body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

7. Tolka funktioner

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 6

Tolka funktioner

Lektionen fokuserar på att tolka funktioner och hur de kan användas för att beskriva verkliga fenomen. Den förklarar olika typer av funktioner som linjära, exponentiala och potensfunktioner, och hur de kan användas för att modellera olika situationer. Till exempel, en exponentialfunktion kan beskriva hur mycket pengar som finns på ett sparkonto med en viss ränta, medan en linjär funktion kan beskriva antalet honungsburkar som samlas över tid. Sidan innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man tolkar grafer och använder funktioner i praktiska sammanhang.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Tolka funktioner

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktioner som modeller
Tolka grafer

Teori

Funktioner som modeller

För att beskriva verkliga fenomen (t.ex. hur en kropp svalnar och planeternas hastighet kring solen) kan man använda funktioner:

Funktioner	Beskrivning
Linjära funktioner	har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden.
Exponentialfunktioner	förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden.
Potensfunktioner	ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion.

Med modellerna kan man göra uppskattningar om vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.

Exempel

Vilken funktion beskriver situationen bäst?

Du har

10000

kr på ett sparkonto med

2 %

årsränta. Vilken funktion beskriver bäst hur mycket pengar det finns efter

x

år?

Ledtråd

Kom ihåg hur funktioner används som modeller.

Lösning

Efter ett år får du räntan

0, 02 \cdot 10000 = 200

kr. Är det lämpligt att t.ex. använda en linjär modell där det fasta beloppet

200

kr läggs till varje år, dvs.</translate>

y = 10000 + 200 x ?

Nej, detta stämmer dåligt överens med verkligheten, eftersom ränta betalas ut procentuellt utifrån hur mycket pengar som finns på kontot. Beloppet ökar inte med lika många kronor varje år, utan med lika många procent. Det betyder att en exponentialfunktion är en bättre beskrivning av den här situationen:

y = 10000 \cdot 1, 0 2^{x} .

Detta är en förenklad modell med vissa begränsningar. Den kommer alltså inte nödvändigtvis att stämma helt överens med verkligheten. Man kanske tar ut eller sätter in pengar, eller kanske banken ändrar räntan.

Övning

Identifiera funktioner

Med tanke på definitionerna av en exponentiell funktion, en potensfunktion och en linjär funktion, identifiera funktionerna som ges av följande värdetabeller.

Teori

Tolka grafer

Grafer används ofta för att beskriva verkliga situationer. Grafen nedan verkar beskriva något förlopp, men det är svårt att avgöra vad.

För att kunna tolka grafen behöver man kunna besvara följande frågor:

Vad representerar $x -$ och $y -$ axeln?
Vilka enheter står på axlarna?
För vilka intervall är grafen ritad?

x -

axeln anger tid i veckor och

y -

axeln anger tusental, skulle grafen kunna beskriva antal exemplar en nystartad tidning säljer över tid.

Exempel

Tolka grafen

Grafen beskriver en bilresa. Beskriv hur bilen rörde sig under färden.

Svar

Se lösning.

Ledtråd

Bestäm $k -$ värde med hjälp av $x -$ avskärningen och en given punkt på funktionen. Förklara sedan dess betydelse.

Lösning

Vi kan börja med att ta reda på hur fort föraren körde. Detta kan vi ta reda på genom två olika sätt. Vi ser att efter en timme, dvs. då

x = 1,

har bilen färdats

50

km. Efter ytterligare en timme har den kommit

50

km till, dvs.

100

km. Bilens hastighet var alltså

50 km / h .

Ett annat sätt är att vi väljer origo och en till punkt på grafen, t.ex.

(6, 300) .

Grafens

k -

värde blir alltså

k = \frac{3 0 0 - 0}{6 - 0} = 50 .

Vi kan dra slutsatsen att i en sträcka-tid-graf (

s t -

graf) motsvarar lutningen bilens fart. Man kan komma ihåg det genom att titta på enheterna på axlarna. För att ta fram

k

utförde vi divisionen

k = \frac{3 0 0 km}{6 h} = 50 km / h .

Eftersom lutningen är samma genom hela grafen så bilen höll konstant fart genom hela färden. Bilen färdades alltså med konstant fart i

50 km / h

7

timmar.

Tolka funktioner

Övningar

För sina sista slantar köper Nils en skraplott. Till hans glädje vinner han lite pengar som han stoppar ner i sin plånbok. Mängden pengar Nils har kvar i plånboken kan sedan beskrivas av sambandet

y = 200 - 50 x,

där

y

är hur många kronor som finns kvar i plånboken och

x

är tiden i timmar efter vinsten. I hur många timmar gäller formeln?

Mängden pengar i plånboken kan inte bli negativ, så modellen kan bara gälla fram tills pengarna tar slut. Det sker när y=0. Läser vi av denna punkt i grafen ser vi att det sker då x=4, alltså efter fyra timmar.

