Tolka funktioner: Bestämma funktion

Funktioner	Beskrivning
Linjära funktioner	har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden.
Exponentialfunktioner	förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden.
Potensfunktioner	ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion.

Vilken funktion beskriver scenariot bäst? Para ihop med linjär-, exponential- eller potensfunktion.

A . Antal bakterier i en bakteriekultur . B . Volymen av en kub d \ddot{a} r sidan \ddot{o} kar . C . Kostnaden f \ddot{o} r en taxiresa .

Vi undersöker funktionerna i tur och ordning.

Linjär funktion

Linjära funktioner förändras med ett fast värde. Ett exempel är taxiresor, där du vanligen betalar en framkörningsavgift och sedan ett fast pris per km eller minut utöver det. Om du cyklar med konstant hastighet kommer avståndet till skolan att minska lika mycket med ett fast antal meter varje minut. C beskrivs alltså med linjära funktioner.

Exponentialfunktion

Exponentialfunktioner beskriver upprepade procentuella förändringar. En bakterie kan bilda 1 ny bakterie genom att dela sig. När dessa två delar sig bildas 2 nya. Då har vi fyra bakterier, som delar sig till 4 nya, sedan blir det 8 nya, 16 nya osv. Detta är ett exponentiellt förlopp, där det totala antalet bakterier fördubblas. På liknande sätt ökar kapitalet på ett räntekonto med samma procentsats hela tiden. A beskrivs alltså med exponentialfunktioner.

Potensfunktion

Potensfunktioner beskriver t.ex. kvadratiska och kubiska samband. Kubens volym V beskrivs av tredjegradsfunktionen V=s^3 om s är sidan, så B beskrivs bäst med en potensfunktion.

Grafen visar hur Benrik cyklar till jobbet en morgon.

När cyklar Benrik snabbast?

A . B . C . D . 10 < t < 10 10 < t < 15 15 < t < 30 30 < t < 40

Vad är Benriks genomsnittliga hastighet? Svara i km/min.

Benrik cyklar som snabbast när grafen är brantast. Ju brantare graf desto längre sträcka cyklar hon under en given tidsperiod vilket betyder att hon håller en högre hastighet. Från grafen ser vi att hon cyklar som snabbast i mellan t=10 och t=15.

Genomsnittshastigheten för hela cykelturen beräknar vi genom att dela den totala resvägen med den totala tiden det tog att cykla till arbetsplatsen. Från grafen kan vi se att det tog 40 minuter att komma fram till jobbet, och den färdade sträckan var 10 kilometer. Genomsnittshastigheten blir alltså v=10km/40min=0,25 km/min.

Lisa åker moped till sitt lantställe. Grafen beskriver hur mycket som finns i bensintanken efter $x$ km.

När körde Lisa som fortast om du vet att bensinförbrukningen ökar desto fortare man kör?

Ju mer negativ grafens lutning är desto större är bränsleförbrukningen (antalet liter bensin minskar ju snabbare). Vi bestämmer skillnaden i x- och y-led i grafen när Lisa kör och jämför därefter lutningarna.

Grafens lutning före och efter Lisa har tankat är k=- 2/30≈- 0.07 och k=- 2/20=- 0.1 Lutningen är alltså mer negativ efter Lisa har tankat vilket innebär att hon då kör snabbare den sista biten dvs. i intervallet 30< x< 50.

På midsommarafton dricker Anna-Lisa

6

starköl, vilket gör att vid midnatt är koncentrationen alkohol i hennes blod

1, 3

promille. Alkoholkoncentrationen sjunker sedan enligt funktionen

y = 1, 3 - 0, 11 x,

där

x

är antalet timmar efter midnatt. I Sverige är gränsen för rattfylla

0, 2

promille. Givet att man kan lita på funktionen, hur många timmar efter midnatt är det som tidigast lagligt för Anna-Lisa att köra hem?

