body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1a Visa detaljer

5. Trigonometri - arcusfunktioner

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1c ) /

Kapitel 5

Trigonometri - arcusfunktioner

Inom matematikens område spelar trigonometri en viktig roll, och arcusfunktioner är en betydande del av det. Innehållet förklarar hur arcusfunktioner som arccos, arctan och arcus sinus används för att beräkna vinklar i en rätvinklig triangel när förhållandet mellan två sidor är känt. Dessa funktioner är motsatsen till sinus, cosinus och tangens. Innehållet ger också vägledning om hur man använder räknare för dessa beräkningar och säkerställer de korrekta inställningarna för radianer eller grader. Exempel ges för att illustrera hur man bestämmer vinklar med arcsin och arccos, och hur man använder dessa funktioner på en räknare. Materialet betonar vikten av att förstå sammanhanget, som att känna igen när en triangel är rätvinklig, och betydelsen av enheter i beräkningar.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Trigonometri - arcusfunktioner

Sida av 5

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Arcusfunktioner

Förkunskaper

Teori

Arcusfunktioner

Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.

På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens.

Man kan alltså gå fram och tillbaka mellan en vinkel och motsvarande tangens-, sinus- och cosinusvärde. Detta illustreras nedan med några cosinusvärden.

I vissa fall, bland annat på flera räknare, skrivs arcusfunktionerna

tan^{- 1},

sin^{- 1}

och

cos^{- 1} .

Dessa ska alltså inte tolkas som potenser.

Teori

Arctangens, arcsinus och arccosinus på räknare

Eftersom beräkningar med de trigonometriska arcusfunktionerna ger vinklar som resultat är det bra att kontrollera om räknaren är inställd på radianer eller grader. För att beräkna en vinkel med arctan trycker man på knappen $TAN^{- 1}$ $(2 ND + TAN) .$ Första parentesen skrivs ut automatiskt och efter den skriver man tangensvärdet som man vill räkna ut vinkeln för.

Knapparna

SIN^{- 1}

(2 ND + SIN)

och

COS^{- 1}

(2 ND + COS)

fungerar på motsvarande sätt för arcsin och arccos.

Exempel

Bestäm vinkel med arcsin och arccos

Bestäm vinkeln $v .$

Ledtråd

Vi har motstående katet och hypotenusan. Vad är $sin (v) ?$

Lösning

Vi börjar med att beräkna

v .

I uppgiften har vi fått längderna för två av triangelns sidor: hypotenusan och kateten längst bort från vinkeln

v,

alltså den motstående kateten för

v .

Vi kommer ihåg att man kan beräkna sinusvärdet för en vinkel med

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} .

Sinusvärdet för

v

är alltså

\frac{1 1}{1 6} .

Om vi vet sinusvärdet för en vinkel kan vi använda

arcsin

för att räkna ut själva vinkeln.

sin (v) = \frac{1 1}{1 6}

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

v = arcsin (\frac{1 1}{1 6})

När vi ska slå in högerledet på räknaren använder vi

SIN^{- 1}

(2 nd + SIN),

vilket är samma sak som arcsin. Glöm inte att kontrollera att räknaren är inställd på grader och inte radianer.

Vinkeln $v$ är alltså ungefär $4 3^{\circ} .$

Extra

Hitta värdet på

u

Nu skulle vi kunna använda

v,

samt det faktum att vinkelsumman i en triangel är

18 0^{\circ},

för att räkna ut

u,

men det går också bra med arcuscosinus. De kända sidorna är då hypotenusan och den närliggande kateten. Definitionen för cosinus är

cos (u) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa},

vilket ger cosinusvärdet

\frac{1 1}{1 6} .

Vi beräknar vilken vinkel det motsvarar med hjälp av räknarens

COS^{- 1}

-knapp

(2 nd + COS) .

cos (u) = \frac{1 1}{1 6}

ArcCosEqn

$arccos (VL) = arccos (HL)$

u = arccos (\frac{1 1}{1 6})

UseCalc

Slå in på räknare

u = 46.56746344 \dots^{\circ}

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

u \approx 4 7^{\circ}

Vinkel

u

är alltså ungefär

4 7^{\circ} .

Övning

Öva på att hitta vinklar med trigonometriska förhållanden

I följande rätvinkliga trianglar ges två sidlängder. Genom att använda det motsvarande trigonometriska förhållandet, hitta $m ∠ θ .$ Avrunda svaret till närmaste grad.

Applet som genererar en rätvinklig triangel med några okända mått.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Trigonometri - arcusfunktioner

Övningar

Den rätvinkliga triangeln nedan har sidorna $12$ och $13 .$

En grön rätvinklig triangel som ligger på sin hypotenusa.

Bestäm

tan (v)

med hjälp av figuren och svara exakt.

Bestäm

v

med svaret från föregående uppgift. Avrunda till en decimal.

Tangens för en vinkel är kvoten mellan längden av kateterna. I figuren får vi dock endast en katet och hypotenusa med längderna 12 respektive 13.

Med Pythagoras sats kan vi dock bestämma längden av den motstående kateten. Vi sätter in den närliggande kateten och hypotenusan i formeln och förenklar.

Då vet vi att den motstående kateten är 5 och kan nu beräkna tan(v) med definitionen.

För att gå från tangensvärdet 512 till vinkeln använder vi arctan. Vi slår in detta på räknaren och kommer då ihåg att ha räknaren inställd på grader.

Bestäm vinkeln $v .$ Svara i hela grader.

En blå rätvinklig triangel som står på sin korta sida.

Vi har fått längden på en av kateterna och hypotenusan. Den kända katetlängden är närliggande till v, vilket betyder att vi kan använda cosinus för att bestämma vinkeln. Vi börjar med att ställa upp cosinusvärdet. cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa =12/22 Nu använder vi räknaren för att beräkna vinkeln. Vi använder då funktionen arccos, som på räknaren motsvaras av cos^(-1). Vi trycker därför på 2nd + cos och skriver därefter in 1222. Kom ihåg att avsluta med en högerparentes (en vänsterparentes skrivs in automatiskt när vi skriver in cos^(-1)).

Vinkeln är alltså ungefär 57^(∘).

Kajsa har gjort en uträkning i sitt matteblock. Har Kajsa gjort rätt?

Alla beräkningar är korrekta, men om vi tittar på den sista raden står det 28^(∘). Stämmer det verkligen? Vi tittar på den första raden i uträkningen och jämför den med definitionen för tangens: tan(v)&=Motstående katet/Närliggande katet [0.5em] tan(40 ^(∘))&=x/33. Vi inser då att x i Kajsas ekvation står för motstående katet, alltså en sträcka. Men i sista raden på uträkningen har hon angivit x i grader. Hon borde ha svarat med en längdenhet, t.ex.. 28 cm, eller 28 le. Enheter är viktiga!

Måtten i figuren är i meter. Bestäm de okända vinklarna i trianglarna och svara i hela grader.

En rätvinklig triangel med höjden 42 meter och hypotenusan 50.5 meter.

En rätvinklig triangel med höjden 1.9 m och basen 5 m.

En grön rätvinklig triangel med vinkeln z.

Vi har fått längden på en av kateterna och hypotenusan. Den kända katetlängden är motstående till v, vilket betyder att vi kan använda sinus för att bestämma vinkeln. Vi börjar med att ställa upp sinusvärdet. sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=42/50,5 Nu använder vi arcsin för att beräkna vinkeln.

Med räknaren bestämmer vi nu värdet på v. För att skriva in arcsin på räknaren trycker vi på 2nd och sedan sin. Vi skriver sedan in bråktalet i fråga och avslutar med högerparentes.

Vinkeln är alltså ungefär 56^(∘).

Här har vi fått längden på båda kateterna så vi använder tangens.

Vi beräknar x med räknaren igen, men använder denna gång arctan.

Vinkeln x är alltså ca 21^(∘).

Hypotenusan är alltid mittemot den räta vinkeln, i vårt fall 1,4 m. Längden på den motstående kateten till y är 1,3. Vi använder sinus.

Vi beräknar vinkel y.

Vinkeln y är ungefär 68^(∘).

Här hittar vi en rätvinklig triangel i den större triangeln. Den närliggande kateten och hypotenusan till den är givna så vi använder cosinus för att beräkna vinkeln z.

Även här bestämmer vi vinkeln med hjälp av räknaren.

Vinkeln z är alltså ca 30^(∘).

Gabriella påstår att hon kan beräkna vinkeln $v$ i triangeln med $arctan (1) .$ Philippa säger att det inte är säkert att det går. Vem har rätt? Motivera ditt svar.

Gabriella tänker så här.

Felet ligger i att Gabriella har utgått ifrån att triangeln är rätvinklig. Men eftersom det inte anges i uppgiften så får vi inte anta det. Philippa har insett att den informationen saknas och därför är det hon som har rätt.

Bestäm $v$ om $v$ är en vinkel i en rätvinklig triangel. Svara med två värdesiffror.

sin (v) = 0.79

tan (v) = \frac{1 2}{4}

cos (v) = \frac{7 8}{7 9}

För att gå från ett sinusvärde till en vinkel ska vi använda arcussinus.

Vi beräknar det sista steget på räknare, och använder då funktionen arcsin genom att trycka på SIN^(-1) (2nd + SIN). Sedan skriver vi in 0.79 och avslutar med högerparentes.

Vi ser att vinkeln är ca 52^(∘).

Här ska vi göra samma sak, men använda arctan. Det spelar ingen roll om vi slår in kvoten 124 på räknaren eller 3, eftersom det är samma sak.

Även här tar vi hjälp av räknaren för att beräkna vinkeln. TAN^(-1) får vi genom knapparna 2nd + SIN.

Vinkeln är ca 72^(∘).

Här väljer vi att behålla kvoten 7879 eftersom vi annars får ett väldigt långt decimaltal.

Vinkeln räknar vi precis som tidigare ut med räknaren, denna gång med COS^(-1).

Denna vinkel är alltså ca 9.1^(∘).

Hitta värdet. Avrunda till närmaste hundradel om nödvändigt.

cos (A r c s i n \frac{4}{5})

Vi vill hitta värdet av ett uttryck som har flera trigonometriska funktioner. cos ( Arcsin 4/5) För att göra det kommer vi att använda en räknare. Vi trycker på COS och sedan 2ND, följt av SIN. Slutligen introducerar vi värdet 45 och trycker på ENTER. Detta ger oss värdet av cos ( Arcsin 45). Kom ihåg att Arcsin är samma sak som sin^(- 1).

Vi fann att värdet av cos ( Arcsin 45) är 0,6.

Vi kan kontrollera vårt svar genom att göra var och en av beräkningarna separat — beräkna invers sinus av 45 och sedan cosinus av detta resultat. För att göra det trycker vi på 2ND på vår räknare följt av SIN, introducerar värdet 45, och trycker på ENTER.

Invers sinus av 45 är ungefär 53,13^(∘). Nu ska vi beräkna cosinus av 53,13^(∘). För att göra det trycker vi på COS, sätter in värdet 53,13, och trycker på ENTER.

Cosinus av 53,13^(∘) är ungefär 0,6. Eftersom det sista värdet vi använde är avrundat är resultatet något annorlunda än vårt svar. Vi kan dock fortfarande dra slutsatsen att svaret i vår lösning är korrekt.

Hitta värdet. Avrunda till närmaste hundradel om nödvändigt.

tan (C o s^{- 1} 1)

Vi vill hitta värdet av ett uttryck som har flera trigonometriska funktioner. tan(Cos^(-1) 1) För att göra det kommer vi att använda en räknare. Vi trycker på TAN och sedan 2ND, följt av COS. Slutligen anger vi värdet 1 och trycker på ENTER. Detta ger oss värdet av tan(Cos^(-1) 1).

Vi fann att värdet av tan(Cos^(-1) 1) är 0.

Vi kan kontrollera vårt svar genom att göra varje beräkning separat — beräkna invers cosinus av 1 och sedan tangens av detta resultat. För att göra det trycker vi på 2ND på vår räknare följt av COS, anger värdet 1, och trycker på ENTER.

Invers cosinus av 1 är 0^(∘). Nu ska vi beräkna tangens av 0^(∘). För att göra det trycker vi på TAN, anger värdet 0, och trycker på ENTER.

Vi fick samma svar som i vår lösning. Därför är vårt svar korrekt.

Trigonometri - arcusfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.