Tolka funktioner

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktioner som modeller
Tolka grafer

Förkunskaper

Linjär function
Exponentialfunktion
Potensfunktion

Teori

Funktioner som modeller

För att beskriva verkliga fenomen (\tex hur en kropp svalnar och planeternas hastighet kring solen) kan man använda funktioner:

Funktioner	Beskrivning
Linjära funktioner	har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden.
Exponentialfunktioner	förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden.
Potensfunktioner	ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion.

Med modellerna kan man göra uppskattningar om vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.

Exempel

Vilken funktion beskriver situationen bäst?

Du har $10\,000$ kr på ett sparkonto med $2\per$ årsränta. Vilken funktion beskriver bäst hur mycket pengar det finns efter $x$ år?

Ledtråd

Kom ihåg hur funktioner används som modeller.

Lösning

Efter ett år får du räntan $0,02\t10\,000=200$ kr. Är det lämpligt att \tex använda en linjär modell där det fasta beloppet $200$ kr läggs till varje år, dvs.</translate> \gathered{ y=10\,000+200x? } Nej, detta stämmer dåligt överens med verkligheten, eftersom ränta betalas ut procentuellt utifrån hur mycket pengar som finns på kontot. Beloppet ökar inte med lika många kronor varje år, utan med lika många procent. Det betyder att en exponentialfunktion är en bättre beskrivning av den här situationen: \gathered{ y=10\,000 \t 1,02^x. } Detta är en förenklad modell med vissa begränsningar. Den kommer alltså inte nödvändigtvis att stämma helt överens med verkligheten. Man kanske tar ut eller sätter in pengar, eller kanske banken ändrar räntan.

Övning

Identifiera funktioner

Med tanke på definitionerna av en exponentiell funktion, en potensfunktion och en linjär funktion, identifiera funktionerna som ges av följande värdetabeller.

Teori

Tolka grafer

Grafer används ofta för att beskriva verkliga situationer. Grafen nedan verkar beskriva något förlopp, men det är svårt att avgöra vad.

För att kunna tolka grafen behöver man kunna besvara följande frågor:

Vad representerar $x\text{-}$ och $y\text{-}$axeln?
Vilka enheter står på axlarna?
För vilka intervall är grafen ritad?

Om $x\text{-}$axeln anger tid i veckor och $y\text{-}$axeln anger tusental, skulle grafen kunna beskriva antal exemplar en nystartad tidning säljer över tid.

Exempel

Tolka grafen

Grafen beskriver en bilresa. Beskriv hur bilen rörde sig under färden.

Svar

Se lösning.

Ledtråd

Bestäm $k\text{-}$värde med hjälp av $x\text{-}$avskärningen och en given punkt på funktionen. Förklara sedan dess betydelse.

Lösning

Vi kan börja med att ta reda på hur fort föraren körde. Detta kan vi ta reda på genom två olika sätt. Vi ser att efter en timme, dvs. då $x=1,$ har bilen färdats $50$ km. Efter ytterligare en timme har den kommit $50$ km till, dvs. $100$ km. Bilens hastighet var alltså \gathered{ 50 \ \slfrac{\text{km}}{\text{h}}. } Ett annat sätt är att vi väljer origo och en till punkt på grafen, \tex $(6,300).$

Grafens $k\text{-}$värde blir alltså \gathered{ k=\dfrac{300-0}{6-0}=50. } Vi kan dra slutsatsen att i en sträcka-tid-graf ($st\text{-}$graf) motsvarar lutningen bilens fart. Man kan komma ihåg det genom att titta på enheterna på axlarna. För att ta fram $k$ utförde vi divisionen \gathered{ k=\dfrac{300 \text{ km}}{6 \text{ h}}=50 \slfrac{\text{km}}{\text{h}}. } Eftersom lutningen är samma genom hela grafen så bilen höll konstant fart genom hela färden. Bilen färdades alltså med konstant fart i $50\slfrac{\text{km}}{\text{h}}$ i $7$ timmar.