Det är lagligt för Anna-Lisa att köra om koncentrationen alkohol i hennes blod är under 0,2 promille. För att hitta tidpunkten då koncentrationen är 0,2 promille sätter vi in y = 0,2 i funktionen och löser ut x.

Alkoholnivån har sjunkit till 0,2 promille 10 timmar efter midnatt. Om man kan lita på funktionen så måste hon alltså vänta till efter klockan 10 på morgonen nästa dag för att kunna köra bil.

En webbplats har $500000$ medlemmar år $2010 .$ Antalet $y$ medlemmar ökar med $15 %$ varje år.

Skriv en exponentiell tillväxtfunktion som representerar webbplatsens medlemskap

t

år efter

2010 .

Hur många medlemmar kommer det att finnas år

2016 ?

Avrunda ditt svar till närmaste tiotusental.

För att skriva en exponentialfunktion för att modellera den givna situationen, låt oss först komma ihåg den allmänna formen för en exponentialekvation. y=a b^x I denna formel är a startvärdet och b=1+r, där r är förändringstakten. Om funktionen representerar tillväxt är r > 0, och om den representerar minskning är r < 0.

Skriva ekvationen

För att skriva ekvationen måste vi först definiera variablerna. Låt y vara antalet medlemmar år 2010, och låt x vara antalet år efter startvärdet. I det här fallet är startvärdet det ursprungliga antalet medlemmar, vilket är 500 000. Eftersom antalet medlemmar ökar med 15 % varje år, har vi att r= 0,15. y=500 000 (1+0,15)^x ⇕ y=500 000 ( 1,15)^x

Eftersom vi vill hitta antalet medlemmar år 2016 — vilket är 6 år efter 2010 — kommer vi att sätta in 6 för x i vår modellekvation.

Vi fann att efter 6 år kommer befolkningen att vara runt 1 160 000.

Skolans kafeteria säljer lunchpass som gör att en student kan köpa ett valfritt antal luncher i förväg för $30$ per lunch.

Skriv en ekvation för att hitta

t,

den totala kostnaden i kronor för ett lunchpass med

n

luncher.

Gör en funktionstabell för att visa sambandet mellan antalet luncher $n$ och kostnaden $t .$

Antal Luncher, $n$
Total Kostnad (kr), $t$

Rita de ordnade paren. Analysera grafen.

Vi vet att en lunch i skolans cafeteria kostar 30 kronor när man använder ett lunchkort. Vi vill skriva en ekvation som kan användas för att hitta den totala kostnaden för ett lunchkort med ett visst antal luncher. Låt oss börja med att skapa en mening med den givna informationen för att beskriva situationen.

Den totala kostnaden för lunchkortet är kostnaden för en lunch gånger antalet luncher.

Låt oss nu definiera variablerna. Låt t representera den totala kostnaden för lunchkortet och n representera antalet luncher på kortet. Låt oss skriva om meningen som en ekvation med hjälp av variablerna.

Vi hittade en ekvation som illustrerar situationen. t=30n

Vi vill göra en funktionstabell som visar förhållandet mellan antalet luncher n och den totala kostnaden t. I Del A hittade vi en ekvation som kan användas för att hitta den totala kostnaden t för n luncher. t = 30 n Låt oss välja några värden på n och sätta in dem i ekvationen. Vi kan lägga till en rad i mitten av tabellen för att visa substitutionen av värdet för n i funktionen 30 n.

Antal luncher, n	1	2	3
30n	30* 1	30* 2	30* 3
Totalkostnad (kr), t	30	60	90

I Del B gjorde vi en funktionstabell som visar förhållandet mellan antalet luncher n och den totala kostnaden t.

Antal luncher, n	1	2	3
Totalkostnad (kr), t	30	60	90

Låt oss rita de ordnade paren. I vår situation är antalet luncher n den oberoende variabeln eller inmatningen, och den totala kostnaden t är den beroende variabeln eller utmatningen. Detta innebär att n är x-koordinaten och t är y-koordinaten. Låt oss rita de ordnade paren ( n, t) i koordinatsystemet.

