MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
Ad
Använda derivata Visa detaljer
Kursinnehåll
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Kapitel 
3. 

Använda derivata

Denna lektion ger en omfattande förståelse för derivata. Den förklarar hur derivatan kan användas för att lösa matematiska problem och beskriva verkliga situationer. Till exempel kan man använda derivatan för att bestämma ekvationen för en tangent till en funktions graf i en viss punkt. Dessutom kan derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation tolkas som en momentan förändringshastighet. Detta innebär att derivatan beskriver hur något förändras över tid. Lektionen innehåller också praktiska exempel som illustrerar dessa koncept.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
5 sidor teori
19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Använda derivata
Sida av 5

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Bestämma en tangents ekvation med derivata
  • Derivata som modell

Förkunskaper
Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata.

Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till där
1
Bestäm tangeringspunkten
expand_more
För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända värdet i funktionen kan motsvarande värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in
Substitute

CalcPow

Beräkna potens

Multiply

Multiplicera faktorer

Tangeringspunkten har koordinaterna
2
Derivera funktionen
expand_more
Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är
Derive

Derivera funktion

DeriveMonomCo

Multiply

Multiplicera faktorer

3
Sätt in värdet i derivatan
expand_more
Genom att sätta in värdet för tangeringspunkten i derivatan kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså in i
Substitute

Multiply

Multiplicera faktorer

Tangenten i punkten där har alltså lutningen
4
Bestäm ekvationen med tangeringspunkten och derivatan
expand_more
Nu känner man till en punkt på tangenten, och dess lutning, vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.
SubstituteValues

Sätt in värden

OneMult

AddEqn

Tangentens ekvation är alltså
Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion som ger en prognos för antalet invånare i en stad år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt skrivs och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

  • derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med efter år.
  • derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med efter år.
  • derivatan är vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.
Exempel

Tolka funktionen och derivatan

Funktionen beskriver temperaturen på vatten i en kastrull minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna

Svar
  • tolkas som att vattnets temperatur är efter minuter.
  • Derivatan tolkas som att temperaturen ökar med vid tidpunkten minuter.

Ledtråd

Om så var vattnets temperatur efter minuter Derivatan i en punkt anger förändringshastigheten för vattnets temperatur vid den punkten.

Lösning

Vi börjar med vilket innebär att funktionen ger värdet om man sätter in Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan tolkas som att vattnets temperatur är efter minuter.

Likheten innebär att funktionens derivata är då vilket betyder att funktionen har lutningen i punkten

Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten alltså axelns enhet dividerad med axelns enhet. Derivatan kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med vid tidpunkten minuter.

Exempel

Tolka derivatans nollställe

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen där är sträckan från startpunkten i kilometer och är tiden i timmar.

Bestäm för vilket som och beskriv bilens rörelse för det värdet.

Ledtråd

Leta efter en punkt där tangenten har lutningen Om derivatan är är förändringshastigheten av kilometer per timme

Lösning

Att betyder att derivatan är och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är Det finns bara en sådan punkt, vid

är alltså när Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.

Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Använda derivata
Övningar

Diagrammet visar den grafiska representationen av en funktion. Derivatan till denna beskriver olika förändringshastigheter. Ange enheten för derivatan.

Grafen till en funktion vars derivata har enheten kr/hg.
Grafen till en funktion vars derivata har enheten st/h.
Grafen till en funktion vars derivata har enheten m/s.
Grafen till en funktion vars derivata har enheten cm/år.

Eftersom funktionen representeras grafiskt och axlarnas enheter är angivna kan vi bestämma derivatans enhet genom att dividera y-axelns enhet med x-axelns. Derivatan f' har alltså enheten kr/hg.


Vi gör på samma sätt och ser att derivatan g' har enheten st/h.


Vi gör samma sak igen. Derivatan h' har enheten m/s.


Derivatan p' har enheten cm/år.

Funktionen beskriver löneutvecklingen för sjuksköterskorna på vårdföretaget HjälpaDig, där är antal år efter

Graf som beskriver löneutvecklingen för sjuksköterskor på ett vårdföretag.
Vilket av följande uttryck säger att löneökningen år var

En ökning är en förändring, och derivata beskriver en förändring så uttrycket ska vara en derivata. Därför kan vi utesluta alternativen A och D eftersom enbart beskriver funktionsvärden. x-axeln beskriver antalet år efter 2006 och 2009 är 3 år efter 2006. Det betyder att x-värdet ska vara 3. Det finns då bara ett uttryck kvar: B. L'(3)=400.

Funktionen beskriver temperaturen i Torrarp dagar in på året. Tina testar funktionen och finner att:
Vilken eller vilka av likheterna beskriver följande?

En ökning

En minskning

Ingen förändring

Funktionen T(d) ger en temperatur vid en viss tidpunkt. Enstaka temperaturvärden beskriver inte en förändring, utan ger bara en ögonblicksbild av vad temperaturen var just då. Därför kan vi bortse från första raden av likheter, och istället titta på derivatan. Kom ihåg att: Där derivatan är positiv är funktionen växande. Likheten T'(1) = 2 säger att derivatans värde är 2 en dag efter nyår. 2 är ju ett positivt tal, så detta beskriver en ökning. Temperaturen ökar alltså just då.