Vi kan sätta in y=0 i funktionen och lösa ut x för att få samma svar.

Nils får alltså slut på pengar redan efter fyra timmar.

Armando och Kristoffer älskar att dricka chailatte, men de har märkt att det blir ganska dyrt. Varje dag på väg till skolan brukar de köpa en. Graferna visar den totala kostnaden per vecka $K (v)$ för Armando som handlar på Kaffehuset och $L (v)$ för Kristoffer som handlar på Latterian.

Hur kan du, utan beräkningar, se att en chailatte är billigare på Latterian?

Hur mycket billigare är en chailatte på Latterian än på Kaffehuset? Avrunda svaret till hela kronor.

Om vi undersöker killarnas totala kostnad efter t.ex. en vecka ser vi att K(v) har ökat mer än L(v) under denna tid. Med andra ord kan vi genom att titta på lutningen, eller kostnad/vecka, se att det är billigare för Kristoffer som handlar på Latterian.

Vi bestämmer priset för en chailatte på respektive café och jämför. Graferna visar kostnaden per skolvecka, dvs. varje vecka anger kostnaden för 5st chailatte. Det är dock svårt att göra en korrekt avläsning direkt vid 1 vecka. Men om vi läser av t.ex. kostnaden efter 5 veckor på den röda grafen hamnar vi på ganska precis 875kr.

5 veckor motsvarar 5 * 5=25 skoldagar, så kostnaden för en latte på Kaffehuset är alltså 875/25=35 kr. Vi tänker på samma sätt med den blå grafen. Här ser vi att efter 8 veckor, eller 40 skoldagar, har Kristoffer betalat ungefär 1 125kr. Detta ger en kostnad på 1 125/40=28,125 kr per chailatte. Skillnaden är alltså 35-28,125=6,875kr, vilket vi kan avrunda till ca 7kr billigare.

Vi kan gissa att en chailatte egentligen kostade precis 28kr. Anledningen till att vi fick 28,125kr är att vi inte alltid kan göra exakta avläsningar på alla grafer. Men ibland är vi mer intresserade av helheten, och då får vi offra lite av detaljerna.

En ny dator kostar $7800$ kr. Bestäm datorns värde efter $5$ år utifrån modellen. Svara i hela kronor.

Värdeminskningen är linjär med

1170

kr (dvs.

15 %

av datorns ursprungsvärde) per år.

Värdeminskningen är exponentiell med

15 %

per år.

Låt y vara datorns värde efter x år. Minskningen är linjär, så vi utgår ifrån räta linjens ekvation y=kx+m. m är då startvärdet, 7 800 kr, och k är hur mycket värdet förändras. Eftersom värdet minskar med 1 170 kr per år blir k=-1 170: y=-1 170x+7 800. Vi beräknar värdet efter 5 år genom att sätta in x=5.

Värdet efter 5 år blir alltså 1 950 kr med den linjära modellen.

Nu låter vi istället minskningen vara exponentiell, dvs. vi utgår ifrån y=C* a^x. Då är a den förändringsfaktor som motsvarar en minskning med 15 % dvs. 0.85. Vi låter y vara värdet efter x år, och får då modellen y=7 800* 0.85^x. Nu sätter vi in x=5 och beräknar värdet.

Enligt den exponentiella modellen blir datorns värde 3 461 kr.

Du sätter in din sommarjobbslön, $6500$ kr, på ett bankkonto. Ställ upp funktionsuttrycket för pengarnas värde $y$ efter $x$ år utifrån följande scenarion.

Pengarnas värde växer över tid genom att du fyller på kontot med

1050

kr varje månad, dvs. utan ränta.

Pengarnas värde växer över tid med årsräntan

1.4 % .

Pengarnas värde efter

5

år med okänd tillväxtfaktor

a .

Pengarna ökar med ett fast belopp varje månad, vilket kan ses som en funktion med konstant lutning. Efter 1 månad har du ökat kapitalet med 1050*1 kr, efter 2 månader med 1050*2 kr osv. Vi ställer därför upp en linjär funktion med funktionsuttrycket y=6500+1050x.

Pengarna växer med en upprepad procentuell förändring i form av en ränta på 1.4 %. Eftersom tiden är okänd beskriver en exponentialfunktion situationen bäst. Vi omvandlar räntan 1.4 % till motsvarande förändringsfaktor 1.014. Efter ett år har pengarna växt till 6500*1.014^1 kr, efter 2 år till 6500*1.014^2, osv. Funktionsuttrycket kan alltså skrivas som y=6500* 1.014^x.

Denna situation liknar den ovan. Skillnaden är att tillväxtfaktorn är okänd. Vi vet dock att vi ska multiplicera förändringsfaktorn med det insatta kapitalet 5 gånger. Detta ger oss potensfunktionen y=6500* a^5.

