Trigonometri - arcusfunktioner

Vi börjar med att skissa situationen och använder att vi känner till slottets bredd samt avståndet mellan Jasmine och slottet.

Eftersom slottet precis får plats på bilden kommer vinkelbenen, som utgår från Jasmines position och spänner upp bildvinkeln v, precis nudda slottets främre hörn.

Vi kan nu, baserat på de kända avstånden, konstruera två rätvinkliga trianglar där kateterna är kända. Notera att bildvinkeln delas i två lika stora vinklar, som i figuren kallas w.

Eftersom vi vet hur långa kateterna är kan vi bestämma tangensvärdet för vinkel w, vilket sedan kan användas för att avgöra storleken på vinkeln själv. Vi sätter in uttrycken i definitionen för tangens.

Nu använder vi arcustangens för att bestämma w.

Nu återstår bara att multiplicera vinkel w med 2 för att få reda på bildvinkeln, v. Vi behåller ganska många decimaler för att undvika avrundningsfel. Det ger oss att bildvinkeln är ca 28.6731^(∘)*2&=57.3462^(∘) &≈57^(∘).

Om triangeln är rätvinklig kan vi använda tan, sin eller cos för att ta reda på vinklarna. Vi undersöker detta genom att kontrollera om Pythagoras sats är uppfylld, för det är i så fall ekvivalent med att triangeln är rätvinklig. Den längsta sidan är 73 cm och om triangeln rätvinklig är detta hypotenusan.

Pythagoras sats gäller, så triangeln är rätvinklig dvs. en av vinklarna är 90^(∘). Vi kallar de andra för u och v.

Nu kan vi använda valfri trigonometrisk funktion för att bestämma t.ex. v.

Vinkeln v är alltså ungefär 48.9^(∘). Vinkelsumman i en triangel är alltid 180^(∘), så den sista vinkeln blir u&=180^(∘)-90^(∘)-48.9^(∘) &=41.1^(∘). Triangelns vinklar är alltså 90^(∘), 48.9^(∘) och 41.1^(∘). Den största av dessa som inte är 90^(∘) är 48.9^(∘), vilket blir vårt svar.

Vi ska bestämma en vinkel i en rätvinklig triangel, men vi känner bara till en sida. Hjördis behöver 25 meter staket och eftersom den ena sidan är x m måste resten av staketet, alltså hypotenusan, vara 25-x. Sidan längs med huset är 8 meter. Det betyder att vi har uttryck för alla sidor i triangeln.

Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats för att bestämma den okända sidan x.

Den ena sidan är alltså 11.22 meter. Vi skulle kunna beräkna längden på hypotenusan också men det behöver vi inte göra för att lösa uppgiften.

Nu kan vi använda tangens för att bestämma vinkeln v.

Tangensvärdet för vinkeln v är alltså 811.22. För att bestämma vinkeln tar vi arctan av kvoten: arctan(8/11.22)&= 35.48934...^(∘) & ≈ 35.5 ^(∘). Vinkeln v är alltså ungefär 35.5^(∘).

Funktionen arctan beräknar en vinkel baserat på ett tangensvärde, och ett sådant värde beräknas som kvoten mellan en motstående och närliggande katet i en rätvinklig triangel. Om a och b är kateter i en rätvinklig triangel kan alltså uttrycket arctan(a/b) = v tolkas som en vinkel v som har a som motstående katet och b som närliggande katet. Det kan t.ex. se ut så här.

Kvoten ba är då tangensvärdet för den övre vinkeln eftersom b då blir motstående katet och a blir närliggande. Tar man sedan arctan av det får man den vinkelns storlek. Så hur stor är den? Den ena vinkeln i triangeln är rät (90^(∘)) och den andra är v. Det betyder att den tredje vinkeln blir 180^(∘)-90^(∘)-v=90^(∘)-v, eftersom vinkelsumman i en triangel är 180^(∘). arctan( ba) är alltså lika med 90^(∘)-v.

Vi vet att den långa sidan är lika lång som sidoytans diagonal, som vi kan kalla y. Vi börjar med att ta reda på denna.

Sidoytan bildar en kvadrat, vars diagonal vi kan beräkna med Pythagoras sats. Eftersom en sträcka alltid är positiv förkastar vi den negativa längden.

Den längsta sidan är alltså sqrt(2)x. Nu vet vi rätblockets sidlängder. Vi kan då beräkna bottenytans diagonal, eftersom vi kommer att behöva den senare.

Denna diagonal, som vi kallar z, är hypotenusa i en rätvinklig triangel med sidorna x och sqrt(2)x. Vi beräknar längden med Pythagoras sats. Även här väljer vi det positiva svaret.

Nu tittar vi igen på den sökta vinkeln. Rymddiagonalen tillsammans med bottenytans diagonal bildar en rätvinklig triangel där vi vet båda kateternas längder, x och sqrt(3)x.

Vi kan nu använda tangens för att beräkna den sökta vinkeln, som vi kan kalla v.

Vinkeln mellan rymddiagonalen och basytan är exakt 30^(∘).