Kom ihåg att: Där derivatan är negativ är funktionen avtagande. Likheten T'(0) = - 1 säger att derivatans värde är - 1 på nyårsafton (0 dagar in på nya året). - 1 är ett negativt tal, så detta beskriver en minskning. Temperaturen sjönk alltså den dagen.


I likhet med de andra uppgifterna gäller det att: Där derivatan är0 ändras inte funktionens värde. Likheten T'(2) = 0 säger att derivatans värde är 0 två dagar in på året. Funktionens värde är alltså statiskt här, så temperaturen förändras inte just då.

Funktionen beskriver temperaturen i staden Hufvudsta under ett dygn. Temperaturen anges i och är antalet timmar efter midnatt. Vilken av följande formuleringar ger den mest korrekta tolkningen av uttrycket

A och B

Vi börjar med att titta på likheten T'(8) = 0,5 och ser att den säger något om T'(x), vilket är derivatan av funktionen T(x). Derivator används för att beskriva hur någonting förändras, så likheten beskriver alltså inte temperaturen vid en viss tidpunkt utan hur denna temperatur förändras. Det innebär att vi direkt kan avfärda alternativen A och B eftersom båda handlar om specifika temperaturer.

C och E

Alternativ C och E handlar båda om förändringar, men inte den sort vi är ute efter. Derivatan T'(8)=0,5 säger något om hur temperaturen förändras vid den specifika tidpunkten 8, och ingen annan tid. Det innebär att det varken kan vara alternativ C, som beskriver förändringen under en hel timme, eller E, som beskriver de första åtta timmarna efter midnatt.

D

Kvar blir då det rätta alternativet: D. Det säger att den momentana förändringshastigheten för temperaturen, alltså hur snabbt temperaturen förändrades precis klockan 8, var 0,5 grader per timme.

Grafen till funktionen tangeras av en tangent vid

Bestäm tangeringspunkten för tangenten.
Bestäm tangentens lutning.
Bestäm tangentens ekvation.

Vi vet att tangenten tangerar funktionens graf vid x-värdet 3, och för att hitta det motsvarande y-värdet för tangeringspunkten sätter vi in x = 3 i f(x). f(3) = 3 * 3^2 + 7 = 34 Tangeringspunkten finns alltså i (3,34).


Lutningen för en tangent är samma som funktionens lutning i tangeringspunkten. För att bestämma den börjar vi med att derivera f(x).

Nu sätter vi in x = 3 i f'(x) och får då lutningen för f(x) i tangeringspunkten och därmed också lutningen för tangenten. f'(3) = 6 * 3 = 18 Tangentens lutning är alltså 18.


Vi vill nu bestämma ekvationen för tangenten, och det kan vi göra med hjälp av resultatet från de tidigare deluppgifterna. Tangenter är räta linjer, vilket innebär att deras ekvation har formen y = kx + m. Vi vet att k-värdet är 18, eftersom det är lutningen för tangenten. Sätter vi in det i ekvationen får vi y = 18x + m. Vi vet sedan att tangenten går igenom (3, 34) eftersom det är tangeringspunkten. Vi sätter in det och löser ut m.

Sätter vi in detta m-värde får vi ekvationen för tangenten, som blir y = 18x - 20.

Bestäm ekvationen för den tangent som tangerar grafen till funktionen i det specifierade värdet.

Vi kan använda enpunktsformen för att bestämma en tangents ekvation med derivata, men för att kunna göra det måste vi känna till en punkt på tangenten samt tangentens k-värde. Vi börjar med att bestämma tangeringspunkten. Dess x-koordinat, 2, känner vi redan till, och y-koordinaten får vi genom att sätta in x=2 i funktionen f(x).

Tangeringspunkten har alltså koordinaterna (2,96). Nu bestämmer vi tangentens k-värde, dvs. lutning, genom att derivera funktionen och sätta in x-värdet från tangeringspunkten.

Vi sätter nu in x=2 i f'(x).

k-värdet är 240. Avslutningsvis bestämmer vi den räta linjens ekvation med hjälp av tangeringspunkten (2,96) samt tangentens lutning, 240. Vi kan t.ex. göra detta genom att sätta in denna information i enpunktsformen och lösa ut y.

Tangentens ekvation är alltså y = 240x - 384.


Nu gör vi på samma sätt igen, fast för funktionen g(x)=x^2+3 då x=1. Vi bestämmer tangeringspunkten genom att sätta in x=1 i g(x).

Tangeringspunkten har koordinaterna (1,4). Nu deriverar vi funktionen och sätter in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter nu in x=1 i g'(x).

Tangentens k-värdet är 2. Avslutningsvis bestämmer vi ekvationen t.ex. genom att sätta in tangeringspunkten (1,4) samt tangentens lutning, 2, i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är alltså y = 2x + 2.


Vi använder samma metod ytterligare en gång, och börjar med att sätta in x=-4 i h(x).

Tangeringspunkten är (-4,-68). Nu deriverar vi och sätter in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter in x=-4 i h'(x).

Tangentens lutning är alltså 49. Vi bestämmer ekvationen t.ex. genom att sätta in tangeringspunkten (-4,-68) samt k=49 i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är alltså y = 49x + 128.

Använda derivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.