| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(axn)=anxn−1
För att hitta x-värdena för funktionens stationära punkter sätter man sedan derivatan lika med 0 och löser ekvationen.
f′(x)=0
Omarrangera ekvation
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
Den första ekvationen ger direkt ett av derivatans nollställen, x=0, och den andra ekvationen kan lösas med pq-formeln. Den måste dock skrivas om på pq-form först.
VL/2=HL/2
Använd pq-formeln: p=0.5,q=-3
Beräkna kvot
Beräkna potens
a−(-b)=a+b
Addera termer
Beräkna rot
Ange lösningar
Övriga nollställen till derivatan är x=-2 och x=1.5. Funktionen har alltså stationära punkter där x är -2, 0 och 1.5.
Genom att sätta in respektive x-värde i funktionen bestämmer man de stationära punkternas y-värden.
x | 0.5x4+3x3−3x2 | f(x) |
---|---|---|
-2 | 0.5⋅(-2)4+3(-2)3−3⋅(-2)2 | ∼-6.7 |
0 | 0.5⋅04+303−3⋅02 | 0 |
1.5 | 0.5⋅1.54+31.53−3⋅1.52 | ∼-3.1 |
De tre stationära punkterna har alltså de ungefärliga koordinaterna (-2,-6.7), (0,0) och (1.5,-3.1). Första steget i att skissa grafen till funktionen är att markera dessa punkter i ett koordinatsystem.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(xn)=nxn−1
D(ax)=a
x | 6x2+2x−6 | f′′(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-2 | 6(-2)2+2(-2)−6 | 14 | + |
0 | 6⋅02+2⋅0−6 | -6 | − |
1.5 | 6⋅1.52+2⋅1.5−6 | 10.5 | + |
I två av punkterna, där x är -2 och 1.5, ser man att andraderivatan är positiv. Det innebär att dessa är minimipunkter. Den stationära punkten i x=0 är istället en maximipunkt eftersom andraderivatan är negativ där. Detta markeras i koordinatsystemet.
Notera att om andraderivatan blir 0 för något x-värde så vet man inte vilken karaktär den stationära punkten har utan man måste undersöka det med teckentabell.
f(x)=0
Omarrangera ekvation
Bryt ut x2
Använd nollproduktmetoden
(I): VL=HL
(I): Beräkna rot
VL⋅2=HL⋅2
Använd pq-formeln: p=32,q=-6
ba/c=b⋅ca
Förkorta med 2
a−(-b)=a+b
Ange lösningar
Slå in på räknare
Till sist kopplas punkterna samman med en kurva. För funktionen f(x)=0.5x4+3x3−3x2 ser den skissade grafen ut på följande sätt.
Skissa grafen till funktionen f(x) med hjälp av teckentabellen.
x | -4 | -1 | 2 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | − |
f(x) | ↘ | -27 | ↗ | 20 | ↘ | 6 | ↘ |
Vi bestämmer först storleken på koordinatsystemet. Vi har givna intressanta punkter från x=-4 till x=2, men vi vill också kunna se hur grafen beter sig till vänster och höger om dessa. Då kan man t.ex. välja att rita x-axeln från -6 till 6. Med samma resonemang kan vi välja y-axeln från -30 till 30 eftersom y-värdena sträcker sig från -27 till 20.
Sedan färdigställer vi teckentabellen. En positiv derivata betyder växande funktion och negativ derivata innebär avtagande funktion.
x | -4 | -1 | 2 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | − |
f(x) | ↘ | -27 | ↗ | 20 | ↘ | 6 | ↘ |
Funktionen har alltså en minimipunkt i (-4,-27), en maximipunkt i (-1,20) och en terrasspunkt i (2,6). Vi ritar ut punkterna och "skissar karaktären" för grafen runt punkten.
Eftersom vi inte har något funktionsuttryck kan vi inte ta reda på någon mer information om grafen, som funktionens nollställen eller skärningspunkt med y-axeln, så vi får gissa oss fram till ungefär hur den ser ut i övrigt när vi kopplar samman punkterna.
Skissa grafen till f(x)=0.2x3+4 med derivata.
Vi följer metoden för att skissa en graf med hjälp av derivata.
Första steget är att derivera funktionen.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
f′(x)=0
Omarrangera ekvation
VL/0.6=HL/0.6
VL=HL
Beräkna rot
x=0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Addera termer
x | 0.6x2 | f′(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-1 | 0.6⋅(-1)2 | 0.6 | + |
1 | 0.6⋅12 | 0.6 | + |
Derivatan är positiv både till vänster och höger om x=0. Vi fyller i detta i en teckentabell och skriver samtidigt in hur funktionen ser ut.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
f′(x) | + | 0 | + |
f(x) | ↗ | Ter. | ↗ |
Vi kan konstatera att den stationära punkten måste vara en terrasspunkt eftersom grafen har positiv lutning på båda sidor om den, och markerar detta i koordinatsystemet.
Vi vet nu ungefär hur grafen kommer att se ut runt terrasspunkten, men för att få en bättre idé om hur den ser ut på andra ställen undersöker vi också var den skär x-axeln. För att ta reda på det bestämmer vi funktionens nollställe genom att likställa f(x) med 0 och lösa ekvationen.
f(x)=0
Omarrangera ekvation
VL/0.2=HL/0.2
VL−20=HL−20
3VL=3HL
Funktionen skär alltså x-axeln där x är ca -2.7. Vi markerar detta i koordinatsystemet.
Till sist skissar vi grafen till funktionen f(x)=0.2x3+4, dvs. en kurva som har terrasspunkt i (0,4) och som skär x-axeln i ca (-2.7,0).