Tolka funktioner

Vi tittar på karafferna en i taget. Eftersom båda karaffernas utseende ändrar karaktär efter halva höjden kan vi dela upp förloppet i de första och sista 5 sekunderna.

Karaff A

Den första karaffen har en bred botten så det kommer till en början ökar höjden relativt långsamt dvs. grafens lutning är relativt liten. När karaffen smalnar av ökar höjden också snabbare så grafens lutning blir större. Efter den har nått hälften av höjden blir karaffen bredare igen och grafen planar därför ut.

Karaff B

Den andra karaffen har också en bred botten så även här är grafens lutning till en början relativt liten (grafen är flak). När karaffen fylls blir den smalare och smalare och höjden ökar snabbare. Efter 16 cm ökar höjden med en konstant hastighet eftersom flaskans form inte förändras. Lutningen blir alltså därefter konstant tills hela är fylld.

Ljusets höjd beror på hur snabbt det brinner ner och hur snabbt det brinner ner beror på hur mycket stearin det finns att bränna.

Blått ljus

Det blå ljuset är jämntjockt. Det kommer därför att brinna med samma hastighet tills det har brunnit upp. Från början är det 45 cm långt så grafen kommer börja i (0,45) och avta med en jämn hastighet (konstant lutning) tills höjden är 0.

Grönt ljus

I början är det gröna ljuset inte så tjockt, vilket betyder att höjden minskar ganska snabbt. Sedan blir det tjockare vilket leder till en långsammare höjdminskning. När ljuset brunnit ett tag till blir det återigen smalare och höjden minskar snabbare. Det ger oss till följande graf.

Rött ljus

Det röda ljuset är smalt längst upp och blir tjockare ju längre ner det brinner. Grafens lutning är alltså inledningsvis väldigt brant (negativ lutning) och planar därefter ut allteftersom ljuset brinner ner.

Eftersom x står för antal timmar sätter vi in x = 3 i funktionerna och beräknar temperaturen y.

Kaffets temperatur är alltså ca 74^(∘) C efter 3 timmar.

Temperaturen kan aldrig understiga utomhustemperaturen på 15^(∘) C . Vi likställer funktionen med 15 och får ekvationen 15=92* 0,93^x. Men en ekvation som denna har vi ännu inte metoder för att lösa algebraiskt. Vi kan pröva oss fram, men det effektivaste sättet är en grafisk lösning. Vi ritar ekvationens vänster- och högerled på grafräknaren, dvs. y = 15, och y = 92 * 0,93^x. Lösningen är skärningspunktens x-värde.

Vi läser av att linjerna skär när x ≈ 25 . Funktionen gäller alltså högst 25 timmar.

Från grafen ser vi att bilen efter 5 sekunder har nått hastigheten 20 m/s. Vi vill alltså omvandla hastigheten 20 m/s till km/h genom att skriva om 20 m till km, och 1 sekund till timmar.

• Omvandling sträcka: Eftersom 1000 meter är 1 km måste 20 meter vara lika med 0,02 km.
• Omvandling tid: Eftersom det går 3600 sekunder på 1 timme blir 1 sekund samma sak som 1/3600 h.

Nu kan vi bestämma hastigheten i km/h genom att dela sträckan i km med tiden i timmar.

Bilen kör i 72 km/h efter 5 sekunder.

Eftersom omvandlingen mellan m/s och km/h alltid blir 1 m/s = 0,001 km(1/3600)h = 3,6 km/h, kan vi snabbare omvandla ett antal m/s till km/h genom att multiplicera med 3,6. Uträkningen blir då kortare. 20 m/s=20 * 3,6 km/h= 72 km/h. På motsvarande sätt kan vi dividera med 3,6 för att omvandla mellan km/h och m/s.

En sträcka beräknas genom att multiplicera tiden med hastigheten (s=v* t), förutsatt att hastigheten är konstant eller en medelhastighet. Om vi börjar med att beräkna hur långt bilen hinner mellan sekund 5 och 15 multiplicerar vi t=10 s med den konstanta hastigheten v=20 m/s: s=v* t=20* 10 m=200 m. Tittar vi i diagrammet ser vi att detta är samma sak som arean under grafen vid dessa tidpunkter.

