Använda derivata

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.
Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata. Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till f(x)=0.25x2f(x)=0.25x^2 där x=2.x=2.

För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända xx-värdet i funktionen kan motsvarande yy-värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in x=2.x = 2.

f(x)=0.25x2f(x) = 0.25x^2
f(2)=0.2522f({\color{#0000FF}{2}}) = 0.25\cdot{\color{#0000FF}{2}}^2
f(2)=0.254f(2) = 0.25\cdot 4
f(2)=1f(2)=1

Tangeringspunkten har koordinaterna (2,1).(2,1).

Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är f(x)=0.25x2.f(x)=0.25x^2.

f(x)=0.25x2f(x) = 0.25x^2
f(x)=D(0.25x2)f'(x) = D\left(0.25x^2\right)
f(x)=20.25xf'(x) = 2\cdot 0.25x
f(x)=0.5xf'(x)=0.5x

Genom att sätta in xx-värdet för tangeringspunkten i derivatan f(x)f'(x) kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså x=2x = 2 in i f(x)=0.5x.f'(x) = 0.5x.

f(x)=0.5xf'(x) = 0.5x
f(2)=0.52f'({\color{#0000FF}{2}}) = 0.5 \cdot {\color{#0000FF}{2}}
f(2)=1f'(2) = 1

Tangenten i punkten där x=2x=2 har alltså lutningen 1.1.

Nu känner man till en punkt på tangenten, (2,1),(2,1), och dess lutning, 1,1, vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)
y1=1(x2)y - 1 = 1(x - 2)
y1=x2y - 1 = x - 2
y=x1y = x - 1

Tangentens ekvation är alltså y=x1.y = x - 1.

Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion y(t)y(t) som ger en prognos för antalet invånare i en stad tt år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt t0t_0 skrivs y(t0)y'(t_0) och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

  • y(1)=6400y'(1)=6400: derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med 64006400 inv/år efter 11 år.
  • y(4)=-2900y'(4)=\text{-} 2900: derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med 29002900 inv/år efter 44 år.
  • y(5)=0y'(5)=0: derivatan är 00 vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter 55 år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.
Uppgift

Funktionen T(x)T(x) beskriver temperaturen på vatten i en kastrull xx minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna T(4)=60ochT(4)=15. T(4)=60 \quad \text{och} \quad T'(4)=15.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen s(t),s(t), där ss är sträckan från startpunkten i kilometer och tt är tiden i timmar.

Bestäm för vilket tt som s(t)=0s'(t)=0 och beskriv bilens rörelse för det tt-värdet.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Diagrammen visar grafiska representationer av fyra funktioner. Derivatorna till dessa beskriver olika förändringshastigheter. Ange enheten för respektive derivata.

a


b
c
d
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen L(x)L(x) beskriver löneutvecklingen för sjuksköterskorna på vårdföretaget "HjälpaDig", där xx är antal år efter 2006.2006.

Vilket av följande uttryck säger att löneökningen år 2009 var 400400 kr/år?

A. L(2009)=400L(2009)=400
B. L(3)=400L'(3)=400
C. L(2009)=400L'(2009)=400
D. L(3)=400L(3)=400

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen T(d)T(d) beskriver temperaturen i Torrarp dd dagar in på året. Tina testar funktionen och finner att: T(0)=0,T(1)=-1,T(2)=1T(0)=-1,T(1)=2,T(2)=0.\begin{aligned} T(0) = 0, \quad & T(1) = \text{-} 1, \quad T(2) = 1 \\ T'(0) = \text{-} 1, \quad & T'(1) = 2, \quad T'(2) = 0. \end{aligned} Vilken eller vilka av likheterna beskriver:

a

en ökning?

b

en minskning?

c

att det inte förändras?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen T(x)T(x) beskriver temperaturen i staden Hufvudsta under ett dygn. Temperaturen T(x)T(x) anges i ^\circC och xx är antalet timmar efter midnatt. Vilken av följande formuleringar ger den mest korrekta tolkningen av uttrycket T(8)=0.5.T'(8) = 0.5.
A: Temperaturen klockan 88 var 0.50.5 grader.
B: Temperaturen klockan 88 har halverats.
C: Under den åttonde timmen ökade temperaturen med 0.50.5 grader.
D: Klockan 88 var temperaturökningen 0.50.5 grader per timme.
E: Under de första 88 timmarna på dygnet ökade temperaturen med 0.50.5 grader.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen till funktionen f(x)=3x2+7f(x) = 3x^2 + 7 tangeras av en tangent vid x=3.x = 3.

a

Bestäm tangeringspunkten för tangenten.

b

Bestäm tangentens lutning.

c

Bestäm tangentens ekvation.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen för den tangent som tangerar grafen till funktionen

a

f(x)=3x5f(x)=3x^5x=2.x=2.

b

g(x)=x2+3g(x)=x^2+3x=1.x=1.

c

h(x)=x3+xh(x)=x^3+xx=-4.x=\text{-}4.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lara kastar mynt i en fontän och ser att det bildas ringar på vattnet. Arean i m2\text{m}^2 av dessa cirklar representeras av funktionen A(r),A(r), där rr är cirkelns radie i cm.

