7. Tolka funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
7.
Tolka funktioner
Lektionen fokuserar på att tolka funktioner och hur de kan användas för att beskriva verkliga fenomen. Den förklarar olika typer av funktioner som linjära, exponentiala och potensfunktioner, och hur de kan användas för att modellera olika situationer. Till exempel, en exponentialfunktion kan beskriva hur mycket pengar som finns på ett sparkonto med en viss ränta, medan en linjär funktion kan beskriva antalet honungsburkar som samlas över tid. Sidan innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man tolkar grafer och använder funktioner i praktiska sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Tolka funktioner
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Funktioner som modeller
- Tolka grafer
Förkunskaper
Teori
Funktioner som modeller
För att beskriva verkliga fenomen (t.ex. hur en kropp svalnar och planeternas hastighet kring solen) kan man använda funktioner:
| Funktioner | Beskrivning |
|---|---|
| Linjära funktioner | har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden. |
| Exponentialfunktioner | förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden. |
| Potensfunktioner | ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion. |
Exempel
Vilken funktion beskriver situationen bäst?
Du har 10000 kr på ett sparkonto med 2% årsränta. Vilken funktion beskriver bäst hur mycket pengar det finns efter x år?
{"type":"choice","form":{"alts":["Linj\u00e4ra funktion","Exponentialfunktion","Potensfunktion"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Kom ihåg hur funktioner används som modeller.
Lösning
Efter ett år får du räntan 0,02⋅10000=200 kr. Är det lämpligt att t.ex. använda en linjär modell där det fasta beloppet 200 kr läggs till varje år, dvs.</translate>
y=10000+200x?
Nej, detta stämmer dåligt överens med verkligheten, eftersom ränta betalas ut procentuellt utifrån hur mycket pengar som finns på kontot. Beloppet ökar inte med lika många kronor varje år, utan med lika många procent. Det betyder att en exponentialfunktion är en bättre beskrivning av den här situationen:
y=10000⋅1,02x.
Detta är en förenklad modell med vissa begränsningar. Den kommer alltså inte nödvändigtvis att stämma helt överens med verkligheten. Man kanske tar ut eller sätter in pengar, eller kanske banken ändrar räntan.
Övning
Identifiera funktioner
Med tanke på definitionerna av en exponentiell funktion, en potensfunktion och en linjär funktion, identifiera funktionerna som ges av följande värdetabeller.
Teori
Tolka grafer
Grafer används ofta för att beskriva verkliga situationer. Grafen nedan verkar beskriva något förlopp, men det är svårt att avgöra vad.
För att kunna tolka grafen behöver man kunna besvara följande frågor:
- Vad representerar x- och y-axeln?
- Vilka enheter står på axlarna?
- För vilka intervall är grafen ritad?
Exempel
Tolka grafen
Grafen beskriver en bilresa. Beskriv hur bilen rörde sig under färden.
Svar
Se lösning.
Ledtråd
Bestäm k-värde med hjälp av x-avskärningen och en given punkt på funktionen. Förklara sedan dess betydelse.
Lösning
Vi kan börja med att ta reda på hur fort föraren körde. Detta kan vi ta reda på genom två olika sätt. Vi ser att efter en timme, dvs. då x=1, har bilen färdats 50 km. Efter ytterligare en timme har den kommit 50 km till, dvs. 100 km. Bilens hastighet var alltså
Grafens k-värde blir alltså
50 km/h.
Ett annat sätt är att vi väljer origo och en till punkt på grafen, t.ex. (6,300). k=6−0300−0=50.
Vi kan dra slutsatsen att i en sträcka-tid-graf (st-graf) motsvarar lutningen bilens fart. Man kan komma ihåg det genom att titta på enheterna på axlarna. För att ta fram k utförde vi divisionen
k=6 h300 km=50km/h.
Eftersom lutningen är samma genom hela grafen så bilen höll konstant fart genom hela färden. Bilen färdades alltså med konstant fart i 50km/h i 7 timmar.
Tolka funktioner
Övningar
Vilken funktion beskriver scenariot bäst? Para ihop med linjär-, exponential- eller potensfunktion.
