Använda derivata

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.
Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata. Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till f(x)=0.25x2f(x)=0.25x^2 där x=2.x=2.

1

Bestäm tangeringspunkten
För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända xx-värdet i funktionen kan motsvarande yy-värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in x=2.x = 2.
f(x)=0.25x2f(x) = 0.25x^2
f(2)=0.2522f({\color{#0000FF}{2}}) = 0.25\cdot{\color{#0000FF}{2}}^2
f(2)=0.254f(2) = 0.25\cdot 4
f(2)=1f(2)=1
Tangeringspunkten har koordinaterna (2,1).(2,1).

2

Derivera funktionen
Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är f(x)=0.25x2.f(x)=0.25x^2.
f(x)=0.25x2f(x) = 0.25x^2
f(x)=D(0.25x2)f'(x) = D\left(0.25x^2\right)
f(x)=20.25xf'(x) = 2\cdot 0.25x
f(x)=0.5xf'(x)=0.5x

3

Sätt in xx-värdet i derivatan
Genom att sätta in xx-värdet för tangeringspunkten i derivatan f(x)f'(x) kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså x=2x = 2 in i f(x)=0.5x.f'(x) = 0.5x.
f(x)=0.5xf'(x) = 0.5x
f(2)=0.52f'({\color{#0000FF}{2}}) = 0.5 \cdot {\color{#0000FF}{2}}
f(2)=1f'(2) = 1
Tangenten i punkten där x=2x=2 har alltså lutningen 1.1.

4

Bestäm ekvationen med tangeringspunkten och derivatan
Nu känner man till en punkt på tangenten, (2,1),(2,1), och dess lutning, 1,1, vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.
yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)
y1=1(x2)y - 1 = 1(x - 2)
y1=x2y - 1 = x - 2
y=x1y = x - 1
Tangentens ekvation är alltså y=x1.y = x - 1.
Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion y(t)y(t) som ger en prognos för antalet invånare i en stad tt år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt t0t_0 skrivs y(t0)y'(t_0) och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

  • y(1)=6400y'(1)=6400: derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med 64006400 inv/år efter 11 år.
  • y(4)=-2900y'(4)=\text{-} 2900: derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med 29002900 inv/år efter 44 år.
  • y(5)=0y'(5)=0: derivatan är 00 vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter 55 år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.
Uppgift

Funktionen T(x)T(x) beskriver temperaturen på vatten i en kastrull xx minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna T(4)=60ochT(4)=15. T(4)=60 \quad \text{och} \quad T'(4)=15.

Lösning

Vi börjar med T(4)=60,T(4)=60, vilket innebär att funktionen ger värdet T=60T = 60 om man sätter in x=4.x = 4. Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan T(4)=60T(4)=60 tolkas som att vattnets temperatur är 60C60 ^\circ \text{C} efter 44 minuter.

Likheten T(4)=15T'(4)=15 innebär att funktionens derivata är 1515x=4,x=4, vilket betyder att funktionen har lutningen 1515 i punkten (4,60).(4,60).

Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten C/min^\circ\text{C}/\text{min}, alltså yy-axelns enhet dividerad med xx-axelns enhet. Derivatan T(4)=15T'(4)=15 kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med 15C15 ^\circ\text{C}/min vid tidpunkten 44 minuter.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen s(t),s(t), där ss är sträckan från startpunkten i kilometer och tt är tiden i timmar.

Bestäm för vilket tt som s(t)=0s'(t)=0 och beskriv bilens rörelse för det tt-värdet.

Lösning

Att s(t)=0s'(t)=0 betyder att derivatan är 0,0, och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är 0.0. Det finns bara en sådan punkt, vid t=3.t=3.

s(t)s'(t) är alltså 00 när t=3.t=3. Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter 33 timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är 00 km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}