Tolka följande likheter.

a

A(40)0.5A(40) \approx 0.5

b

A(40)0.025A'(40) \approx 0.025

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Höjden av en fotbollsinspark kan beskrivas av funktionen h(t)=-2.5t2+10t,h(t)=\text{-}2.5t^2+10t, där hh är höjden i meter och tt är tiden i sekunder. Beräkna och tolka

a

h(0.5).h'(0.5).

b

h(3).h'(3).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bebis väger V(x)V(x) gram xx dagar efter förlossningen. Skriv ett uttryck som beskriver att


a

bebisen väger 40924092 g efter 1919 dagar.

b

bebisen minskar i vikt med 150150 g/dag efter 22 dagar.

c

bebisen ökar i vikt med 230230 g/dag efter 2727 dagar.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Funktionen s(t)s(t) beskriver hur många kilometer en fågel har flugit efter tt timmar. Tolka s(t).s'(t).

b

Funktionen p(x)p(x) beskriver priset på en aktie i kronor xx dagar efter årsskiftet. Tolka p(x).p'(x).

c

Funktionen v(t)v(t) beskriver hastigheten i meter per sekund för en sten som har fallit i tt sekunder. Tolka v(t).v'(t).

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En säck falafel släpps från toppen av Turning torso i Malmö som är 180180 meter ovanför marken. Sträckan SS som säcken har fallit efter tt sekunder kan beräknas med formeln S(t)=4.9t2.S(t)=4.9t^2.

a

Vilken hastighet har falafelsäcken efter 11 sekund?

b

Vad är falafelsäckens hastighet när det når marken? Avrunda svaret till heltal.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ritva ska hoppa fallskärm från ett flygplan. Höjden hh meter över marken beskrivs av funktionen h(t),h(t), där tt är antal sekunder efter att Ritva hoppat ut ur flygplanet. Efter tio sekunder når hon sin maxhastighet.

a

Tolka h(10)=-60h'(10) =\text{-} 60.

b

Tolka h(40)=h(50)=-5h'(40) = h'(50) = \text{-} 5 samt beskriv vad som har hänt med fallskärmen under perioden 1010-4040 s.

c

Tolka h(60)=0.h'(60) = 0.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en savann i Afrika jagar en grupp lejon en antilop. De smyger fram mot bytet och när de är tillräckligt nära börjar de springa. Fram till att lejonet har uppnått sin maxhastighet kan den sträcka det har sprungit efter tt sekunder beskrivas med funktionen s(t)=0.9t2.s(t)=0.9t^2. Hur långt har det sprungit då, om maxhastigheten är 1616 m/s? Svara med ett heltal.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=x311x+2f(x)=x^3-11x+2 kan man rita tangenter i xx-värdena x=1x=1 och x=-2.x=\text{-}2. Bestäm skärningspunkten mellan tangenterna.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionerna ff och gg gäller att f(x)=5x2+3xochg(x)=x2+8x f(x)=5x^2+3x \quad \text{och} \quad g(x)=x^2+8x

a

Bestäm värdet på xx där grafen till ff har lutningen 1818.

b

Grafen till gg har en tangent i den punkt där x=6.x=6. Bestäm koordinaterna för tangentens skärningspunkt med xx-axeln.

Nationella provet HT12 3b/3c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Antalet chokladbollar ett konditori tillverkar över en period på 3030 dagar kan beskrivas av funktionen f(t)=2000325t+19t2t33, f(t) = 2000 - 325t + 19t^2 - \dfrac{t^3}{3}, där tt är antalet dagar sedan början på perioden. Vilken dag ökade antalet tillverkade chokladbollar snabbast?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen till funktionen f(x)=3x4+8x390x2+12x+17 f(x) = 3x^4 + 8x^3 - 90x^2 + 12x + 17 har en tangent där x=0.x = 0. Den har ytterligare en tangent då x=a.x = a. Bestäm aa så att de två tangenterna inte skär varandra.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sfärisk ballong börjar blåsas upp på ett sådant sätt att radien ökar med 22 cm varje sekund. När ökar volymen med 628628 cm3^3/s? Svara med 22 decimaler.

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hastigheten vv i m/s för en planet runt solen beror på gravitationskonstanten G,G, solens massa MM i kg samt omloppsbanans radie rr i meter enligt formeln v(r)=GMr. v(r)=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}. Gravitationskonstanten är ca 6.6710-116.67\cdot 10^{\text{-} 11} m3kgs2\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} och solens massa ungefär 210302\cdot 10^{30} kg.

a

Jorden ligger ca 150109150\cdot 10^9 meter från solen. Hur snabbt färdas jorden runt solen? Avrunda svaret till en gällande siffra.

b

Bestäm värdet av v(300109)v'\left(300\cdot 10^9\right). Avrunda svaret till en gällande siffra.

c

Tolka v(300109).v'\left(300\cdot 10^9\right).

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}