Talet e

För att utvärdera det givna uttrycket för x = 12 och y = 34 bör vi sätta in dessa värden i uttrycket och förenkla så mycket som möjligt.

För att beräkna uttrycket behöver vi bara slå in det på räknaren. Det gör vi med hjälp av knappen LN på räknaren, som skriver ut ln samt börjar en parentes. Efter det skriver vi in 11, avslutar parentesen och trycker på ENTER.

Vi avrundar sedan detta, vilket ger 2,40.

Vi gör på samma sätt med det här uttrycket och skriver in det på räknaren.

Efter vi har avrundat detta får vi 18,63.

Den här gången måste vi även dividera logaritmen med 2, men annars gör vi på samma sätt.

Avrundat blir detta 5,96.

Som i de tidigare uppgifterna skriver vi in uttrycket på räknaren.

Till slut avrundar vi detta till - 2,30.

ln(35) är det tal man ska höja upp e till för att det ska bli 35. Om man då höjer upp e till ln(35) får man därför 35, dvs. e^(ln(35))=35. Man använder alltså sambandet e^(ln(a))= a.

ln(e^7) är det tal man ska höja upp e till för att det ska bli e^7. Det måste ju vara 7. Därför är ln(e^7)=7. Man använder alltså sambandet ln(e^a) = a.

Här använder vi samma princip som i a-uppgiften. e upphöjt till och ln tar ut varandra, vilket betyder att e^(ln(2 935))=2 935.

Vi fortsätter på samma sätt. Det spelar ingen roll att det är ett decimaltal i exponenten: ln(e^(3,14))=3,14.

Vi får veta att Latoyas gratulationskortsföretag tillverkar kuvert för ett kort från ett mönster och vi vill hitta omkretsen och arean av detta mönster. Låt oss ta en titt på diagrammet. Alla mått är i tum.

För att hitta mönstrets omkrets måste vi hitta längden på de saknade sidorna, som är benen i en likbent triangel. Lägg märke till att höjden i en likbent triangel är en vinkelrät bisektris av basen. Låt l representera längden på benet.

Lägg nu märke till att vi kan hitta l med hjälp av Pythagoras sats. Kom ihåg att eftersom l måste vara positivt kommer vi bara att beakta det positiva fallet när vi tar kvadratroten ur l^2.

Längden på de saknade sidorna är ungefär 3,83 tum. Låt oss lägga till denna information i vårt diagram.

Eftersom vi nu har alla sidlängder på vårt mönster kan vi beräkna omkretsen. Vi kommer att addera alla sidlängder. P=2( 3,83)+4( 1/8)+4(4)+ 5,5 ⇓ P≈ 29,7 Mönstrets omkrets är ungefär 29,7 tum. Slutligen kan vi beräkna arean av vårt mönster. Lägg märke till att denna area kommer att vara summan av triangelns area och arean av de två paren av kongruenta rektanglar. {| class="mltable" ! 1h ! 2h ! Resultat |- | 1 | 2 | class="true" | Ja |- | 1 | 2 | class="false" | Nej |} Låt oss beräkna arean med hjälp av lämpliga formler. A=1/2( 2 23)( 5,5)+2( 4)( 5,5)+2( 1/8)( 4) ⇓ A≈ 52,3 Mönstrets area är ungefär 52,3 kvadrattum.

Nu vet vi att Latoya beställer pappersark som är 2 fot gånger 4 fot och vi vill beräkna antalet kuvert hon kan göra per ark. Låt oss först omvandla fot till tum för att ha arkets dimensioner i samma enhet som kuvertets dimensioner. 2ft* 4ft 2* 12in.* 4* 12in. 24in.* 48in. För att hitta antalet kuvert hon kan göra per ark kommer vi att dividera arkets bredd med kuvertets bredd och arkets längd med kuvertets längd. Låt oss ta en titt på vårt diagram och beräkna bredden och längden på vårt mönster.

Nu ska vi beräkna kvoterna. Lägg märke till att vi kommer att avrunda våra resultat till de närmaste heltal som inte är större än dessa tal. Bredd:& 24/5,75≈ 4 Längd:& 48/10,67≈ 4 Detta innebär att vi kan få plats med 4 mönster i varje kolumn och 4 mönster i varje rad på arket. Därför kan Latoya göra 4* 4 = 16 kuvert per ark.

Vi sätter in x = 6 i funktionsuttrycket och förenklar.

Man kan inte förenkla detta vidare, vilket innebär att vi måste ha e kvar i uttrycket om man ska svara exakt. Vi får alltså det exakta svaret f(6) = e^(12).

Vi gör på samma sätt med den här funktionen.

På liknande sätt som i förra deluppgiften måste vi använda ln för att skriva svaret exakt. Svaret är alltså f(6) = ln(14).

Vi sätter in x = 6 och förenklar igen.

Vi vill avgöra om de två kropparna har samma volym. Låt oss betrakta det givna diagrammet!

Lägg märke till att kroppen till vänster är ett rektangelbaserat prisma och att kroppen till höger är en rektangelbaserad pyramid. Vi kan använda denna information för att avgöra om de två kropparna har samma volym i tre steg.

1. Beräkna prismans volym.
2. Beräkna pyramidens volym.
3. Jämför volymerna.

Vi kan göra vart och ett av dessa steg ett i taget.

Prismans volym

Först kan vi komma ihåg formeln för volymen av ett prisma. V=Bh Nu kan vi titta på prismat i vårt diagram!

Lägg märke till att vårt prisma har en rektangulär bas med sidolängder på x enheter och y enheter. Vi kan också se att prismat har höjden z enheter. Först kan vi beräkna basytan med hjälp av formeln för arean av en rektangel.

Prismats bas har arean xy kvadratenheter. Slutligen kan vi ersätta xy med B och z med h i vår formel.

Prismat har volymen xyz kubikenheter.

Pyramidens volym

Först kan vi komma ihåg formeln för volymen av en pyramid. V=1/3Bh Nu kan vi titta på pyramiden i vårt diagram!

Lägg märke till att vår pyramid har en rektangulär bas med sidolängder på x enheter och y enheter. Vi kan också se att pyramiden har höjden 3z enheter. Först kan vi beräkna basytan med hjälp av formeln för arean av en rektangel.

Pyramidens bas har arean xy kubikfot. Slutligen kan vi ersätta xy med B och 3z med h i vår formel.

Pyramiden har volymen xyz kubikenheter.

Jämförelse

Slutligen kan vi jämföra prismats volym, xyz kubikenheter, och pyramidens volym, xyz kubikenheter. xyz = xyz De två kropparna har samma volym.

Vi vill hitta vikten av tio konformade isbitar. Vi vet att varje isbit kan göras med hjälp av en form. Formen har en radie på 1,5 tum och en höjd på 2 tum. Låt oss rita formen!

Vi börjar med att hitta formens volym. Kom ihåg att volymen av en kon med radien r och höjden h kan beräknas med följande formel. V=1/3π r^2 h I det här fallet är konens radie 1,5 tum och höjden är 2 tum. Vi kan sätta in höjden och radien i formeln och beräkna konens volym.

Formens volym är ungefär 4,7 kubiktum. Därför har varje isbit en volym på ungefär 4,7 kubiktum. Låt oss nu beräkna volymen av 10 isbitar! 4,7(10)=47 Vi fick att 10 isbitar har en volym på 47 kubiktum. Med vetskapen om att en kubiktum är ungefär 0,55 uns, kan vi hitta vikten av 10 isbitar. 47(0,55) = 25,85 ≈ 25,9 Därför väger 10 isbitar ungefär 25,9 uns.

För att få x ensamt kan vi logaritmera båda led med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att ln och e upphöjt till tar ut varandra på motsvarande sätt som lg och 10 upphöjt till tar ut varandra då man löser exponentialekvationer med basen 10.

Lösningen till ekvationen är x=ln(4). Vi skulle kunna beräkna logaritmen med räknaren, men eftersom vi ska svara exakt behåller vi svaret som det är.

Vi gör på samma sätt här, men innan vi logaritmerar måste vi få e^x ensamt genom att dividera båda led med 7.

Ekvationens lösning är alltså x=ln(7).

För att lösa ut x sätter vi båda led som exponenter på basen e.

Lösningen är x=e^2 och kan avrundas till 7,39.

Innan vi kan sätta båda led som exponenter på basen e löser vi ut ln(x) genom att dela båda sidor med 3.