År $2016$ har landet Solland $9.9$ miljoner invånare. Pga. torka uppskattar dock landets styrande att befolkningen kommer att minska framöver. Ställ upp en funktion som beskriver befolkningsminskningen $y$ (i miljoner) $x$ år efter år $2016,$ givet den specifierade modellen.

Minskningen är linjär och minskar med

0.2

miljoner invånare per år.

Minskningen är exponentiell och minskar med

2 %

per år.

Om vi låter y vara antal invånare i miljoner slipper vi skriva ut en massa nollor (eller 10^6). x låter vi vara antal år efter 2016. Vi utgår ifrån räta linjens ekvation y=kx+m. m är då startvärdet, 9.9, och k beskriver hur befolkningen förändras. Eftersom antal invånare minskar med 0.2 miljoner per år blir k=-0.2. Vi ställer nu upp vår linjära modell: y=-0.2x+9.9 eller y=9.9-0.2x.

Nu låter vi minskningen vara exponentiell, dvs. vi utgår ifrån y=C* a^x. Även här låter vi y vara antal invånare i miljoner och x antalet år efter år 2016. a är då den förändringsfaktor som motsvarar en minskning med 2 % dvs. 0.98. Den exponentiella modellen blir y=9.9* 0.98^x.

Beskriv en verklig situation som nedanstående graf skulle kunna representera.

Tolka grafen.

Vi gör följande observationer:

x-axeln anger antalet dagar
y-axeln anger centimeter
Grafen börjar i (1,5)

Grafen ska alltså beskriva en höjd eller djup av något slag som förändras både positivt och negativt under loppet av 15 dagar. Vi ser att det sker stora förändringar under dagarna 3, 9, och 13. Något som varierar mycket under exempelvis januari månad är snön på marken. När det snöar ökar snödjupet och när det blir plusgrader minskar det. Grafen skulle alltså kunna beskriva snödjupet under en den första halvan av en vintermånad, t.ex. januari.

Som redan nämnts börjar grafen i (1,5). Detta betyder att snödjupet är 5cm första januari. Den tredje januari snöar det så att snödjupet ökar till 15cm varpå det är uppehåll fram till den 8 januari. Därefter töar det och snödjupet minskar till 10cm. Den 12 januari snöar det igen så snödjupet ökar till 20cm.

Nalle Puh samlar honungsburkar i sin källare. Just nu finns det $15$ honungsburkar, men han tänker ställa in $2$ nya varje vecka.

Ställ upp ett funktionsuttryck som beskriver antalet honungsburkar

y

i källaren efter

x

veckor.

Hur många burkar har han efter ett år om han fortsätter i samma takt?

Hur lång tid tar det för honom att samla in 1000 honungsburkar (om vi utgår ifrån att han har plats i källaren)? Svara i år och avrunda till en decimal.

Nalle Puh har ett antal burkar till att börja med: 15st. Sedan ökar han antalet med ett fast värde: 2 per vecka. Detta beskrivs bäst av en linjär funktion på formen y=kx+m där m-värdet är 15 och k-värdet är 2. Vi skriver alltså funktionen y= 2x+ 15, där y är antal burkar efter x veckor.

Det går 52 veckor på ett år så vi sätter in detta i funktionsuttrycket och beräknar.

Nalle Puh kommer att ha hela 119 burkar i sin källare! Hoppas han inte äter alla på en gång, för då kommer han få magknip.

Antalet burkar y ska alltså vara 1 000. Vi likställer funktionen med 1 000 och löser ut x.

Det tar alltså nästan 493 veckor eller 49352 ≈ 9,5 år, för Nalle Puh att samla så mycket honung.

Decibel är ett mått som beskriver ljudstyrka. En tumregel är att om ljudstyrkan fördubblas, ökar antalet decibel (dB) med ungefär

3 .

Är antalet decibel proportionellt mot ljudstyrkan? Antag att du vet att ljudstyrkan

2

motsvarar

3 dB .

Motivera ditt svar.

Om sambandet mellan antal decibel, y, och uppmätt ljudstyrka, x, är proportionellt kan sambandet beskrivas med en rät linje som går genom origo. Vi kan undersöka detta genom att beräkna några decibelvärden. Vi utgår från ljudstyrkan x = 2 och fördubblar sedan x-värdena i några steg.

Ljudstyrka (x)	dB (y)	Punkt
2	3	(2,3)
4	6	(4,6)
8	9	(8,9)
16	12	(16,12)

De punkter vi funnit i värdetabellen ovan kan vi markera i ett koordinatsystem, där vi låter x-värden ange uppmätt ljudstyrka och y-värden ljudstyrkan i dB.

Vi drar en rät linje genom origo och en av punkterna. Då ser vi att den inte går genom alla andra och därför är sambandet inte proportionellt.

Tolka funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll