Trigonometri - arcusfunktioner

Tangens för en vinkel är kvoten mellan längden av kateterna. I figuren får vi dock endast en katet och hypotenusa med längderna 12 respektive 13.

Med Pythagoras sats kan vi dock bestämma längden av den motstående kateten. Vi sätter in den närliggande kateten och hypotenusan i formeln och förenklar.

Då vet vi att den motstående kateten är 5 och kan nu beräkna tan(v) med definitionen.

För att gå från tangensvärdet 512 till vinkeln använder vi arctan. Vi slår in detta på räknaren och kommer då ihåg att ha räknaren inställd på grader.

Vi börjar med att skissa situationen.

Då ser vi att den efterfrågade vinkeln, v, mellan hus och stege utgör en vinkel i en rätvinklig triangel där hypotenusan och vinkelns närliggande katet är kända. Vi kommer ihåg att man kan beräkna cosinusvärdet för en vinkel med cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa. Cosinusvärdet för v är alltså 4.65. När vi nu vet cosinussvärdet för vinkeln kan vi använda arccos för att räkna ut själva vinkeln.

När vi ska slå in högerledet på räknaren använder vi COS^(-1) (2nd + COS), vilket är samma sak som arccos. Glöm inte att kontrollera att räknaren är inställd på grader.

Vinkeln mellan stegen och huset är alltså ca 23^(∘).

Vi börjar med att bestämma den gröna vinkeln ∧ DAB vid hörn A som vi kallar för w.

Vi känner till längden på kateterna så vi kan använda tangens för att bestämma w.

Nu använder vi cosinus för att bestämma ∧ CAB vid hörn A. Denna kallar vi u.

Den närliggande kateten är 12 och hypotenusan är 21. Vi sätter in detta i definitionen för cosinus.

Den stora vinkeln är cirka 55.15^(∘). Om vi drar bort w från detta kan vi bestämma v: v&=55.15^(∘)-26.57^(∘) &≈ 28.6^(∘).

För att bestämma vinkeln v använder vi definitionen för tangens. Vi sätter alltså in den motstående och närliggande kateten i definitionen och löser ut v.

Nu har vi tagit fram vinkelns tangensvärde. För att lösa ut v använder vi arctan.

Vinkeln är ca 22.6^(∘).

Vi känner inte till längden på de små kvadraterna, men vi kan kalla deras sidlängd för s. Eftersom kvadrater har räta vinklar i alla hörn, och varje kvadrat har sidlängden s, befinner sig den blå vinkeln i en rätvinklig triangel med katetlängderna 2s och 4s.

Vi sätter in dessa längder i definitionen för tangens för att beräkna vinkeln.

Den blå vinkeln är alltså ungefär 63.6^(∘).

Vi kallar den ena katetens längd för x. Eftersom hypotenusan är 50 % längre kan vi uttrycka dess längd som 1.5x. Vi kallar de andra vinklarna u och v och kan rita upp följande figur.

Vi använder oss av definitionen för cosinus för att bestämma v: cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa. Hypotenusan är 1.5x och den närliggande kateten är x. Vi sätter in detta och beräknar v.

Vi använder nu att en triangels vinkelsumma är 180^(∘). Vi får då u+v+90^(∘)=180^(∘). Nu löser vi ut u.

Vinklarna i triangeln är alltså 90^(∘), 41.8^(∘) samt 48.2^(∘). Den största av dessa, som dessutom inte är rät, är 48.2^(∘). Detta blir alltså vårt svar.

Vi vet att sin(v)=0.5 så för att beräkna värdet av produkten 2sin(v) ersätter vi faktorn sin(v) med denna identitet.

Uttryckets värde är alltså 1.

För att beräkna sin(2v) måste vi veta vinkeln v och den kan vi bestämma genom att lösa ut v i ekvationen sin(v)=0.5.

Kom ihåg att kontrollera att räknaren är inställd på grader. När vi vet v kan vi beräkna värdet av sin(2v) genom att sätta in v i uttrycket och beräkna.

Vi får alltså sin(2v)≈ 0.866. Det finns faktiskt ett exakt värde på sin(60^(∘)) som är sqrt(3)2, men det ligger utanför kursens omfattning. I det nationella provet har man skrivit sqrt(32), men detta är alltså fel och är sannolikt ett tryckfel.

Låt oss kalla den ena katetens längd för a. Om hypotenusan är 50 % längre än denna blir den lika med 1.5a. Vi väljer även att kalla triangelns okända vinklar för x och y.

Eftersom vi vet förhållandet mellan den ena kateten och hypotenusan kan vi använda definitionen för sinus eller cosinus för att beräkna x eller y.

Vinkeln x är alltså 42^(∘). Eftersom triangeln är rätvinklig är den ena vinkeln 90^(∘) så vi kan subtrahera detta och 42^(∘) från triangelns totala vinkelsumma, 180^(∘), för att bestämma den tredje vinkeln: y&=180^(∘)-90^(∘)-42^(∘) &=48^(∘). Vinklarna är alltså 90^(∘), 42^(∘) och 48^(∘). Den största av dessa som dessutom inte är rät är 48^(∘), vilket blir vårt svar.