System av olikheter: Områden mellan kurvor

Definierar de två systemen av olikheter

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ y \leq - x + 4 x \geq 0 y \geq 0 och ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ y \leq - x + 4 y \leq x + 5 x \geq 0 y \geq 0

samma område? Motivera!

Skillnaden mellan de två systemen av olikheter är att den innehåller en extra olikhet, y ≤ x + 5. För att se hur den påverkar området som definieras av olikheterna börjar vi med att rita ut de som är gemensamma. Först ritar vi ut x ≥ 0 och y ≥ 0, som begränsar området till första kvadranten.

Sedan lägger vi till y ≤ - x + 4, genom att rita den räta linjen y = - x + 4 och markera området under den. Det område som begränsas av alla olikheter blir då en triangel.

Detta är området som definieras av det första systemet av olikheter. Vi undersöker nu vad som händer när vi lägger till den extra olikheten som finns i det andra systemet, y ≤ x + 5. Vi ritar alltså ut den räta linjen y = x + 5 och markerar området under den.

Vi kan nu se att hela triangeln får plats inne i området där den nya olikheten gäller. Området som definieras av olikheterna begränsas alltså inte mer när man lägger till y ≤ x + 5, vilket innebär att man får precis samma resultat som för det första systemet av olikheter.

Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller följande system av olikheter.

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ y \geq x 2 x \leq y y + x < 3

Vi börjar med lösa ut y ur alla olikheter. Eftersom y står ensamt i de två första behöver vi endast lösa ut y ur den sista.

Nu ritar vi upp olikheterna en i taget. I den första olikheten ska y vara större än eller lika med x. Vi ritar därför funktionen y=x heldragen och markerar området ovanför linjen.

I den andra olikheten ska y vara mindre än eller lika med 2x så vi ritar även funktionen till y=2x heldragen och markerar området nedanför linjen.

Till sist ritar vi y < 3-x och eftersom olikheten är strikt streckas linjen. y ska vara mindre än 3-x så vi markerar området nedanför funktionen.

De punkter som uppfyller alla olikheter är de som överlappas av alla områden.

Avgör vilka av punkterna

(0, 0),

(4, - 1),

(- 1, 3)

och

(3, - 1)

som ingår i området definierat av olikheten

9 y + 3 > 15 - 7 x .

För att kontrollera om en punkt ingår i ett område som definieras av en olikhet kan man sätta in punktens x- och y-koordinater i olikheten och se om den är uppfylld. Stämmer olikheten ingår punkten i området och om den inte stämmer ingår inte punkten. Vi börjar med att kontrollera (0,0).

Vänsterledet 3 är inte större än högerledet 15, vilket innebär att punkten (0,0) inte ingår i området som definieras av olikheten. Vi går vidare och gör samma sak med (4, -1).

Talet -6 är större än -13, vilket innebär att olikheten stämmer. Det betyder att punkten (4, -1) ingår i området. Vi kontrollerar sedan nästa punkt, (-1,3).

Vänsterledet är även denna gång större än högerledet, så olikheten stämmer och punkten (-1,3) ingår alltså i området. Till sist testar vi punkten (3, -1)

I det här fallet blir vänster- och högerleden lika stora. Olikheten är dock strikt, och -6 är ju inte större än -6, så den är inte uppfylld. Grafisk kan detta tolkas som att punkten ligger på randen till området, men eftersom randen inte ingår gör inte punkten det heller. Skulle man rita ut området och de fyra punkterna skulle det se ut på följande sätt.

De punkter som ingår i området definierat av olikheten är alltså (4, -1) och (-1,3).

Skapa ett system av olikheter som beskriver det markerade området i koordinatsystemet.

Oregelbunden fyrhörning med två streckade sidor och två heldragna sidor.

För att beskriva området med olikheter behöver vi veta vilka linjer som ramar in området. Vi förlänger de streckade och heldragna sidorna till linjer och döper dem med A--D.

Vi behöver bestämma dessa linjers ekvationer, så vi går igenom dem en i taget.

Linje A

Linjen skär y-axeln i y=0 och har alltså m-värdet 0. Lutningen är k = 12, eftersom det tar 2 steg i x-led för grafen att höjas 1 steg. Ekvationen y = kx + m blir alltså y = x2. Området ligger på eller ovanför denna linje, vilket motsvarar olikheten y ≥ x/2.

Linje B

Linjen skär y-axeln i y=3, vilket ger m=3. Det tar 3 steg i x-led för grafen att höjas 1 ruta, vilket ger k = 13. Linjens ekvation är därför y = x3 + 3, och eftersom området ligger på eller under denna linje är det olikheten y ≤ x/3 + 3 som ska uppfyllas.

Linje C

Vi kan inte se var den här linjen skär y-axeln, men vi ser att på varje steg åt höger går den 3 steg uppåt. Den har alltså lutningen k=3. Linjens ekvation kan sedan bestämmas med enpunktsformen genom att sätta in t.ex. punkten (2,1) som linjen går genom.

Området ligger under denna linje. Eftersom linjen är streckad ska punkterna på linjen inte ingå, och därför blir olikheten strikt: y < 3x - 5.

Linje D

Inte heller här kan vi läsa av linjens m-värde, men lutningen kan listas ut. Vi kan se att det krävs 2 rutor i x-led för linjen att höjas 3 steg.

En lutning är skillnaden i höjdled delat på skillnaden i x-led, vilket ger k = 3/2 = 1,5. Vi använder detta i enpunktsformen tillsammans med punkten (4,2) som linjen går genom.

Linjen är streckad, så linjen själv ingår inte i området. Området ligger ovanför linjen, och därför använder vi olikheten y > 1,5x - 4. Nu kan vi sammanställa de olikheter vi hittat: y ≥ .x /2. y ≤ .x /3. + 3 y < 3x - 5 y > 1,5x - 4.

System av olikheter

Förkunskaper