Logga in
| 4 sidor teori |
| 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
För att beskriva verkliga fenomen (t.ex. hur en kropp svalnar och planeternas hastighet kring solen) kan man använda funktioner:
Grafer används ofta för att beskriva verkliga situationer. Grafen nedan verkar beskriva något förlopp, men det är svårt att avgöra vad.
För att kunna tolka grafen behöver man kunna besvara följande frågor:
Grafen beskriver en bilresa. Beskriv hur bilen rörde sig under färden.
Mängden pengar i plånboken kan inte bli negativ, så modellen kan bara gälla fram tills pengarna tar slut. Det sker när y=0. Läser vi av denna punkt i grafen ser vi att det sker då x=4, alltså efter fyra timmar.
Vi kan sätta in y=0 i funktionen och lösa ut x för att få samma svar.
Nils får alltså slut på pengar redan efter fyra timmar.
Vilken funktion beskriver scenariot bäst? Para ihop med linjär-, exponential- eller potensfunktion.
A. Antal bakterier i en bakteriekultur.Vi undersöker funktionerna i tur och ordning.
Linjära funktioner förändras med ett fast värde. Ett exempel är taxiresor, där du vanligen betalar en framkörningsavgift och sedan ett fast pris per km eller minut utöver det. Om du cyklar med konstant hastighet kommer avståndet till skolan att minska lika mycket med ett fast antal meter varje minut. C och D beskrivs alltså med linjära funktioner.
Exponentialfunktioner beskriver upprepade procentuella förändringar. En bakterie kan bilda 1 ny bakterie genom att dela sig. När dessa två delar sig bildas 2 nya. Då har vi fyra bakterier, som delar sig till 4 nya, sedan blir det 8 nya, 16 nya osv. Detta är ett exponentiellt förlopp, där det totala antalet bakterier fördubblas. På liknande sätt ökar kapitalet på ett räntekonto med samma procentsats hela tiden. A och E beskrivs alltså med exponentialfunktioner.
Potensfunktioner beskriver t.ex. kvadratiska och kubiska samband. Kubens volym V beskrivs av tredjegradsfunktionen V=s^3 om s är sidan, så B beskrivs bäst med en potensfunktion.
Grafen visar hur Benrik cyklar till jobbet en morgon.
Benrik cyklar som snabbast när grafen är brantast. Ju brantare graf desto längre sträcka cyklar hon under en given tidsperiod vilket betyder att hon håller en högre hastighet. Från grafen ser vi att hon cyklar som snabbast i mellan t=10 och t=15.
Genomsnittshastigheten för hela cykelturen beräknar vi genom att dela den totala resvägen med den totala tiden det tog att cykla till arbetsplatsen. Vi har redan konstaterat att det tog Benrik 40 minuter att cykla 10 kilometer till jobbet. Genomsnittshastigheten blir alltså
v=10km/40min=0.25 km/min.
Nalle Puh samlar honungsburkar i sin källare. Just nu finns det 15 honungsburkar, men han tänker ställa in 2 nya varje vecka.
Nalle Puh har ett antal burkar till att börja med: 15 st. Sedan ökar han antalet med ett fast värde: 2 per vecka. Detta beskrivs bäst av en linjär funktion på formen y=kx+m där m-värdet är 15 och k-värdet är 2. Vi skriver alltså funktionen y=2x+15, där y är antal burkar efter x veckor.
Det går 52 veckor på ett år så vi sätter in detta i funktionsuttrycket och beräknar.
Nalle Puh kommer att ha hela 119 burkar i sin källare! Hoppas han inte äter alla på en gång, för då kommer han få magknip.
Antalet burkar y ska alltså vara 1000. Vi likställer funktionen med 1000 och löser ut x.
Det tar alltså nästan 493 veckor eller 49352 ≈ 9.5 år, för Nalle Puh att samla så mycket honung.
Lisa åker moped till sitt lantställe. Grafen beskriver hur mycket som finns i bensintanken efter x km.
När körde Lisa som fortast om du vet att bensinförbrukningen ökar desto fortare man kör?Ju mer negativ grafens lutning är desto större är bränsleförbrukningen (antalet liter bensin minskar ju snabbare). Vi bestämmer skillnaden i x- och y-led i grafen när Lisa kör och jämför därefter lutningarna.
Grafens lutning före och efter Lisa har tankat är k=- 2/30≈- 0.07 och k=- 2/20=- 0.1 Lutningen är alltså mer negativ efter Lisa har tankat vilket innebär att hon då kör snabbare den sista biten dvs. i intervallet 30< x< 50.
Det är lagligt för Anna-Lisa att köra om koncentrationen alkohol i hennes blod är under 0.2 promille. För att hitta tidpunkten då koncentrationen är 0.2 promille sätter vi in y = 0.2 i funktionen och löser ut x.
Alkoholnivån har sjunkit till 0.2 promille 10 timmar efter midnatt. Om man kan lita på funktionen så måste hon alltså vänta till efter klockan 10 på morgonen nästa dag för att kunna köra bil.