Trigonometri - arcusfunktioner

Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.

På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens. Man kan alltså gå fram och tillbaka mellan en vinkel och motsvarande tangens-, sinus- och cosinusvärde. Detta illustreras nedan med några cosinusvärden.

Välj cosinusvärde:

0.71

0.5

0.17

I vissa fall, bland annat på flera räknare, skrivs arcusfunktionerna

\tan^{\text{-}1},

\sin^{\text{-}1}

och

\cos^{\text{-}1}.

Dessa ska alltså inte tolkas som potenser.

Arcusfunktioner på räknare

Eftersom beräkningar med de trigonometriska arcusfunktionerna ger vinklar som resultat är det bra att kontrollera om räknaren är inställd på radianer eller grader. För att beräkna en vinkel med arctan trycker man på knappen TAN $^{\text{-}1}$ (2nd + TAN). Första parentesen skrivs ut automatiskt och efter den skriver man tangensvärdet som man vill räkna ut vinkeln för.

Knapparna SIN

^{\text{-}1}

(2nd + SIN) och COS

^{\text{-}1}

(2nd + COS) fungerar på motsvarande sätt för arcsin och arccos.

Bestäm vinkel med arcsin och arccos

Uppgift

Bestäm vinkeln $v$ och $u.$

Skills Bestam vinkel med hjalp av en arcusfunktion1.svg

Lösning

Vi börjar med att beräkna $v$ . I uppgiften har vi fått längderna för två av triangelns sidor: hypotenusan och kateten längst bort från vinkeln $v$ , alltså den motstående kateten för $v$ . Vi kommer ihåg att man kan beräkna sinusvärdet för en vinkel med $\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}.$ Sinusvärdet för $v$ är alltså $\frac{11}{16}.$ Om vi vet sinusvärdet för en vinkel kan vi använda $\arcsin$ för att räkna ut själva vinkeln.

\sin(v) = \dfrac{11}{16}

\arcsin(\text{VL}) = \arcsin(\text{HL})

v = \arcsin\left(\dfrac{11}{16}\right)

När vi ska slå in högerledet på räknaren använder vi SIN $^{\text{-}1}$ (2nd + SIN), vilket är samma sak som arcsin. Glöm inte att kontrollera att räknaren är inställd på grader och inte radianer.

Vinkeln $v$ är alltså ungefär $43^\circ$ . Nu skulle vi kunna använda $v,$ samt det faktum att vinkelsumman i en triangel är $180^\circ,$ för att räkna ut $u,$ men det går också bra med arcuscosinus. De kända sidorna är då hypotenusan och den närliggande kateten. Definitionen för cosinus är $\cos\left(u\right)=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}},$ vilket ger cosinusvärdet $\frac{11}{16}.$ Vi beräknar vilken vinkel det motsvarar med hjälp av räknarens COS $^{\text{-}1}$ -knapp (2nd + COS).