Tolka funktioner: Bestämma funktion

Funktioner	Beskrivning
Linjära funktioner	har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden.
Exponentialfunktioner	förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden.
Potensfunktioner	ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion.

Funktioner

Beskrivning

har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden.

förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden.

ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion.

Vi har en upprepad procentuell förändring, där förändringsfaktorn är okänd. Vi kan då använda en potensfunktion. Vi vet att startvärdet är K och att tiden är T, vilket ger oss y=K* x^T där förändringsfaktorn är x. Men vad är x i vårt fall, om räntan är a %? Om vi visste att räntan var t.ex. 2 % och ville skriva det som en förändringsfaktor, så skulle vi addera 100 så att vi fick 102 %, och sedan dividera med 100 för att få decimaltalet 1,02. Nu gör vi detta fast med räntesatsen a: f.f.=a+100/100. Nu sätter vi in detta i potensfunktionen: y=K *(a+100/100)^T där y är den summa pengar som finns på kontot efter denna tid om räntan är a %.

Nu är det förändringsfaktorn som är känd. Resonerar vi på samma sätt som i förra deluppgiften får vi funktionsuttrycket y=K * b^T, där y är den summa pengar som finns på kontot efter tiden T. Hur förhåller sig då räntan till förändringsfaktorn? Vi likställer b med bråket vi tog fram i förra deluppgiften och löser ut a.

Om förändringsfaktorn är b blir alltså räntan (100b-100) %.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$0$	$2$	$6$	$12$	$20$	$30$

x

0

1

2

3

4

5

f (x)

0

2

6

12

20

30

Vi ritar upp grafen till funktionen genom att sätta in punkterna.

Vi tittar på de funktionstyper vi har lärt oss hittills: linjär funktion, potensfunktion och exponentialfunktion. Vi kan inte dra en rät linje genom punkterna så vi kan utesluta en linjär funktion. Är det en potens- eller exponentialfunktion? Grafen går genom origo, och en exponentialfunktion får aldrig anta värdet noll enligt villkoren för exponentialfunktionen. Slutsatsen är att det bör vara en potensfunktion, men det kan också vara en polynomfunktion.

Vi kan börja med att gissa på två potensfunktioner, y=x^2 och y=x^3, och beräknar några y-värden.

x	y=x^2	y=x^3
0	0	0
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125

Låt oss jämföra den ursprungliga värdetabellen med funktionsvärdena för y=x^2 och y=x^3.

x	f(x)	y=x^2	y=x^3
0	0	0	0
1	2	1	1
2	6	4	8
3	12	9	27
4	20	16	64
5	30	25	125

x^3-funktionen ger för höga värden efter ett tag. Man kan säga att den sticker iväg. x^2-funktionens värden håller sig däremot i samma storleksordning. Om vi ändrar lite på den kanske vi kan hitta funktionsuttrycket. Vi tittar på skillnaden mellan f(x) och y=x^2.

x	f(x)	y=x^2	Skillnad
0	0	0	0
1	2	1	1
2	6	4	2
3	12	9	3
4	20	16	4
5	30	25	5

Nu ser vi att skillnaden är x för varje värde. Om vi lägger till x till x^2 kommer det att stämma med vår ursprungliga funktion f(x). Funktionsuttrycket är alltså f(x)=x^2+x.

Tolka funktioner

Förkunskaper

Funktioner som modeller

Vilken funktion beskriver situationen bäst?

Ledtråd

Lösning

Identifiera funktioner

Tolka grafer

Tolka grafen

Svar

Ledtråd

Lösning

Tolka funktioner

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.