den undre.

Integranden blir då f(x) - g(x) = x + 1 - (x^2 - 10x + 25) Vi kallar denna funktion h(x) och och förenklar.

Nu kan vi bestämma en primitiv funktion till h(x).

För att till sist bestämma arean mellan kurvorna ställer vi upp integralen av h(x) från x = 3 till x = 4.

Arean av det vänstra området är alltså ungefär 2.1667 areaenheter. Vi avrundar resultatet till några extra decimaler så att det inte är någon risk för felaktig avrundning när vi räknar ut den totala ytan på slutet.

Högra området

Vi fortsätter sedan med det högra området, som ligger mellan y = x^2 - 10x + 25 och y = -1.1x + 9.4.

Vi får då en ny integrand, f(x) - g(x) = -1.1x + 9.4 - ( x^2 - 10x + 25 ). Vi kallar integranden för p(x) och förenklar.

Vi bestämmer sedan en primitiv funktion till p(x).

Det högra området går från x = 4 till x = 6.5, vilket blir våra integrationsgränser. Vi ställer upp och beräknar integralen för arean mellan kurvorna.

Arean av det högra området är alltså ungefär 7.6042 areaenheter, där vi igen har behållit lite fler decimaler än vad vi behöver för att vara på säkra sidan.

Hela området

För att få den totala arean lägger vi bara ihop areorna vi har beräkna för delområdena och avrundar till 2 decimaler. 2.1667 + 7.6042 = 9.7709 ≈ 9.77 Det markerade området har alltså arean 9.77 a.e.

Vi beräknar arean mellan två kurvor genom att subtrahera den undre funktionen från den övre och sedan integrera differensen. Här varierar det dock vilken funktion som är överst, så vi delar upp problemet i tre integraler: en för det vänstra området, en för området i mitten och en för det högra området.

Hitta integralernas gränser

Till att börja med bestämmer vi gränserna för de tre integralerna genom att bestämma skärningspunkterna mellan graferna.

Vi börjar med att bestämma x-värdena där f(x) och p(x) skär varandra genom att likställa funktionsuttrycken och lösa ut x.

Det högra området har alltså övre gräns 7 och undre gräns 2. Vi kan se att x=2 även utgör övre gräns för området i mitten. För att bestämma den undre gränsen för detta område kan vi likställa h(x) och p(x).

Lösningen x=2 bekräftar att området i mitten har just övre gränsen 2. Den andra lösningen ger oss den undre gränsen, -2. Detta x-värde utgör också övre gräns för det vänstra området. Till sist bestämmer vi den undre gränsen för det vänstra området genom att likställa g(x) och p(x).

Det vänstra området har den undre gränsen -5.

Vänstra arean

Vi har nyss visat att det vänstra området begränsas av x=-5 och x=-2, så dessa är våra integrationsgränser. Vi kan också se att den övre funktionen är g(x) och den undre p(x).

Detta betyder att arean kan beräknas med integralen ∫_(-5)^(-2)(g(x)-p(x) ) d x . Vi börjar med att ta fram ett uttryck för integranden, som vi kan kalla h(x).

För att beräkna integralen behöver vi hitta en primitiv funktion till h(x).

Nu när vi har en primitiv funktion kan vi beräkna integralen.

Det vänstra området har alltså arean 92 a.e.

Mitten-arean

Här är den övre funktionen p(x) och den undre funktionen h(x). Ytan begränsas av x=-2 och x=2.

Detta innebär att arean av området kan beräknas med integralen ∫_(-2)^2(p(x)-h(x) ) d x . Vi kallar integranden för h(x) och bestämmer den.

Nu bestämmer vi en primitiv funktion till h(x).

Nu när vi har en primitiv funktion kan vi beräkna integralen.

Området i mitten har alltså arean 323 a.e.

Högra arean

Här har vi samma övre funktion som för mitten-området, p(x), men en annan undre funktion, f(x). Områdets gränser är x=2 och x=7.

Vi beräknar därför integralen ∫_2^7(p(x)-f(x) ) d x . Integranden kallar vi för h(x), och vi bestämmer den genom att sätta in funktonsuttrycken och förenkla.

Nu bestämmer vi en primitiv funktion till h(x).

Nu när vi har en primitiv funktion kan vi beräkna integralen.

Det högra området har alltså arean 1256 a.e.

Totala arean

Den totala arean får vi genom att summera den högra, mittersta och vänstra arean.

Områdets totala area är alltså 36 a.e.

Vi har en area mellan två kurvor och den kan vi beräkna med hjälp av integraler. Men först måste vi veta vilken funktion som är överst och om det ändras någon gång inom intervallet 0≤ x ≤ 3. Vi börjar därför med att likställa funktionsuttrycken för att hitta eventuella skärningspunkter.

Graferna skär varandra på två ställen men vi är bara intresserade av den som ligger i intervallet 0≤ x≤ 3 dvs. x=1.5. Nu tar vi reda på vilken funktion som är överst på respektive sida genom att välja ett x-värde i varje intervall.

Mellan x=0 och x=1.5 är alltså g(x) överst och mellan x=1.5 och x=3 är f(x) överst.

Det betyder att vi kan bestämma arean genom att beräkna ∫_0^(1.5)(g(x)-f(x) ) d x + ∫_(1.5)^3(f(x)-g(x) ) d x . Vi beräknar dem var för sig och börjar med att hitta en primitiv funktion till integranden i den första integralen.

Nu integrerar vi.

Den första integralen har värdet 3.375. Nu beräknar vi den andra på samma sätt och börjar med att ta fram en primitiv funktion till integranden p(x)=f(x)-g(x).

Nu kan vi integrera.

Den andra integralens värde är 7.875. Det betyder att områdets sammanlagda area är 3.375+7.875=11.25 a.e.

Vi ska bestämma den övre gränsen för ett område mellan två kurvor, givet att arean för detta område är π. Generellt ges arean av ett område mellan två kurvor, från x=a till x=b, av integralen A= ∫_a^b(f(x) - g(x) ) d x . Detta förutsätter att f(x) ligger ovanför g(x) mellan integrationsgränserna, så om vi kan avgöra vilken av de givna funktionerna, f(x)=7x^5-π x och g(x)=7x^5-3π x, som ligger ovanför den andra för x>0 kan vi ställa upp en ekvation med areaformeln ovan som mall. Vi ser att det är samma första term i båda funktionsuttrycken, så det är andra termen som avgör hur funktionerna skiljer sig åt. För x>0 kommer termen 3π x i g(x) vara 3 gånger större än termen π x i f(x). Detta innebär att det kommer subtraheras ett större tal från 7x^5 i g(x) jämfört med i f(x), och att g(x) därför hamnar längre ner i koordinatsystemet jämfört med f(x). Funktionen f(x) är alltså den övre funktionen när x>0. Nu kan vi ställa upp en ekvation. I vänsterledet sätter vi integralen som representerar arean av området och i högerledet sätter vi arean vi vill få, π: ∫_0^b(f(x)-g(x) ) d x =π. För att lösa ekvationen börjar vi med att förenkla integranden, som vi kan kalla h(x).

Ekvationen kan nu skrivas ∫_0^b2π x d x =π. För att kunna beräkna integralen måste vi först bestämma en primitiv funktion till h(x)=2π x.

Nu kan vi bestämma ett uttryck för integralen med hjälp av integralkalkylens huvudsats och sedan lösa ekvationen.

Eftersom nedre gränsen är 0 så kan inte övre gränsen b vara negativ, så vi förkastar b=-1. Detta ger att b=1.