A. Antal bakterier i en bakteriekultur.B. Volymen av en kub da¨r sidan o¨kar.C. Kostnaden fo¨r en taxiresa.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"}],[{"id":0,"text":"Exponentialfunktion"},{"id":1,"text":"Potensfunktion"},{"id":2,"text":"Linj\u00e4r funktion"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
security
report
code
security
report
code
Vi undersöker funktionerna i tur och ordning.
Linjär funktion
Linjära funktioner förändras med ett fast värde. Ett exempel är taxiresor, där du vanligen betalar en framkörningsavgift och sedan ett fast pris per km eller minut utöver det. Om du cyklar med konstant hastighet kommer avståndet till skolan att minska lika mycket med ett fast antal meter varje minut. C beskrivs alltså med linjära funktioner.
Exponentialfunktion
Exponentialfunktioner beskriver upprepade procentuella förändringar. En bakterie kan bilda 1 ny bakterie genom att dela sig. När dessa två delar sig bildas 2 nya. Då har vi fyra bakterier, som delar sig till 4 nya, sedan blir det 8 nya, 16 nya osv. Detta är ett exponentiellt förlopp, där det totala antalet bakterier fördubblas. På liknande sätt ökar kapitalet på ett räntekonto med samma procentsats hela tiden. A beskrivs alltså med exponentialfunktioner.
Potensfunktion
Potensfunktioner beskriver t.ex. kvadratiska och kubiska samband. Kubens volym V beskrivs av tredjegradsfunktionen V=s^3 om s är sidan, så B beskrivs bäst med en potensfunktion.
security
report
code
Grafen visar hur Benrik cyklar till jobbet en morgon.
A. B. C. D. 10<t<1010<t<1515<t<3030<t<40
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km\/min","answer":{"text":["0,25"]}}
security
report
code
security
report
code
Benrik cyklar som snabbast när grafen är brantast. Ju brantare graf desto längre sträcka cyklar hon under en given tidsperiod vilket betyder att hon håller en högre hastighet. Från grafen ser vi att hon cyklar som snabbast i mellan t=10 och t=15.
Genomsnittshastigheten för hela cykelturen beräknar vi genom att dela den totala resvägen med den totala tiden det tog att cykla till arbetsplatsen. Från grafen kan vi se att det tog 40 minuter att komma fram till jobbet, och den färdade sträckan var 10 kilometer. Genomsnittshastigheten blir alltså
v=10km/40min=0,25 km/min.
security
report
code
Lisa åker moped till sitt lantställe. Grafen beskriver hur mycket som finns i bensintanken efter x km.
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7500375em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><span class=\"mord textbf\">.\u00a0<\/span><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\"><<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\"><<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7500375em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><span class=\"mord textbf\">.\u00a0<\/span><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\"><<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\"><<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Ju mer negativ grafens lutning är desto större är bränsleförbrukningen (antalet liter bensin minskar ju snabbare). Vi bestämmer skillnaden i x- och y-led i grafen när Lisa kör och jämför därefter lutningarna.
Grafens lutning före och efter Lisa har tankat är k=- 2/30≈- 0.07 och k=- 2/20=- 0.1 Lutningen är alltså mer negativ efter Lisa har tankat vilket innebär att hon då kör snabbare den sista biten dvs. i intervallet 30< x< 50.
security
report
code
På midsommarafton dricker Anna-Lisa 6 starköl, vilket gör att vid midnatt är koncentrationen alkohol i hennes blod 1,3 promille. Alkoholkoncentrationen sjunker sedan enligt funktionen
y=1,3−0,11x,
där x är antalet timmar efter midnatt. I Sverige är gränsen för rattfylla 0,2 promille. Givet att man kan lita på funktionen, hur många timmar efter midnatt är det som tidigast lagligt för Anna-Lisa att köra hem?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"efter","formTextAfter":"timmar","answer":{"text":["10"]}}
security
report
code
security
report
code
Det är lagligt för Anna-Lisa att köra om koncentrationen alkohol i hennes blod är under 0,2 promille. För att hitta tidpunkten då koncentrationen är 0,2 promille sätter vi in y = 0,2 i funktionen och löser ut x.
Alkoholnivån har sjunkit till 0,2 promille 10 timmar efter midnatt. Om man kan lita på funktionen så måste hon alltså vänta till efter klockan 10 på morgonen nästa dag för att kunna köra bil.
security
report
code
Tolka funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll