3. System av olikheter
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
3.
System av olikheter
System av olikheter är en matematisk koncept som innebär två eller flera olikheter som ska gälla samtidigt. De illustreras ofta grafiskt i ett koordinatsystem, där olikheterna tillsammans definierar ett område där alla är uppfyllda samtidigt. Detta område kan ritas och markeras genom olika metoder. Först löser man ut variabler där det är möjligt, sedan ritar man olikheterna i ett koordinatsystem. Slutligen markerar man området som uppfyller alla olikheter. Detta kan även göras med digitala verktyg som räknare. Detta koncept används i olika matematiska sammanhang och är en viktig del av matematikundervisningen.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 10 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
System av olikheter
Sida av 4
Ett system av olikheter är två eller flera olikheter som ska gälla samtidigt. Exempelvis anger följande system av olikheter tre krav som ställs på de två variablerna som ingår, x och y.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y≤−0.5x+3y>1x≥0
System av olikheter illustreras ofta grafiskt i ett koordinatsystem, där olikheterna tillsammans definierar det område där alla är uppfyllda samtidigt. Metod
Rita område utifrån system av olikheter
Enskilda olikheter kan tolkas grafiskt som området över eller under en kurva i ett koordinatsystem. Genom att rita ut dessa områden för alla olikheter i ett system av olikheter kan man hitta det område som uppfyller alla samtidigt. Exempelvis kan man rita och markera området som representeras av
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x+y<7x+2y<10x≥2y≥1
med denna metod.
1
Lös ut y ur alla olikheter där det går
expand_more För att enklare kunna rita olikheterna löser man ut y ur de olikheter där det är möjligt. Den tredje olikheten innehåller inget y så den låter man vara.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x+y<7x+2y<10x≥2y≥1(I)(II)(III)(IV)
(I), (II): VL−x<HL−x
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y<−x+72y<−x+10x≥2y≥1
DivIneq
(II): VL/2<HL/2
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y<−x+7y<−0.5x+5x≥2y≥1
2
Rita olikheterna i ett koordinatsystem
expand_more För att rita en olikhet börjar man med randen. Om det är en strikt olikhet ritas en streckad linje och annars är den heldragen. Beroende på vilken sorts olikhet det är markerar man sedan området på ena eller andra sidan om linjen. I det här fallet kan man exempelvis börja med den tredje olikheten, som anger att x ska vara större än eller lika med 2, vilket motsvaras av området till höger om x=2.
Enligt den fjärde olikheten ska y vara större än eller lika med 1, vilket man markerar i samma koordinatsystem. Det mörkaste området anger då där båda villkoren är uppfyllda.
Olikheten y<−x+7 tolkas som området där y är mindre än värdet på y=−x+7 för ett visst x. Man börjar alltså med att rita ut linjen y=−x+7 och markerar sedan området under denna. Eftersom olikheten är strikt ritas linjen streckad.
På motsvarande sätt tolkas olikheten y<−0.5x+5 som området under den räta linjen y=−0.5x+5. Även detta område markeras i koordinatsystemet.
Det går även att genomföra det här steget genom att rita in olikheterna på en räknare.
3
Markera området som uppfyller alla olikheter
expand_more När alla olikheter är markerade har man hittat det område som uppfyller alla samtidigt. Det är det mörkaste området, dvs. området i figuren nedan.
Digitala verktyg
Rita olikhet på räknare
För att rita en olikhet på räknare börjar man på samma sätt som när man ritar en graf på räknare. Vill man t.ex. rita olikheten y≤−x+5 trycker man på knappen Y= och skriver in −x+5.
Därefter använder man vänsterpilen för att markera ikonen som står före Y1. Med ENTER-knappen kan man bläddra mellan olika alternativ.
Om man har en "mindre än"-olikhet väljer man ikonen som visar skugga under graf, har man en "större än"-olikhet väljer man den som visar skugga över graf.
För att rita upp olikheten trycker man på GRAPH. Om den inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Digitala verktyg
Rita system av olikheter
Trycker man nu på GRAPH kommer alla olikheter man skrivit in att ritas upp, och områdena kommer att markeras med olika typer av mönster. Det område som har alla mönster är det där alla olikheter gäller samtidigt.
Exempel
Beskriv området med ett system av olikheter
Ange ett system av olikheter som beskriver det markerade området.
Visa Lösning expand_more
För att bestämma de olikheter som tillsammans beskriver området börjar vi med att undersöka vilka linjer som ramar in det. Vi ser att randen på området består av en vertikal linje längs y-axeln, en horisontell linje samt en rät linje med negativ lutning.
Den streckade horisontella linjen kan beskrivas med ekvationen y=−2, och den vertikala linjen ligger på x=0. För linjen med negativ lutning kan vi läsa av m-värdet som 5 och k-värdet som −2, vilket ger ekvationen y=−2x+5.
y≤−2x+5.
Vidare så ligger området till höger om linjen x=0, dvs. området motsvarar x-värden som är större än eller lika med 0 vilket ger oss olikheten x≥0.
Slutligen ligger området ovanför, men inte på, linjen y=−2. Den streckade linjen innebär alltså att det är en strikt olikhet: y>−2.
Dessa tre olikheter beskriver tillsammans området i figuren, så det system av olikheter vi söker är alltså
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y≤−2x+5x≥0y>−2.