Grafen är linjär eftersom den totala kostnaden ökar med 30 kronor för varje lunch som köps.

Se den grafiska romanens ruta nedan för övningar A-C.

Låt

f

representera kostnaden för att beställa varje biljett online. Skriv en ekvation som kan användas för att hitta kostnaden för att beställa varje biljett online.

Lös ekvationen från del A.

En annan vän vill gå på konserten. Vad är den totala kostnaden för att beställa tre biljetter online?

Vi vet att varje biljett kostar 249,50 kronor. Den totala kostnaden för två biljetter online är 645,00 kronor, vilket inkluderar onlineavgiften. Låt f representera kostnaden för att beställa en biljett online. Vi kan börja med att skapa en mening med den givna informationen.

Den totala kostnaden är två gånger kostnaden för en biljett plus två gånger kostnaden för att beställa varje biljett online.

Låt oss skriva om meningen som en ekvation med variabeln f.

Vi fann att en ekvation som representerar denna information är 645,00 = 2(249,50)+2f. Låt oss förenkla ekvationen genom att multiplicera termerna. 645,00 = 2(249,50)+ 2f ⇕ 645,00 = 499,00 + 2f

I Del A fann vi en ekvation som kan användas för att hitta kostnaden för att beställa varje biljett online f. 645,00 = 499,00 + 2 f Vi vill lösa ekvationen för f. Detta innebär att vi vill isolera f på ena sidan av ekvationen. Låt oss beakta subtraktionslikhetsegenskapen.

Subtraktionslikhetsegenskapen |- Om du subtraherar samma tal från varje sida av en ekvation, förblir de två sidorna lika.

Låt oss subtrahera 499,00 från varje sida av ekvationen.

Nu kan vi tillämpa divisionslikhetsegenskapen och dividera båda sidor av ekvationen med 2.

Lösningen på ekvationen är f = 73,00. Detta innebär att onlineavgiften för att köpa en biljett online är 73,00 kronor.

Vi vet att den totala kostnaden för två biljetter och deras onlineavgifter är 645,00 kronor. Kostnaden för en biljett är 249,50 kronor. I Del B fann vi att kostnaden för att beställa en biljett online är 73,00 kronor. För att hitta den totala kostnaden för att beställa tre biljetter online, adderar vi kostnaden för en biljett och onlineavgiften för en biljett till den totala kostnaden för två biljetter. 645,00 + 249,50 + 73,00 = 967,50 Den totala kostnaden för att beställa tre biljetter online är 967,50 kronor.

En filmuthyrningsklubb tar ut en engångsavgift på

250

kronor för att gå med och

20

kronor för varje film som hyrs. Vilken ekvation representerar kostnaden för att gå med i klubben och hyra ett valfritt antal filmer?

A B C D c = 20 + 250 m c = 20 m c = 250 + 20 m c = 250 m

Vi vet att en filmuthyrningsklubb tar ut en engångsavgift på 250 kronor för att gå med och 20 kronor för varje film som hyrs. Vi vill skriva en ekvation som kan användas för att hitta den totala kostnaden för att gå med i klubben och hyra valfritt antal filmer. Låt oss börja med att skapa en mening med den givna informationen.

Den totala kostnaden är kostnaden för att gå med i klubben plus kostnaden för en filmuthyrning gånger antalet filmer som hyrs.

Låt oss nu definiera variablerna. Låt c representera den totala kostnaden och m representera antalet filmer som hyrs. Låt oss skriva om meningen som en ekvation med hjälp av dessa variabler.

Vi fann att en ekvation som illustrerar denna situation är c = 25 + 2m. Detta motsvarar alternativ C.

Tolka funktioner

Förkunskaper

Funktioner som modeller

Vilken funktion beskriver situationen bäst?

Ledtråd

Lösning

Identifiera funktioner

Tolka grafer

Tolka grafen

Svar