På samma sätt kan vi bestämma körsträckan de första fem sekunderna genom att beräkna arean under grafen.

Figuren under grafen är en triangel så vi beräknar arean genom att multiplicera höjden med basen och delar produkten med 2: A=5* 20/2=40. Detta motsvarar alltså 40 m. För att bestämma den totala sträckan lägger vi ihop första och andra. Bilen åker alltså 200+40=240 meter.

En linjär funktion f(x) kan vi skriva med räta linjens ekvation: f(x) = kx + m. Vi behöver alltså bestämma riktningskoefficienten k och konstanttermen m. Från uppgiften vet vi att 0^(∘) C är lika med 32^(∘) F och att 100^(∘) C är lika mycket som 212^(∘) F. Vi kan se dessa par av värden som punkter i ett koordinatsystem: (0, 32) och (100, 212). Konstanttermen m i räta linjens ekvation anger y-värdet där linjen skär y-axeln, dvs. då x = 0. Den första av våra kända punkter, (0, 32), är skärningspunkten mellan linjen och y-axeln, så m = 32. Nu kan vi skriva linjens ekvation som f(x) = kx + 32. Använder vi den andra kända punkten, (100, 212), kan vi ta reda på linjens riktningskoefficient k. Vi sätter in punkten i ekvationen och löser ut k.

Riktningskoefficienten är 1,8 vilket ger funktionen f(x) = 1,8x + 32.

Vi bestämmer vad temperaturen i 20^(∘) C motsvarar i Fahrenheit genom att beräkna f(20), dvs. funktionsvärdet då x = 20.

Vi ser att 20^(∘) C motsvarar 68^(∘) F.

Vi får nu veta att f(x)=86. Vi sätter in det i funktionen f(x) = 1,8x + 32, och löser ut x som är gradtalet i Celsius.

Vi ser att x = 30, vilket innebär att temperaturen 86^(∘) F motsvarar 30^(∘) C.

Vi beräknar vad det kostar att tillverka 50 stolar genom att sätta in x = 50 i funktionen och förenklar.

Det kostar 7 600kr för Benke att tillverka 50 stolar och för att täcka tillverkningskostnaderna måste inkomsten täcka kostnaden. Vi låter k ange styckpriset som ger intäkten 7 600kr och får då ekvationen k * 50 = 7 600. Om vi dividerar båda led med 50 får vi k = 152. Benke måste alltså sälja stolarna för minst 152 kronor styck för att täcka tillverkningskostnaderna.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att beräkna tillverkningskostnaden y för att tillverka 500 stolar.

Det kostar 75 100kr att tillverka 500 stolar. Eftersom Benke gjorde en vinst på 14 900kr sålde han stolarna för 75 100 + 14 900 = 90 000 kr. Om vi låter p vara det ordinarie priset per stol, så kostar 500 stolar 500p. Men beställaren fick 10 % mängdrabatt, så han betalade endast 90 % av detta, dvs. 0,9 * 500 p. Detta ska vara lika med 90 000kr vilket ger oss en ekvation som vi kan lösa ut p ur.

En stol kostar 200kr

Vi ser att den blå grafen har en brantare lutning än den gröna. Det betyder att den blå grafen hör ihop med den bassäng där vattendjupet ökar snabbast, vilket bör vara den med minst basyta. Av A och B har B minst basyta så den blå grafen måste höra ihop med B. Det innebär att den gröna grafen måste höra ihop med A.

Grafen som hör ihop med bassäng C löper mellan graferna till A och B. Bassäng C fylls alltså inte lika snabbt som B, men inte lika långsamt som A. Det innebär att bassäng C:s basyta är större än den i bassäng B, men mindre än den i bassäng A.

Bassängen har två områden: ett som är djupare och ett som är grundare. Vi kallar det djupa området för (1) och det grunda området för (2).

Först fylls bassängens djupa del, dvs. område (1), och eftersom basytan här är relativt liten så ökar vattendjupet förhållandevis snabbt. Det innebär att grafen som representerar hur vattendjupet ändras först kommer vara relativt brant. När vattnet nått upp till det grunda området så måste både (1) och (2) fyllas, vilket innebär att det tar längre tid för vattnet att stiga och grafen blir flackare.