System av olikheter
En triangel har sina hörn i punkterna (−1,3), (4,0) och (4,7). Bestäm det system av olikheter som beskriver triangelns yta och rand.
security
report
code
security
report
code
För att lättare se området som ska beskrivas sätter vi ut de tre punkterna och ritar triangeln.
Triangelns rand består av de tre sträckorna som går mellan hörnen. Om man förlänger dessa till räta linjer får vi något som påminner mer om ett system av olikheter.
Vi behöver minst två punkter på varje linje för att kunna bestämma deras ekvationer, och till det kan vi använda hörnen. Vi börjar med linjen som går igenom (-1, 3) och (4, 0), och bestämmer först k-värdet. k=y_2-y_1/x_2-x_1 = 0 - 3/4 - (-1) = -0.6 Ekvationen för linjen är alltså y = -0.6x + m och m-värdet kan vi sedan bestämma genom att sätta in ett av hörnen, t.ex. (4,0), och lösa ut m.
Den första linjen har alltså ekvationen y = -0.6x + 2.4. Vi gör samma sak med (-1, 3) och (4,7) för att få den andra linjen. Först bestämmer vi k-värdet till k=y_2-y_1/x_2-x_1 = 7 - 3/4 - (-1) = 0.8, vilket ger ekvationen y = 0.8x + m. Vi sätter sedan in punkten (4,7) och bestämmer m-värdet.
Den andra linjen har alltså ekvationen y = 0.8x + 3.8. För den sista linjen, som går igenom (4,0) och (4,7) ser vi att båda punkterna har x-koordinaten 4, vilket innebär att det måste vara en vertikal linje med ekvationen x = 4.
För att få olikheterna som definierar området inne i triangeln måste vi undersöka på vilken sida om linjerna som området ligger. För y = -0.6x + 2.4 ligger området ovanför linjen, vilket innebär att y ska vara större än -0.6x + 2.4. Randen på triangeln skulle också ingå, vilket betyder att y även får vara lika med -0.6x + 2.4. Det ger oss vår första olikhet: y ≥ -0.6x + 2.4. För den andra linjen, y = 0.8x + 3.8, ligger området under och på linjen, vilket ger den andra olikheten: y ≤ 0.8x + 3.8. För den vertikala linjen x=4 ser vi att området ligger till vänster, alltså för x-värden som är lägre än eller lika med 4. Den sista olikheten blir då x ≤ 4. Lägger vi ihop dessa tre får vi det system av olikheter som tillsammans definierar triangeln och dess rand.
y ≥ -0.6x + 2.4 y ≤ 0.8x + 3.8 x ≤ 4
security
report
code
Ett område definieras av följande system av olikheter.
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y≥xy≥−0.5xy≤0.34375x+2.3625
Vad är de högsta och lägsta värdena för x respektive y inom området?
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["L\u00e4gsta x","H\u00f6gsta x","L\u00e4gsta y","H\u00f6gsta y"],"point":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["-2.8"]},{"type":1,"text":["3.6"]},{"type":2,"text":["0"]},{"type":3,"text":["3.6"]}]}}
security
report
code
security
report
code
För att avgöra vilka x och y som är möjliga måste vi undersöka det område som systemet av olikheter definierar. Det är ganska klurigt att rita området eftersom den sista olikheten har så jobbiga värden, men vi kan skissa det för att få en känsla av hur det ser ut.
För att hitta punkten med lägst x-värde går vi så långt ut åt vänster som möjligt i området och hamnar då i ett av triangelns hörn. På samma sätt hamnar punkten med högst x-värde i hörnet längst till höger. Om man sedan går uppåt och nedåt för att hitta de största respektive lägsta y-värdena hamnar man även då i triangelns hörn.
För att hitta de högsta och lägsta värdena måste vi alltså först bestämma koordinaterna för de tre hörnen. Det gör vi genom att hitta skärningspunkterna mellan de tre linjerna som definierar randen till triangeln. Ekvationerna för dessa linjer får vi genom att göra om olikheterna till likheter, vilket ger y = x, y = -0.5x och y = 0.34375x + 2.3625. Skärningspunkten mellan två linjer finns vid det x-värde där båda linjerna ger samma y-värde. Detta x kan man bestämma genom att sätta funktionsuttrycken lika med varandra och lösa den ekvation man får. Vi börjar med y = x och y = -0.5x, som ger ekvationen x = -0.5x.
Sätter vi nu in x = 0 i y = x får vi att även y är lika med 0. En av punkterna ligger alltså i origo. Vi fortsätter sedan med y = x och y = 0.34375x + 2.3625, som ger ekvationen x = 0.34375x + 2.3625.
Vi sätter sedan in x = 3.6 in y = x och får att motsvarande y-värde också är 3.6. Den andra punkten är alltså (3.6, 3.6). För att bestämma den sista punkten likställer vi funktionsuttrycken för y = -0.5x och y = 0.34375x + 2.3625 och får ekvationen -0.5x = 0.34375x + 2.3625.
Det sista y-värdet får vi då genom att sätta in x = -2.8 i y = -0.5x, vilket ger y = 1.4. Den sista punkten finns alltså i (-2.8, 1.4) och vi har nu koordinaterna för alla tre hörn i triangeln.
Allt vi behöver göra nu är att läsa av koordinaterna och se vilka de högsta respektive lägsta värdena är för x och y. Det lägsta värdet på x inom området blir alltså -2.8 och det högsta är 3.6. För y är det lägsta värdet 0 och det högsta 3.6.
security
report
code
System av olikheter
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll