DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
7. Tolka funktioner
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 6
7. 

Tolka funktioner

Lektionen fokuserar på att tolka funktioner och hur de kan användas för att beskriva verkliga fenomen. Den förklarar olika typer av funktioner som linjära, exponentiala och potensfunktioner, och hur de kan användas för att modellera olika situationer. Till exempel, en exponentialfunktion kan beskriva hur mycket pengar som finns på ett sparkonto med en viss ränta, medan en linjär funktion kan beskriva antalet honungsburkar som samlas över tid. Sidan innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man tolkar grafer och använder funktioner i praktiska sammanhang.

Visa mer expand_more
6 sidor teori
25 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Tolka funktioner
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Funktioner som modeller
  • Tolka grafer

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Teori

Funktioner som modeller

För att beskriva verkliga fenomen (t.ex. hur en kropp svalnar och planeternas hastighet kring solen) kan man använda funktioner:

Funktioner Beskrivning
Linjära funktioner har konstant lutning och är bra att använda om något ökar eller minskar lika mycket hela tiden.
Exponentialfunktioner förändras med samma faktor hela tiden och är passande om något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden.
Potensfunktioner ser väldigt olika ut beroende på vilket gradtal de har, men andragradsfunktioner kan bl.a. användas för att beskriva fritt fall och s.k. svartkroppsstrålning beskrivs av en fjärdegradsfunktion.
Med modellerna kan man göra uppskattningar om vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
Exempel

Vilken funktion beskriver situationen bäst?

Du har 10 000 kr på ett sparkonto med 2 % årsränta. Vilken funktion beskriver bäst hur mycket pengar det finns efter x år?

Ledtråd
Kom ihåg hur funktioner används som modeller.

Lösning
Efter ett år får du räntan 0,02*10 000=200 kr. Är det lämpligt att t.ex. använda en linjär modell där det fasta beloppet 200 kr läggs till varje år, dvs.</translate> y=10 000+200x? Nej, detta stämmer dåligt överens med verkligheten, eftersom ränta betalas ut procentuellt utifrån hur mycket pengar som finns på kontot. Beloppet ökar inte med lika många kronor varje år, utan med lika många procent. Det betyder att en exponentialfunktion är en bättre beskrivning av den här situationen: y=10 000 * 1,02^x. Detta är en förenklad modell med vissa begränsningar. Den kommer alltså inte nödvändigtvis att stämma helt överens med verkligheten. Man kanske tar ut eller sätter in pengar, eller kanske banken ändrar räntan.
Övning

Identifiera funktioner

Med tanke på definitionerna av en exponentiell funktion, en potensfunktion och en linjär funktion, identifiera funktionerna som ges av följande värdetabeller.

identifiera funktioner
Teori

Tolka grafer

Grafer används ofta för att beskriva verkliga situationer. Grafen nedan verkar beskriva något förlopp, men det är svårt att avgöra vad.

För att kunna tolka grafen behöver man kunna besvara följande frågor:

  • Vad representerar x- och y-axeln?
  • Vilka enheter står på axlarna?
  • För vilka intervall är grafen ritad?
Om x-axeln anger tid i veckor och y-axeln anger tusental, skulle grafen kunna beskriva antal exemplar en nystartad tidning säljer över tid.
Exempel

Tolka grafen

Grafen beskriver en bilresa. Beskriv hur bilen rörde sig under färden.

Svar
Se lösning.

Ledtråd
Bestäm k-värde med hjälp av x-avskärningen och en given punkt på funktionen. Förklara sedan dess betydelse.

Lösning
Vi kan börja med att ta reda på hur fort föraren körde. Detta kan vi ta reda på genom två olika sätt. Vi ser att efter en timme, dvs. då x=1, har bilen färdats 50 km. Efter ytterligare en timme har den kommit 50 km till, dvs. 100 km. Bilens hastighet var alltså 50 .km /h.. Ett annat sätt är att vi väljer origo och en till punkt på grafen, t.ex. (6,300).

Grafens k-värde blir alltså k=300-0/6-0=50. Vi kan dra slutsatsen att i en sträcka-tid-graf (st-graf) motsvarar lutningen bilens fart. Man kan komma ihåg det genom att titta på enheterna på axlarna. För att ta fram k utförde vi divisionen k=300 km/6 h=50 .km /h.. Eftersom lutningen är samma genom hela grafen så bilen höll konstant fart genom hela färden. Bilen färdades alltså med konstant fart i 50.km /h. i 7 timmar.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Tolka funktioner
Uppgift 4.1
På ett sparkonto finns vid ett visst tillfälle K kr. Pengarna förvaras på kontot i T år utan att några pengar tas ut eller sätts in. K och T är konstanter. Ställ upp ett funktionsuttryck för hur pengarna y på bankkontot ökar under denna tid om årsräntan är a %.

Om förändringsfaktorn är b, hur stor blir då årsräntan?

Vi har en upprepad procentuell förändring, där förändringsfaktorn är okänd. Vi kan då använda en potensfunktion. Vi vet att startvärdet är K och att tiden är T, vilket ger oss y=K* x^T där förändringsfaktorn är x. Men vad är x i vårt fall, om räntan är a %? Om vi visste att räntan var t.ex. 2 % och ville skriva det som en förändringsfaktor, så skulle vi addera 100 så att vi fick 102 %, och sedan dividera med 100 för att få decimaltalet 1,02. Nu gör vi detta fast med räntesatsen a: f.f.=a+100/100. Nu sätter vi in detta i potensfunktionen: y=K *(a+100/100)^T där y är den summa pengar som finns på kontot efter denna tid om räntan är a %.


Nu är det förändringsfaktorn som är känd. Resonerar vi på samma sätt som i förra deluppgiften får vi funktionsuttrycket y=K * b^T, där y är den summa pengar som finns på kontot efter tiden T. Hur förhåller sig då räntan till förändringsfaktorn? Vi likställer b med bråket vi tog fram i förra deluppgiften och löser ut a.


Om förändringsfaktorn är b blir alltså räntan (100b-100) %.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En funktion y=f(x) beskrivs av värdetabellen nedan.

x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0 2 6 12 20 30
Analysera grafens utseende och avgör vilka av följande funktionstyper som den kan vara.

Bestäm funktionsuttrycket.

Vi ritar upp grafen till funktionen genom att sätta in punkterna.

Vi tittar på de funktionstyper vi har lärt oss hittills: linjär funktion, potensfunktion och exponentialfunktion. Vi kan inte dra en rät linje genom punkterna så vi kan utesluta en linjär funktion. Är det en potens- eller exponentialfunktion? Grafen går genom origo, och en exponentialfunktion får aldrig anta värdet noll enligt villkoren för exponentialfunktionen. Slutsatsen är att det bör vara en potensfunktion, men det kan också vara en polynomfunktion.


Vi kan börja med att gissa på två potensfunktioner, y=x^2 och y=x^3, och beräknar några y-värden.

x y=x^2 y=x^3
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125

Låt oss jämföra den ursprungliga värdetabellen med funktionsvärdena för y=x^2 och y=x^3.

x f(x) y=x^2 y=x^3
0 0 0 0
1 2 1 1
2 6 4 8
3 12 9 27
4 20 16 64
5 30 25 125

x^3-funktionen ger för höga värden efter ett tag. Man kan säga att den sticker iväg. x^2-funktionens värden håller sig däremot i samma storleksordning. Om vi ändrar lite på den kanske vi kan hitta funktionsuttrycket. Vi tittar på skillnaden mellan f(x) och y=x^2.

x f(x) y=x^2 Skillnad
0 0 0 0
1 2 1 1
2 6 4 2
3 12 9 3
4 20 16 4
5 30 25 5

Nu ser vi att skillnaden är x för varje värde. Om vi lägger till x till x^2 kommer det att stämma med vår ursprungliga funktion f(x). Funktionsuttrycket är alltså f(x)=x^2+x.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Tolka funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y